高中数学轨迹方程的解法研究

摘" 要：轨迹方程属于高考数学中的一项必考内容，对学生的解题能力与基础知识的掌握情况均有着较高要求.在高中数学解题训练中，教师可围绕轨迹方程安排专题训练，带领学生反复练习，让他们能根据实际情况灵活选择解题方法，掌握解题窍门.

关键词：高中数学；轨迹方程；解法

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0094-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：戴立先（1979.9—），江苏省昆山人，教育硕士，中小学高级教师，从事高中数学教学研究.

轨迹方程即为同几何轨迹相对应的代数描述方式，是符合既定条件的动点所组成的一类图形，也可以说是符合一定条件下点的全体构成的集合，这就是满足该条件下点的轨迹.在高中数学轨迹方程类试题中，不仅考查学生对圆锥曲线概念、性质等基础性知识的掌握程度，还考查他们的运算能力、逻辑思维能力，以及分析与处理问题能力.教师应给予高度重视，通过解题训练帮助学生学会解答轨迹方程问题的方法，有效提高他们的数学解题水平.

1" 直接法在高中数学轨迹方程中的应用

直接法，顾名思义就是一种很直接的解题方法，当处理高中数学轨迹方程类试题时，假如题目中的动点所满足的几何条件本身就是部分几何量之间的等量关系，或者这些几何条件明了简单，还易于表达，这时只需把此种关系以含有x，y的等式来表示，由此求出相应的轨迹方程［1］.

例1" 已知定点M的坐标是（-3，0），点N的坐标是（3，0），有一个动点Q（x，y）距定点M，N之间距离的比值是2，也就是|QM||QN|＝2，那么动点Q的轨迹方程是什么？

解析" 因为|QM|＝（x+3）2+y2，

|QN|＝（x-3）2+y2，|QM||QN|＝2，

所以|QM||QN|＝（x+3）2+y2（x-3）2+y2＝2.

所以（x＋3）2＋y2＝4（x-3）2＋4y2.

整理、化简，得（x-5）2＋y2＝16.

所以动点Q的轨迹方程是（x-5）2＋y2＝16.

2" 定义法在高中数学轨迹方程中的应用

定义法即为使用已经学习过的一些定义把所求动点的轨迹方程给直接求出来，通常适用于难度不大、条件清晰简单的试题.具体来说，当遇到题设里面存在定点和定直线以及两个定点之和或者差是定值的条件，或者借助平面几何知识的分析能找出这些条件时，便可采用定义法.

例2" 已知Q为圆x2＋y2＝4上的一个动点，点A的坐标是（3，0），线段AQ的垂直平分线l与圆的半径OQ相交于点P，当点Q进行圆周运动时，点P的轨迹方程是什么？

解析" 连接PA，根据线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P，故|PA|＝|PQ|.

因为点P位于圆的半径OQ上，

所以|PO|＋|PQ|＝2.所以|PO|＋|PA|＝2，且2＞3＝|OA|.

结合椭圆的定义可以判定出点P的轨迹就是以O，A两点为焦点的椭圆.

因为2a＝2，2c＝3，

所以a＝1，c＝32.

则b＝12.

所以点P的轨迹方程是（x-32）2＋4y2＝1.

3" 代入法在高中数学轨迹方程中的应用

如果动点P（x，y）随着已知曲线上的点Q（x0，y0）的变化而发生变化，而且“x0，y0”能够使用“x，y”进行表示，那么可以把点Q的坐标表达式代入到已知曲线方程，便能求出点P的轨迹方程，这就是代入法［2］.

例3" 在图1中，已知点P的坐标是（4，0），其位于圆x2＋y2＝36内，A，B两点均是圆上动点，其中∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

图1" 例3题图

解析" 设AB的中点是R（x0，y0），在Rt△ABP中，|AR|＝|BR|＝|PR|.

由于R是弦AB上的中点，由垂径定理，

在Rt△OAR中，

|AR|2＝|AO|2-|OR|2＝36-（x20＋y20）.

又因为|AR|＝|PR|＝（x0-4）2+y20，

由此得到（x0-4）2＋y20＝36-（x20＋y20）.

即x20＋y20-4x0-10＝0.

所以点R位于圆上，当点R在这个圆上运动时，点Q就在所求的轨迹上运动.

设Q（x，y），由于R为PQ的中点，

故x0＝x+42，y0＝y+02.

代入到方程x20＋y20-4x0-10＝0，得

（x+42）2＋（y2）2-4×x+42-10＝0.

整理、化简，得x2＋y2＝56.

所以矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程是x2＋

y2＝56.

4" 参数法在高中数学轨迹方程中的应用

有的题目中，求动点需满足的几何条件难以直接、顺畅地求出来，也没有明显的相关点，不过却是能够容易发现该动点在运动过程中会受到其他变量的影响，如时间、截距、比值、斜率、角度等，或者动点坐标（x，y）中的“x，y”会分别跟随另外一个变量的变化发生改变，该变量即为参数.这时可根据这个变量建立关于轨迹的参数方程，通过解方程顺利求出动点的轨迹方程.

例4" A，B两点是抛物线y2＝4px（p＞0）上除原点以外

的两个动点，如果OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，且说明所表示的是什么曲线.

解析" 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），且x≠0，

直线AB的方程是x＝my＋a.

因为OM⊥AB，

所以m＝-yx.

由y2=4px及x=my+a，消去x，得

y2-4pmy-4pa＝0.

则y1y2＝-4pa，x1x2＝（y1y2）2（4p）2＝a2.

又因为OA⊥OB，所以x1x2＝-y1y2.

故a2＝4pa，即a＝4p.

在x＝my＋4p中，根据m＝-yx，得

x2＋y2-4px＝0，x≠0.

所以点M的轨迹方程是x2＋y2-4px＝0，x≠0，表示的是以（2p，0）为圆心，半径是2p的圆，且不含坐标原点.

5" 待定系数法在数学轨迹方程中的应用

待定系数法作为一种求未知数的有效方法，就是把一个多项式表示为另外一种含有待定系数的新形式，由此获得一个恒等式，再结合恒等式的性质确定系数需满足的方程或者方程组，然后通过解方程或者方程组就能够把待定系数给求出来.

例5" 已知△PMN的面积是1，tan∠PMN＝12，tan∠PNM＝-2，构建合适的平面直角坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程.

解析" 构建平面直角坐标系时，可以MN的中点为原点，M，N所处的直线为x轴，设|MN|＝2c，则M（-c，0），N（c，0）.

设椭圆方程是x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0），

根据题意可知直线MP，NP的方程分别是

y＝12（x＋c），y＝2（x-c）.

联立得P（5c3，4c3）.

所以2a＝|PM|＋|PN|

=（5c3+c）2+（4c3）2+（5c3-c）2+（4c3）2=25c.

又因为S△PMN=12×2c×4c3=1，

所以c＝32，a＝152.

故椭圆的方程是4x215+y23=1.

6" 交轨法在高中数学轨迹方程中的应用

当求两条动曲线的交点轨迹问题时，可以利用方程直接消去参数，这一方法需要引入相关参数建立这些曲线之间的联系，然后消去参数以后即可得到轨迹方程［3］.

例6" 点A1和A2是椭圆4x29+y24=1长轴的两个端点，点P1和P2为垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1和A2P2的交点P的轨迹方程是什么？

解析" 根据题意可设交点P，P1，P2的坐标分别是（x，y），（x0，y0），（x0，-y0），

当A1，P1，P三点共线时，得

y-y0x-x0=yx+3，①

当A2 P2 P三点共线时，得

y+y0x-x0=yx-3.②联立①②解得x0，y0x0＝9x，y0＝3y.

代入到x209+y204=1中，得x29-y24=1.

所以点P的轨迹方程是x29-y24=1.

7" 结束语

在高中数学轨迹方程解题教学中，教师需指引学生全方位、多层次分析动点所满足的所有条件，尤其要关注同动点有关的隐性条件，以免缩小或者扩大点的范围.引导学生结合具体条件与题目实际情况灵活应用以上各种不同的解题方法，选择最为恰当的一种解法，高效率地求得结果，加快解题速度与准确度，为将来应对高考做好准备.

参考文献：

［1］

褚玉霞.例析轨迹方程的几种求法 ［J］.语数外学习（高中版

），2023（01）：47-48.

［2］ 王锦绣.浅谈高中数学教学中解析几何的解题技巧 ［J］.数理天地（高中版），2023（19）：33-35.

［3］ 常建伟，常海波.例析轨迹方程的几种求法 ［J］.语数外学习（高中版），2023（05）：53-54.

［责任编辑：李" 璟］