基于APOS理论的数学活动课的设计与实施策略

摘要：本文中以“折纸做60°，30°，15°的角”活动课为例，详细阐述了核心素养导向下数学活动课的设计原则与实施策略.以APOS理论为指导，通过实践操作、观察发现、逻辑推理等教学活动，精心设计了数学活动课的教学环节，旨在培养学生的动手能力、观察力和推理能力，进而提升学生的数学核心素养.通过实际课堂教学的应用，验证了这种教学方法的有效性，可为核心素养导向下的数学活动课教学提供参考.

关键词：核心素养；APOS理论；设计策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》将课程内容分为四大板块：数与代数、图形与几何、统计与概率和综合与实践[1].其中，综合与实践强调学生的动手与问题解决能力，鼓励学生将数学知识应用于实际情境，培养创新意识.然而，对于一线教师来说，如何有效教授这一板块是个挑战.本文中采用杜宾斯基的APOS理论[2]，以“折纸做60°，30°，15°的角”活动课为例，探讨如何在课堂中落实数学学科核心素养，为教学设计提供策略与方法.

1 数学活动情境的来源

本节课的教学内容取材自人教版《义务教育教科书数学》八年级下册（以下简称“教材”）第十八章的数学活动，具体为“活动1折纸做60°，30°，15°的角”.教材内容如下：

如果我们身边没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采取如下方法（如图1所示）：

（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平.

（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时，得到线段BN.

观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，它们之间存在什么关系？能否给出证明？

通过证明可知，这是从矩形得到30°角的好方法，简单而准确.由此，15°，60°，120°，150°等角就容易得到了.

这样的数学活动不仅培养了学生的动手能力，还深化了他们对角度概念的理解和应用.

2 基于APOS理论的数学活动课教学设计四阶段

遵循杜宾斯基的APOS理论，本课教学设计分为四阶段：

（1）操作（Action）：通过生活实例——折纸，导入新课，激发学生兴趣.

（2）过程（Process）：学生按指导完成折纸，从等腰直角三角形到等边三角形，教师实例引导，深化理解.

（3）对象（Object）：对折好的等边三角形进行内在逻辑分析，教师设问，引导学生深入探究.

（4）图式（Scheme）：学生整合前面阶段的知识，构建完整的数学概念框架，实现知识内化与迁移.

３ 实践求真：数学学科核心素养的课堂生根

环节1""创设情境，引入新课

数学折纸，作为一种独特的艺术形式，不仅美观实用，更蕴含着丰富的数学知识.想象一下，在太空探测中，折纸技术被用来将太阳能板折叠至最小体积，以便在狭小的火箭内部运输，到达太空后再展开.这一过程中，涉及到了图形的全等、轴对称等数学概念.今天，我们就将借助折纸活动，一同探索60°，30°，15°等特殊角度的折法.

说明：通过引入太空探测中的实际应用，促使学生感受数学与生活的紧密联系，激发他们的探索欲望和学习兴趣.

环节2""实际操作，深度思考

问题1""你能利用一张A4纸折出一个等腰直角三角形吗？请说明理由.

师生活动：学生分组操作，教师在旁指导，鼓励学生通过尝试找到正确的折法，如图2.

说明：以学生熟悉的等腰直角三角形作为起点，通过折纸活动，促使学生轻松掌握45°角的折法，同时为后续复杂角度的折叠打下基础.

问题2""能否通过折叠和画图（不利用量角器或三角尺），用一张矩形纸片折出等腰三角形？

师生活动：学生小组合作探究，尝试不同的折法，并上台分享自己的发现.教师总结学生的折叠方法，并归纳为三种主要类型，如图3-1，3-2，3-3.

方法一：垂直平分线模型，如图3-1，折出筝形，连接AN，即可得到两个等腰三角形.

方法二：“角平分线+平行线”模型，如图3-2.

方法三：矩形的对称性，如图3-3.

说明：通过展示引导学生进一步感悟翻折的对称性，加深对折痕是垂直平分线的理解，为构造等边三角形打基础，培养学生的几何直观素养.

问题3""不利用量角器或三角尺，能否通过折叠和画图，得到等边三角形？（展示折纸过程.）

师生活动：学生上台展示，教师引导学生揭示思维过程，得出折叠步骤.

（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平.

（2）再一次折叠纸片，使点A落在折痕EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时，得到线段BN.

（3）连接BN，AN，得到等边三角形ABN.

说明：学生经历从特殊到一般的折纸活动后，得到折出特殊等腰三角形的方法，积累活动经验，提升空间观念和逻辑推理能力.

环节3""引发思考，理论验证

问题4""你能说出以上操作的道理吗？

师生活动：教师引导学生观察、分析、思考、验证，依据折叠的本质书写证明过程.

已知：△ABN中，AB=BN，点N在线段AB的垂直平分线上，求证：△ABN是等边三角形.

证明：∵点N在线段AB的垂直平分上，

∴AN=BN.

又AB=BN，

∴AB=AN=BN.

∴△ABN是等边三角形.

说明：通过推理论证，培养学生用数学的语言表达世界，提升学生逻辑推理能力.

问题5""观察所得到的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有怎样的大小关系？怎样折15°的角呢？

师生活动：学生独立操作并展示，教师点评.

说明：巩固折60°角的方法，再次感受折痕是角平分线，培养学生的模型观念、抽象能力和应用意识.

环节4""巩固新知，迁移应用

本环节围绕“矩形的折叠”展开，结合中考实际，深化学生对数学活动课的认识.通过本题，期望学生提升对平面几何图形的理解和应用，培养逻辑思维与问题解决能力，为未来的深入学习奠定坚实基础.

例题""（中考实践应用题）

（1）操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平.

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.

当点M在EF上时，写出图4中一个30°的角_____.

（2）迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.

①如图5，当点M在EF上时，∠MBQ=_____，∠CBQ=_____；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图6，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.

师生活动：学生独立完成例题，教师鼓励学生探索多种解法，关注其逻辑分析与问题解决过程..

说明：通过操作、探究为后续学习复杂平面几何图形打下基础，培养逻辑推理和应用意识.

环节5""总结体悟，积累经验

问题6""本节课你有哪些收获？

师生活动：教师利用图7，帮助学生在大脑中形成新的认知结构.

通过图示展示知识的连贯性和演变过程：从三角形概念出发，逐渐延伸到等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形，进而关联到角度如60°，30°和15°角的特殊性质.帮助学生构建知识结构.

说明：帮助学生强化知识记忆，完善知识体系，积累研究路径、方法和经验;促使学生深刻认识折叠的数学本质，培养学生数感和模型观念.

环节6""课堂延升，自主探究

在上述例题的迁移探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ=1 cm时，直接写出AP的长.

说明：设计自主探究问题，旨在激发学生学习兴趣，培养学生运算能力、应用能力和创新意识.

４ 数学活动课的设计与实施策略

在初中数学活动课中运用APOS理论，从操作、过程、对象和图式四个方面助力学生深入理解与掌握知识.

４.１ APOS理论指导，打造精致教学空间

本课以杜宾斯基APOS理论为依据，巧妙构建六个教学环节，形成特色问题链，精准达成教学目标.如表1所示.

４.２ 深入探究教材内涵，促进深度学习发生

教材提供的“折纸做60°，30°，15°角”的活动内涵深远，简单的折纸背后隐藏着深厚的数学原理.为何选择此种折法？对折矩形的意义何在？这些问题需要我们教师深入探讨.为了折出60°角，先构建等腰直角三角形，再进一步折出一般的等腰三角形，最后形成等边三角形.点N落在线段AB的垂直平分线上是关键，这也是为何要先对折矩形的原因.探寻知识的逻辑形式和意义系统，实现深度学习，提升学生的数学核心素养，实现学科育人的目标.

４.３ 激发学生主体精神，构建活力互动课堂

在本课教学中从环节2开始，学生主动参与折纸活动，亲手操作、体验.环节3要求理论验证，挑战学生主动思考和探索能力.环节4的知识迁移应用和环节5的归纳总结，教师在此过程中起引导作用，确保学生主体地位得到体现.让学生在实践中感悟、思考，积累经验，学会用数学语言表达和理解世界，提升综合解题能力和核心素养.

４.４ 遵循逆向设计理念，培育学生数学核心素养

新课程理念下，数学课堂教学应遵循“逆向设计”的“八化”原则，即目标素养化、评价任务化、任务情境化等，这是培养学生数学核心素养的关键.教师需依据课程标准和学生实际，设计素养导向的教学目标，并通过评价任务、情境创设等方式，引导学生深入探究，确保他们能在合作与交流中逐步提升数学核心素养.各环节设计层层递进，确保学生在探究中提升数学核心素养.遵循逆向设计的“八化”原则，课堂教学不断优化升级，实现素养导向下的深度教学.

５ 结束语

经过对“折纸做60°，30°，15°的角”数学活动课的深入探讨，APOS理论在教学设计中的价值得以凸显.运用APOS理论设计活动课，有助于数学学科核心素养的深入培养，真正实现知识与实践的有机结合，也有助于教师的专业成长和理论知识的丰富，更能促进学生的全面发展，培养其探究精神和综合应用能力.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S].北京：北京师范大学出版社，2022：１６.

[2]张云辉，周远方.APOS理论指导下的概念起始课教学——以函数概念起始课教学实践为例[J].中国数学教育，2022（6）：５１-54.

课题信息：广州市教育研究院“十四五”规划课题“基于学业质量标准的初中数学作业优化设计与实施研究”，课题编号为2022zysj07.