高中生三角函数学习障碍及教学策略分析

【摘要】三角函数在高中数学中有着重要的地位和作用，学习好三角函数对于实际生活问题的解决有着重要价值.现阶段，学生对三角函数的学习遇到了诸多困难，为了帮助学生突破三角函数知识学习障碍，文章以高中数学三角函数为例，研究在三角函数的知识学习中，教师如何有效提高学生的学习效率和质量，帮助学生突破学习瓶颈.

【关键词】高中数学；三角函数；学习障碍；教学策略

三角函数是高中数学的重要组成部分，也是高考数学的热门考点，其难度中等偏上，是学生高考得分的关键.三角函数部分知识涉及的公式较多，需要学生熟记的内容也较多.在教学实践中，不难发现，有的学生对于三角函数部分知识存在一定的畏难心理，学习情况不容乐观.分析高中数学三角函数部分的学习障碍，探寻制约学生三角函数部分学习的主要因素，设置相应的教学策略，是众多一线数学教师需要思考的教学问题.

一、高中生学习三角函数学习障碍分析

（一）高中生三角函数任意角和弧度制学习障碍分析

在任意角的教学内容中，教材上通过圆周上的一点的位置刻画和“一条射线围绕着它的端点旋转所成的图形”，引出利用角去刻画点的位置.在初中阶段的数学学习中，学生明白了“射线绕端点旋转可得到0°—360°的角”，继续旋转（结合旋转方向）就会超出角的范围，进而引出正角、负角、零角的概念，规定角的加减法，最后，将其放入坐标系中，规定象限角和轴线角.

在这些内容的学习中，学生往往会忽视角的方向，对角的正负理解不到位.

例1 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）.

A.60°，720° B.-60°，-720°

C.-30°，-360°D.-60°，720°

部分同学会选择A，而正确答案应该是B.

障碍分析 部分学生在解决这一问题时，没有正确认识到角的范围已经扩大到任意角，没有利用旋转运动的思想去思考问题，还是利用初中阶段所学的知识去分析问题，进而导致在解决这一问题时，因为没有考虑方向而出现解题错误.

例2 终边在直线y=-x上的角β的集合S=.

障碍分析 在解决这一问题时，部分学生会觉得这是一条直线，与之前学习过的终边相同的角不一样，从而写不出答案.本题角的终边落在直线y=-x上，实际上终边位置有可能在第二象限的角平分线上，也可能在第四象限的角平分线上.在这部分知识教学中，学生对终边相同的角的理解至关重要，终边相同的角是从任意角的概念中分出来的，学生如果能够利用旋转的思想去分析问题，那么就能够很顺利地理解终边相同的角.

例3 请尝试使用弧度来表示终边落在如图1所示阴影部分（不包括边界）的角的集合.

障碍分析 部分学生在解决这一问题时，存在以下情况：①角度和弧度不会转化；②不会找合理的周期；③对于转动的是射线还是直线搞不明白.还有些学生会忘了加2kπ或者kπ，这些都是不能够完全理解角的旋转的表现.学生解答本题时在角度和弧度灵活转换的基础上找出适当的周期，才能准确地描述角的范围.

（二）高中生三角函数概念学习障碍分析

学生从三角函数概念部分知识的学习开始，就正式进入了对三角函数的深入学习.前面几节课的学习帮助学生建立了角度制和弧度制的概念，并在角度与实数之间建立了一一对应的关系.在该部分知识的教学中，三角函数概念是一个从旧概念上升到新概念的过程，学生对三角函数概念的理解会产生障碍.虽然学生对于“比值定义法”和“单位圆定义法”讲解的三角函数概念能够理解，但是对于高中阶段和初中阶段三角函数定义产生的分歧还是难以接受.部分学生对三角函数的正负存在理解障碍，这一情况出现的主要原因是学生依然利用初中阶段对三角函数的认识去理解知识.在教学过程中，教师要注意这部分内容要结合象限、坐标的相关知识适当练习，这样学生就会比较容易理解三角函数值的正负.还有一部分学生在三角函数概念部分的学习中存在的障碍是对特殊角三角函数值的记忆，例如对30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，270°等特殊角的三角函数值记忆不准确，教师可以结合单位圆或对称性等将其更直观地展示出来.

（三）高中生三角函数图像及性质学习障碍分析

三角函数图像知识主要为正弦、余弦、正切函数的图像与性质，正弦、余弦函数的性质及其应用，等等.三角函数部分知识从此处开始综合性增强、灵活性增强、难度加大，是学生产生学习障碍较多的部分.例如学生对相关概念的理解不够透彻，正余弦函数图像辨析不清，对“五点作图法”的掌握不够准确，也不理解图像的周期性，难以借助一个周期图像延伸到多个周期，对于相关知识之间的区别与联系把握不准，导致在三角函数图像应用方面出现障碍，特别是在三角函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性方面存在的问题较大.在数学文字阅读方面，部分学生也存在障碍，面对题目设置的问题，他们找不到关键信息，无法将题目信息转化为有效条件，有些学生还会遗漏题目条件，尤其是角的范围和定义域方面的问题容易被忽视.图像和公式记忆不清、不会画图、张冠李戴的情况也经常出现.该部分涉及的主要思想有转化与化归思想、函数与方程思想和数形结合思想三个方面，学生需要灵活掌握这些数学思想，才能够将新的数学问题与旧的数学知识联系起来，摆脱计算量大、难以入手的困境.最后，三角函数部分涵盖的公式较多，每个公式之间存在着紧密的联系，利用起来灵活性较高，有的学生在使用这些公式解决问题时，不知道该使用哪一个公式去计算，导致解题缓慢或者解题出错.

二、高中数学三角函数教学策略

（一）三角函数任意角和弧度制教学策略

针对在教学中出现的“忽视角的方向，对角的正负不理解”的问题，教师可以尝试以下方式：列举出初中阶段学生学习的角的定义，与高中阶段要学习的任意角的定义，进行比较，引导学生发现它们之间的不同.高中阶段的任意角不仅能够表示比360°大的角，还能够表示比0°小的角.对于如何帮助学生理解角的正负，教师可以结合构建主义理论，将要学习的新知识与学生原有知识经验进行对比，引入物理中速度的表示方法“规定了速度正方向后，相反方向的速度就通过负号来区分”.这样的类比能够帮助学生理解角的正负并不是指角的大小，而是指角的旋转方向.这样不仅能够帮助学生加深对任意角正负的理解，还能够引导学生知道任意角的概念就是一个旋转动态刻画，并不是一个简单的图形，提升学生对知识的迁移能力，让学生感受到知识之间的相互联系，提高学习能力.

对于弧度制部分知识的教学，教师要注重稳扎稳打，不能够因为赶教学进度而忽略学生对知识的深层次理解，不能够仅仅告诉学生π=180°这一转换公式就急于练习，要将弧度制的引入过程和必要性加以分析，为学生后面学习三角函数定义域奠定基础.在具体的教学过程中，教师可以引入学生初中阶段所学习的弧长公式和扇形的面积公式：利用圆心角与周角的比例乘圆的周长来得到所求圆心角对应的弧长，利用扇形所对应圆心角与周角的比例乘圆的面积得到扇形的面积.教师可以在不同的场合应用弧度制，帮助学生构建弧度制的使用氛围，让学生在潜移默化中逐渐掌握知识.

（二）三角函数概念教学策略

（三）三角函数图像及性质教学策略

阅读量的不足和对数学定义的理解不充分是导致学生不理解题意，无法提取题干有效信息的重要因素，这就需要高中数学教师在教学中深化课堂教学，在实施常规课堂教学以外，引导学生回顾相应的概念和定义，帮助学生构建相应的概念知识体系.同时，教师要引导学生绘制相应的图像，加深学生对图像和文字的对应关系的理解.对于学生三角函数图像及性质的学习障碍，教师可以引导学生对常规的问题进行总结分类：该部分知识主要包含了求值、求范围和证明三大类问题.如在解决求值类问题时，学生可以利用方程思想，通过设未知数，借助等量关系来列方程求解；对于求范围和最值的问题，教师可以引导学生先寻求变量的表达式，将目标变量转化为其他变量，再通过等量关系将其化简成为只包含一个参数的式子，进而将其转化成求函数最值的问题，这样就可以与初等函数性质相结合，求出范围或最值.

结 语

综上所述，对高中生来说，三角函数部分知识并不陌生，他们在初中阶段就接触过三角函数，进入高中以后，学生只是在原来锐角三角函数的基础上做了进一步的延伸，原有的内容公式相应增加，变化更加灵活.在三角函数任意角和弧度制、三角函数概念、三角函数图像及性质的学习中，学生都会面临不同的学习障碍，教师要密切关注学生的学习情况，及时分析学生三角函数知识学习中存在的障碍，对教学策略做出灵活调整，这样才能够帮助学生克服困难，有效提升课堂教学效果.

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