古典概型算法研究

廖楚越

摘 要： 古典概型是概率统计中最基础的概率模型，虽然模型简单，但是实际背景多变，在解题的时候直接套用公式往往是不得法的.本文总结了古典概型的几大类问题和解题技巧，帮助初学者系统地学习古典概型.

关键词： 古典概型 概率统计 解题技巧

古典概型是概率论中最基础和经典的一种概率模型，指的是样本空间样本点数有限且每个样本点发生的可能性相等的随机试验。

2.三类古典概型

虽然古典概型的问题有多种背景，变换多样，但是多数问题可以归结为三类，接下来对每一种问题进行探讨。

2.1摸球问题

例：一个盒子中装有9个红球3个白球，现从中随机抽取两个球，分别在以下两种抽样模式下计算A，B，C三个事件的概率。

（1）有放回抽样：即每次抽取之后放回盒内再抽下一个。

（2）不放回抽样：即每次抽取后不放回，直接抽下一个。

A={第一次抽到红球，第二次抽到白球}

B={抽到一个红球一个白球}

解：（1）样本空间是从12个球中有放回取球两次。第一次取球是从12个中取一个，第二次取球仍是从12个中取一个，则共有12■种可能。

对于事件A，第一次从9个红球中取一个，第二次从3个白球中取一个，共有9·3种可能。

又如：箱子里面有10瓶酒，其中有3瓶是假冒品，现随机抽取3瓶，求抽到1件假冒品的概率。

将正品和假冒品看做红球白球，这就是一个摸球问题。

2.2分盒问题

再如：现有8人随机地被分配到12个房间，求恰好有8个房间其中各住一人的概率。

上题可看做将8个物品放到12个盒子中。

2.3排序问题

将一些数字或者字母等按照一定要求进行排序的概率求解问题。

例：从0到9中任选三个组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率。

解：组成三位数时，百位不能取0，有9种选法。十位除了百位已取走的数，也有9种取法。个位除去百位和十位的数，剩下8种取法。则n=9×9×8.另外计算被5整除的可能性，末位是0或5。若末位是0有9×8种可能性，末位为5有8×8种可能性。

类似的题目如：把C，C，E，E，I，N，S这7个字母随机排成一行，求恰好排成英文单词SCIENCE的概率。

3.解题技巧

古典概型在求解时除了直接利用公式计算外，还可以通过一些技巧简化运算。如在上文2.1取酒的问题中直接计算需要讨论一个、两个或三个假冒品的情况，可考虑反面，用一减去一个假冒品都没有的情况即可。

考虑到的前面，中间，后面的概率是一样的，所以每种情况的概率均是1/3。这是利用了对称的思想。

在古典概型的运算中这些简便的方法多种多样，需要根据题目灵活应用，巧妙解题。

4.结语

以上我们简单总结了古典概型的常见类型和解题技巧。在实际操作中还需要多做练习，才能将各种方法融会贯通，顺利解决各类概率运算问题。

参考文献：

[1]王国政，刘洋.概率论与数理统计[M].重庆：重庆大学出版社，2015.

[2]陈鸿建，赵永红，翁洋.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2009.