活用全概率公式 破解概率计算题

摘" 要：分析了全概率公式的内涵及复杂随机事件完备事件组的寻找过程，总结了高考题中常见完备事件组的几种典型场景及分析方法，有助于考生正确使用全概率公式，破解复杂随机事件的概率计算问题.

关键词：全概率公式；完备事件组；概率统计；递推关系

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0073-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：周小兴（1972—），男，江西省乐安人，硕士，中学高级教师，从事高中数学教学研究；

朱丽华（1975—），女，江西省乐安人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

基金项目：晋江市基础教育教学改革专项课题年度课题“‘四新’背景下基于深度学习理论的高中学段校本作业设计实践研究”（项目编号：JJ2022-ZX08）.

复杂随机事件的概率计算是高考概率部分常考内容，对考生是一个难点，原因在于复杂事件过程复杂，此时要找出引起复杂事件发生的全部原因，从而找到样本空间的一个划分，即完备事件组.首先通过这个完备事件组把复杂事件分成若干个互不相容的简单事件之和，于是把求一个复杂事件的概率问题转化为求若干个互斥事件概率和的问题，然后利用乘法公式求出各个积事件的概率，最后运用全概率公式求出该复杂事件的概率.可见，找到样本空间的一个划分即完备事件组是使用全概率公式的关键.

1" 全概率公式

完备事件组" 一般n个事件A1，A2，…，An满足下列三个条件：

①A1，A2，…，An是两两互斥，

②A1∪A2∪…∪An=Ω，

③P（Ai）gt;0，i=1，2，…，n，

则n个事件A1，A2，…，An构成样本空间Ω的一个完备事件组，也构成样本空间Ω的一个划分.

定理

设n个事件A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分，则对任意事件BΩ，有P（B）=

∑ni=1P（Ai）P（B|Ai），称为全概率公式.2" 全概率公式的内涵特征

2.1" 全概率公式简要说明

遇到求复杂随机事件概率时，可以按照某种标准，即样本空间Ω的一个完备事件组A1，A2，…，An，把一个复杂随机事件BΩ拆分成几个互斥简单事件AiB（i=1，2…n）的和，记作B=∑ni=1AiB，也可以记作B=A1B∪A2B∪…∪AnB.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（∑ni=1AiB）=∑ni=1P（AiB）.又由概率的乘法公式得P（AiB）=P（Ai）P（B|Ai）.所以P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai）［1］.

2.2" 全概率公式使用说明

把引起某一目标事件B发生的各种可能的“原因”所对应的事件记作Ai（i=1，2，…，n），由Ai引起的事件B发生的概率记作P（AiB），于是事件B发生的概率就是∑ni=1P（AiB）.全概率公式中的“全”就是全部的意思，故对事件B发生有贡献的原因必须全部找出来.

寻找与目标事件B相关的完备事件组是应用全概率公式的关键.当事件的发生与相继两个步骤有关，第一步骤产生的各种结果直接影响第二步骤，因此可从第一步骤入手找出完备事件组.当事件的发生是由一些两两互不相容的原因引起的，且只能在这些原因下发生，那么这些原因就构成一个完备事件组.一定要把产生结果的原因全找出来，并且确保这些原因为两两互不相容事件.

实际应用时可能出现这种情况：目标事件B的发生与一系列互斥事件有关，但这一系列互斥事件概率相加之和肯定小于1，故其自身并不能构成样本空间，但是通过添加某些事件Aj（j=1，2，…，n）后可以构成样本空间Ω的一个划分，但要确保所添加的这些Aj（j=1，2，…，n）事件对目标事件B的发生没有影响，即其条件概率P（B|Aj）为零，此时全概率公式仍然成立.

完备事件组和目标事件并非一定来自同一个样本空间.如两层试验中第一层试验中样本空间为Ω1，第二层试验中样本空间为Ω2，一般来说Ω1≠Ω2，待求的目标事件B是Ω2的子事件，而不是Ω1的子事件，此时全概率公式照样适用［2］.

3" 活用全概率公式，破解概率计算题

3.1" 从导致目标事件发生的两两互斥的诸原因寻找完备事件组

例1" （2023年天津卷第13题节选） 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现将三个盒子混合后任取一个球是白球的概率为．

解析" 设A1，A2，A3分别表示球来自甲乙丙盒，B表示三个盒子混合后任取一个球是黑球，且P（A1）=13，P（A2）=415，P（A3）=25，P（BA1）=40%，P（BA2）=25%，P（BA3）=50%，由全概率公式得P（B）=∑3i=1P（Ai）P（B|Ai）=13×40%+

415×25%+25×50%=25.

所以混合后任取一个球是白球的概率为

P（B）=1-P（B）=1-25=35．

3.2" 添加某些事件后构成样本空间完备事件组

例2" （2023年新课标全国Ⅱ卷第12题节选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0lt;αlt;1），收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β（0lt;βlt;1），收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.证明：当0lt;αlt;0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.

解析" 记X表示三次传输0时收到的信号仍然为0的次数，则X∽B（3，1-α）.

即P（X=k）=Ck3（1-α）kα3-k（k=0，1，2，3）.

设A表示目标事件“若发送0，则采用三次传输方案译码为0”，按题目给的译码规则：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码，因此导致目标事件A发生原因为三次传输0时有两次以上收到的信号均为0.显然∑3k=2P（X=k）lt;1，故事件X=2∪X=3

不是样本空间的一个完备事件组，还要添加事件X=0∪X=1才能构成样本空间的一个完备事件组.因为三次传输0时收到的信号仍然为0的次数所有可能情况有4种：0，1，2，3次，故四个事件X=k（k=0，1，2，3）构成样本空间Ω的一个划分，也称构成一个完备事件组.

又P（AX=k）=0（k=0，1），

P（AX=k）=1（k=2，3），

由全概率公式，得

P（A）=∑3k=0P（X=k）P（A|X=k）

=∑3k=2P（X=k）P（A|X=k）

=∑3k=2Ck3（1-α）kα3-k·P（AX=k）

=C23（1-α）2α·P（AX=2）

+C33（1-α）3·P（AX=3）

=3（1-α）2α×1+（1-α）3×1

=（1-α）2（1+2α）.

又单次传输发送0，则译码是0的概率为1-α，而0lt;αlt;0.5，因此（1-α）2（1+2α）-（1-α）=

（1-α）α（1-2α）gt;0.

3.3" 从第一次试验入手寻找完备事件组

例3" （2023年新课标全国Ⅰ卷第21题） 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率.

解析" （1）记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，记第i次投篮的人是乙”为事件Bi，

所以，

P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）

=P（A1）P（B2A1）+P（B1）P（B2B1）

=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6.

3.4" 目标事件的概率需要通过递推等式推出

解决概率统计与数列交汇问题的关键是根据题意得出数列的递推关系，进而求出数列的通项公式．笔者将其总结为两类题型：第一类是题干给出数列的递推关系，需要考生通过构造等比数列来求通项公式;第二类是题干没有给出数列的递推关系，学生要懂得利用全概率公式获得数列的递推关系式，然后构造等比数列再求出通项公式．

例3第（2）问解析

设P（Ai）=pi，依题可知

P（Bi）=1-pi.

则P（Ai）=P（AiBi-1）+P（AiAi-1）

=P（Ai-1）P（AiAi-1）+P（Bi-1）P（AiBi-1），

即pi=0.6pi-1+（1-0.8）（1-pi-1）

=0.4pi-1+0.2.

构造等比数列pi+λ，

设pi+λ=25（pi-1+λ），解得λ=-13，则pi-13=25（pi-1-13）.

又p1=12，p1-13=16，所以pi-13是首项为16，公比为25的等比数列，

即pi-13=16×（25）i-1.

所以pi=16×（25）i-1+13．

4" 结束语

利用全概率公式可以将求一个复杂事件的概率转化为求若干个互斥的简单事件概率的和，再利用乘法公式求出各部分积事件的概率.全概率公式体现了化归和分类的思想，对于实际应用题，就是分情况讨论.

参考文献：

［1］

程海奎，章建跃.通过随机变量刻画随机现象加深理解随机思想［J］.数学通报，2022，61（1）：9-14.

［2］ 纪宏伟，李卫平.全概率公式及其应用分析［J］.呼伦贝尔学院学报，2018，26（6）：134-137.

［责任编辑：李" 璟］