探寻图形翻折之奥秘

1 翻折后角度问题

对于翻折后的角度变化问题，要在充分理解题意的基础上，注意图形翻折前后相等的角度或者边长，根据这个等量关系作为问题的突破口，转化为基本问题来解决.

例1 如图1，E为长方形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE折叠，点B落在点B′处，将纸片沿DE折叠，点C落在点C′处.若∠B′EC′=α，则∠AED=（" ）.

A.90°+α2

B.90°-α2

C.90°+2α3

D.90°-2α3

解析：由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEB′，∠DEC=∠DEC′.

由∠AEB+∠AEB′+∠B′EC′+∠DEC′+∠DEC=180°，

即2（∠AEB′+∠DEC′）+α=180°，可得

∠AEB′+∠DEC′=12（180°-α）=90°-α2.

所以∠AED=90°-α2+α=90°+α2.故选：A.

点评：本题主要考查了图形翻折后的角度问题，这类问题的解决需要注意翻折变换（折叠问题）以及角的计算，根据各角之间的关系，结合折叠图形的性质，即可求出结论.

2 翻折后线段长度问题

翻折后图形长度的求解问题，主要就是依据学过的有关图形的性质，比如轴对称、全等三角形性质、勾股定理等计算线段长度的方法，有的时候需要在翻折后的图形中作出一些辅助线，以更方便地求解翻折后的线段的长度.因此，需要灵活掌握翻折前后图形的变量与不变量之间的内在联系.

例2 在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点B恰好与点D重合，点A落在点A′处，点G为线段EF上一动点，过点G作GM⊥AD，GN⊥FD，垂足分别为点M，N，以GM，GN为邻边构造平行四边形GMHN，如图2.若平行四边形GMHN的周长为410，AE＝3，则EF＝.

解析：如图3，连接DG，作FI⊥AD于点I，则∠DIF＝∠EIF＝90°.

因为四边形GMHN是平行四边形，且平行四边形GMHN的周长为410，

所以GM＝HN，GN＝HM，且

2（GM+GN）＝410.

∴GM+GN＝210.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.

∴∠DEF＝∠BFE.

由折叠得∠DFE＝∠BFE.

∴∠DEF＝∠DFE.

∴DE＝DF.

∵GM⊥AD于点M，GN⊥FD于点N，

∴12DE＼5FI＝12DE＼5GM+12DF＼5GN＝S△DEF.

∴FI＝GM+GN＝210.

∵∠DIF＝∠IDC＝∠C＝90°，

∴四边形CDIF是矩形.

∴CD＝FI＝210.

∵∠A′＝∠A＝90°，DE＝DF，A′D＝CD，

∴Rt△A′DE≌Rt△CDF（HL）.

∴A′E＝CF＝ID＝3.

∴DE＝DF＝CD2+CF2＝2102+32＝7.

∴IE＝DE-ID＝7-3＝4.

∴EF＝FI2+IE2＝214.

点评：本题考查了翻折后求解线段长度问题，这类问题往往需要注意翻折后的图形所具有的性质，比如角度相等、线段相等以及是否可以利用等面积法或者图形全等求解线段长度等.

3 翻折后面积或周长问题

对于翻折前后图形的面积或周长问题，要注意翻折前后图形的特点，注意图形的性质，抓住图形关于折叠线对称这一特性，就可以牢牢抓住这两个图形前后之间边长之间的联系，为求解图形的面积或者周长奠定基础，最后结合图形翻折后的相关数学规律和图形性质，即可解决问题.

例3

如图4，已知长方形ABCD的边AB=a，BC=b（bgt;a），将长方形ABCD沿直线EF折叠，求图中折成的四个阴影三角形的周长之和（用含a，b的代数式表示）.

解析：

如图5，由折叠可得GE=AE，GL=AB，LF=BF，

∴DE+GE=DE+AE=AD，CF+LF=CF+BF=BC.

∵AB=CD=a，AD=BC=b，

∴GL+CD+（DE+GE）+（CF+LF）=AB+CD+AD+BC=2a+2b.

∴四个阴影三角形的周长之和为2a+2b.

点评：对于翻折图形的面积或者周长的问题，要注意折叠前后图形的哪些边长是相等的，结合轴对称的性质、勾股定理等知识，判断是否可以求得某些边长的内在联系或者长度，从而快速解决问题.

4 翻折后点的坐标问题

对于翻折后点的坐标的求解问题，要从翻折后的图形的特点出发，发现翻折前后图形变化情况，尤其要注意从边长、角度入手，寻找相等的关系，注意利用方程思想或者三角形相似和全等，构造等式关系，实现问题快速突破.

例4 如图6，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴上，边OC在x轴上，点B的坐标是（8，6），D为AB边上一个动点，把△OAD沿OD折叠，若点A的对应点A′恰好落在矩形的对角线AC上，则点A′的坐标为（" ）.

A.14425，4225

B.10425，7225

C.5625，4225

D.9625，7225

解析：如图7，点A的对应点A′恰好落在矩形的对角线AC上，过A′作A′E垂直x轴于点E.

由四边形OABC为矩形及B（8，6），得

A（0，6），C（8，0）.

设直线AC的解析式为y=kx+b.

将点A（0，6），C（8，0）代入，得b=6，8k+b=0.

解得k=-34，b=6.

所以直线AC的解析式为y=-34x+6.

设点A′（a，-34a+6）（0lt;alt;8），则

OE=a，A′E=-34a+6.

根据折叠的性质，可得OA=OA′=6.

在Rt△OA′E中，由OE2+A′E2=OA′2，得

a2+-34a+62=62.

解得a1=14425，a2=0（舍去）.

所以A′E=-34×14425+6=4225，则

A′14425，4225.

故选：A.

点评：对于翻折后点的坐标问题，在厘清翻折后图形的特点和性质，以及角度和线段长度的基础上，分析条件，充分利用折叠的性质、平行四边形性质、待定系数法、勾股定理等知识转化为基本问题解决.

5 结语

翻折问题是最近几年中考的热点，往往出现在压轴题的位置，但是这类题目的翻折变化种类比较多，题型也呈现多样化，问题灵活性比较强，思维难度比较大，且对于学生的综合解题能力要求比较高.因此，对于这类综合性问题的解决，要在充分理解题意的基础上，利用图形翻折前后的内在联系，让学生认真细致多角度地思考，多方面考虑问题解题思路，熟练掌握数学解题方法，不断总结经验，不断提高解决这类问题的能力.