小学生有序思考与全面思考能力的培养策略探究

【摘要】数学教育的重要任务之一是培养学生的数学思维，而采用科学的方法培养学生的数学思维能力，正是深化教育教学改革、发展核心素养的必然要求.搭配问题作为排列组合中较为简单的问题类型，是培育小学生数学思维和发展其核心素养的优质教学素材.文章以服装搭配、数字组合、车票设置、砝码称重四个问题为例，探讨了如何通过搭配问题来培养学生有序思考与全面思考的策略.

【关键词】数学核心素养；搭配问题；数学思维

引 言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）强调“强化课程综合性和实践性，推动育人方式的变革”，鼓励学生通过社会生活中熟悉的情境问题，感悟数学的思想方法和应用价值，进而培养他们运用所学思想方法解决问题的能力，并体验解决问题的乐趣，从而提升学生的数学核心素养.生活中搭配问题普遍存在，如服装搭配、比赛场次的设定、电话号码、车票设置、分食物、选图书、旅游路线选择、自助餐食物选择、座位分配等，这些问题具有涉及面广、综合性强等特点.在搭配问题的教学实践与案例研究中，我们发现了许多深层次、有趣且值得思考的数学问题.通过学习搭配问题的相关知识，学生可以为后续学习概率与统计打下基础，同时培养他们的全面意识、抽象能力、敏锐观察、有序思考和准确表达等能力，使数学核心素养在数学学习过程中得到显著提升.以人教版小学数学三年级下册“数学广角———搭配（二）”教学为例，教材首先系统且有步骤地将一些重要的数学思想方法融入实践活动中，随后通过学生日常生活中常见的事例来呈现这些思想方法.通过简单的操作和直观手段，向学生渗透数学知识的本质及思想方法，逐步培养小学生有序思考和全面思考数学问题的意识.这样，学生不仅能够积累基本的数学活动经验，还能学会用数学的眼光观察现实世界，用数学思维思考现实世界，用数学语言表达现实世界.

一、服装搭配问题看分类

《课程标准》中指出：“能够运用符号运算、形式推理等数学方法，分析并解决数学问题和实际问题.”服装搭配问题正是一个典型的例子，它集中体现了数学思考和有效分类的逻辑推理过程，能够有效培养学生有顺序、有层次、有逻辑地进行全面思考的能力.

以人教版小学数学三年级下册“数学广角———搭配（二）”教学为例，教材中呈现了2件上装和3件下装的实物情境，要求学生选取上装与下装进行搭配.问题是：“一共有多少种不同的穿衣方法？”这一情境贴近学生的日常生活，教学时，教师可以积极引导学生用多种方式对数学问题进行思考与表达，并在学生展示和交流的过程中，特别强调并突出有效的分类思考方法.

教学实例中发现，学生有多种分类表示方法，主要呈现的方式有符号表示法：例如用□1和□2表示上装，用○1、○2和○3表示下装.先用□1和○1、○2、○3分别搭配，得出三种搭配（即□1和○1、□1和○2、□1和○3）；再用□2和○1、○2、○3分别搭配，同理得出另三种搭配，共有6种不同的搭配方法.字母表示法：例如用A1和A2表示上装，用B1、B2和B3表示下装，字母表示法和用符号表示法一样，同样得出6种不同的搭配方法.连线法：上装A1和下装分别连成3条线，上装A2和下装又分别连成3条线，共有6条线，也能得到6种不同的搭配方法.计算法：2×3=6（种）或3×2=6（种）.

在学习过程中，学生利用符号、连线、运算等多种方法展现了自己对数学问题的理解和表达，这些方法均体现了学生在分类中的有序思考过程.教师在学生分组汇报交流结束后的点评环节，为了挖掘更深层次的数学内涵和教材前后知识点的逻辑联系，可以重点关注计算法，让学生在应用乘法的同时体会数学是一门研究数量关系的学科.首先教师应鼓励学生用完整的数学语言来表达他们的思考过程，其次教师带领学生进一步分析用符号、字母和连线等抽象表示方法的数学算理，最后阐述“2×3”和“3×2”的数学意义.这一过程不仅体现了数感、量感、符号意识的培养，还培养了学生的数学思维，使他们能够用数学的方式思考现实世界，并用数学语言来表达对现实世界的理解.

二、数字组合问题辨重复

人教版小学数学三年级下册“数学广角———搭配（二）”中呈现的例题是“用0，1，3，5能组成多少个没有重复的两位数？”在解决这个问题时，关键是要让学生理解数字组合的具体要求，即必须使用0，1，3，5这四个数字来组成不重复的两位数.重要的是，这些组合不能包含如11，22，55这样的重复数字，并且两位数的十位上不能是0.在教学中，教师通常会按照一定的规律来引导学生，将复杂的问题简化，从而渗透化繁为简的数学思想.

《课程标准》中强调：“重视学生直接经验的形成，处理好直接经验与间接经验的关系.”在三年级学习“数学广角———搭配（二）”时，学生已经基于二年级对简单排列与组合的学习，具备了一定的知识基础和实际经验，例如他们知道如何用没有0的三个数组成不重复的两位数.当面对含有0的四个数字组合时，教师可以引导学生借助已有的知识和经验，进一步学习如何进行数字组合，确保在组合过程中不重复也不遗漏.为了达成这一目标，教学中教师常采用的方法是“固定数位法”，既可以先固定十位，也可以先固定个位，具体选择固定十位还是个位，应让学生根据自己的习惯和喜好来决定.在授课时，教师不必刻意要求学生采用某种特定的方法.例如，在设计导学卡时，可以提供两列没有任何标注的空白格子，鼓励学生用自己的方法尽快找出所有不同的两位数.这样的设计能够让学生通过自己动手操作，在实践中分辨并避免组合中的重复现象，进而加深对数字组合问题的理解.

在课堂教学中，教师利用导学卡进行授课，通过接近学生最近发展区的教学实践促进学生积极乐观的表现和深层次、有序的思考.学生在实践操作过程中，教师从旁巡视指导，观察学生解决问题的情况.在课堂汇报环节，多数学生选用了固定十位法，他们首先确定1在十位上，得到10，13，15；接着确定3在十位上，得到30，31，35；以此类推，最终得出9个不重复的两位数.在总结评价时，教师引导学生从数学计算的角度思考：如果先固定十位，那么对于每一个固定的十位数字，都有3种不同的个位数字与之组合，因此有3组3种不同的组合（即10，13，15；30，31，35；50，51，53），这可以用算式“3×3=9种”来表示得到的结果.如果先固定个位，则有1组不同的三个数的组合（即10，30，50）和3组不同的两个数的组合（即31，51；13，53；15，35），此时计算方式是“1+3×2=7种”.这种将导学卡中直观的列表形式抽象成数学算式的表达方法，罗列有序，层次清晰，有效地避免了在写数过程中出现重复的现象，同时也更深入地挖掘了搭配问题中的数学原理.通过这种教学方法，不仅培养了学生认真观察、仔细分析、乐于思考的学习习惯，还使学生体验了有序思考、全面思考的数学方法.

三、车票设置问题找遗漏

设置情境：某县正在规划建设的城市快道（牛心山至诗乡门），计划在这条快道上设置12个公共汽车站.问题是需要设计多少种不同的车票，以满足这些站点之间的乘客需求.这个数学问题紧密贴合学生的生活实际，是搭配问题的一种实际应用，也是对该知识点深化和延伸的体现，具有一定的挑战性.在教学时，教师可以引导学生从简单的情况入手，先思考如果只有3个站点，那么可以设置多少种不同的车票.接着，可以让学生逐步思考4个站点、5个站点……的情况，以帮助他们找到其中的规律.在汇报环节，多数学生都能很快计算出站点较少时车票的种类数，但当站点数不断增加时，很多学生可能会出现错误.这主要是因为对规律的理解不够深刻，导致出现遗漏现象.

《课程标准》指出要让学生“探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学‘再发现’的过程.”为了让学生准确把握车票设置问题中的规律，并且不出现遗漏现象，教师可以利用线段图引导学生进行分析（如图1）：

假如A是公共汽车的始发站，从A到B站之间只能设置一种车票，记为AB.从A站到C站之间可以设置三种车票，记为AB，AC，BC.同样地，从A站到D站之间可以设置六种车票，记为AB，AC，AD，BC，BD，CD.也就是说，两个站之间可以设置1种车票，三个站之间可以设置3种车票，四个站之间可以设置6种车票.

站牌A到E之间又可以设置多少种车票呢？通过进一步探究，学生很快发现站数与所设置的车票数的规律，即：设置车票数=站数×（站数-1）÷2.学生经历了数学问题的“再发现”过程，汇报自己的发现时，思路就更加清晰了，遗漏现象也少了.这时，教师及时板书记录学生的发现：

两个站应设计的车票数：2×（2-1）÷2=1（种），三个站应设计的车票数：3×（3-1）÷2=3（种），四个站应设计的车票数：4×（4-1）÷2=6（种），…，十二个站应设计的车票数：12×（12-1）÷2=66（种）.汇总得到，从牛心山至诗乡门之间的单项车票共有66种，那么对于这段城市快道上双向行驶的公共汽车一共可以设置多少种车票的数学问题，学生也能迎刃而解了.

可见，车票设置问题转化为线段计数问题，不仅使学生能够深刻体会数形结合的思想，还能有效培养学生的转化思维.在学生主动计算的过程中，他们的有序思考和全面思考的能力也得到了提高.通过经历数学问题的探究和再发现过程，学生培养了敏锐观察、有效思考、准确表达的学习习惯，这些习惯使数学核心素养在数学学习过程中得以真实发生，充分展现了深度数学课堂的有效性.

四、砝码称重问题思列举

《课程标准》强调学生“理解数据的意义与价值，会用数据的分析结果解释和预测不确定现象，形成合理的判断或决策.”在砝码的称重问题中，也蕴含着许多与数据相关的数学问题.假设有1g，2g，3g，5g，10g的砝码各一枚，那么在天平上能称出多少种不同质量的物体？要求学生列举出这些砝码中有多少种不同的搭配方式.

在教学过程中，学生学习兴趣浓厚，但容易出现错误.这些错误往往源于没有认真分析问题中隐含的不确定现象，没有进行一一列举，以及没有找到砝码之间的搭配规律.为了帮助学生克服这些困难，教师在分析学生的学情后，可以从两个砝码的组合入手，设计如下导学单（如下表）：

完成要求：（1）给定的砝码1g，2g，3g，5g，10g各一枚；（2）请在能称出物体重量的对应位置画“√”，不能称出的对应位置画“×”；（3）如果所称出的物体重量有重复，请用“○”标注；（4）请写出你所称出的物体的重量，并完整说明理由.

利用导学单进行教学，学生思路清晰，能迅速识别两个砝码组合时可能出现的重复和不能称出的重量.在导学单的引导下，学生准确、有序、无遗漏地列举出所有能称出的物体重量.学生依据导学单安排进行讨论交流，合作完成导学单上的任务后，教师再让学生根据导学单进行表述.

利用两个砝码能够称出的不同物体的质量的种类有：1g+2g=3g；1g+3g=4g；1g+5g=6g；1g+10g=11g；2g+3g=5g；2g+5g=7g；2g+10g=12g；3g+5g=8g；3g+10g=13g；5g+10g=15g，一共可以称出10种不同质量的物体.

同理，我们再来分析3个砝码、4个砝码、5个砝码的称重规律.在教学中，让学生充分展开讨论，并利用2个砝码的称重经验作为启示.他们得出了以下结果：3个砝码可以称出10种不同质量的物体；4个砝码可以称出5种不同质量的物体；5个砝码可以称出1种特定的总重量；1个砝码能称出5种不同质量的物体.综上所述，用1g，2g，3g，5g，10g的砝码各一枚，能称出的不同称重方法总数为：10+10+5+1+5=31（种），减去相同质量物体的重复情况（如8g=3g+5g或8g=1g+2g+5g）.经过这样的计算，用1g，2g，3g，5g，10g的砝码各一枚能称出的物体重量有1g，2g，3g，…，21g，共21种.

砝码的称重问题深层次地阐述了搭配中的学问，对学生来说确实存在一定的难度.因此，可以在课外兴趣小组或课后服务兴趣班中，针对学习有余力的学生进行专项训练，旨在培养他们的逻辑思维能力和数学思辨能力.

结 语

综上所述，在搭配问题的教学中，教师应注重利用生活中的实践问题作为教学情境，使学生深刻感受到数学在现实生活中的应用和价值.同时，教师应充分发挥学生的主观能动性，尊重学生的主体地位，鼓励学生自主探索、整理知识并表达思考过程.此外，教师还可以引导学生参与操作、观察、猜测等活动，使小学生理解事物排列数的基本思路和方法，初步培养学生有序、全面地思考问题的意识，体会排列的思想方法，并感受搭配在解决数学和生活问题中的重要作用.

【参考文献】

[1]尤小萍.借助多样策略，增值有效教学：以“搭配中的学问”教学为例[J].数学学习与研究，2021（10）：68-69.

[2]常立钢.是“齐头并进”，还是“各有发展”：“搭配中的学问”一课观课反思[J].小学教学（数学版），2022（6）：54-55.

[3]汪建荣.如何才是教师有效的课堂回应—以两次执教“搭配中的学问”为例[J].小学教学参考，2019（26）：21-22.