圆周角定理的巧用妙解

摘要：圆周角定理是每年中考必考的一个基本知识点，在解决平面几何的求值、判断、证明、综合等相关问题中都有着广泛的应用.本文中结合实例，就圆周角定理的应用加以实例剖析，有效指导数学学习与复习.

关键词：圆周角定理；应用；线段；判断；证明

运用圆周角定理，可以将圆周角相等的问题转化为弧相等、弦相等或者线段相等等问题，在圆中涉及角或线段的求值、图形判断与计算、综合证明等问题，经常要用到圆周角定理及其推论.下面就圆周角定理的一些常见应用加以实例剖析.

1 角或线段的求值问题

结合圆周角定理，并综合相似三角形等其他相关知识，可以用来破解涉及长度、比值以及面积等角或线段的求值问题，破解的关键是在综合运用圆周角定理、平行截割中的相关性质与定理、相似三角形的判定与性质以及直角三角形射影定理等，有效考查与培养学生逻辑推理能力与代数运算能力等.

例1 如图1所示，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=.

分析：结合圆周角中的相关定理确定两三角形相似，利用相似比并结合同角三角函数的基本关系式来求值.

解析：连接AD，结合题目条件并利用圆周角定理及推论，得△CDP∽△BAP.

于是cos∠APD=PDPA=CDBA=13.

所以sin∠APD=1-132=223.

故填答案：223.

点评：本题主要考查圆周角的相关定理与推论，以及同角三角函数的基本关系式等，充分体现数学中的转化与化归思想.在解题过程中注意探索，沟通已知与未知、条件与结论的联系，不断转化，以获得解题思路.

例2 如图2所示，已知圆内接△ABC，∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，BD=3，CE=7，BC=5，则线段BE=.

分析：根据同弧、等弧所对的圆周角的特点可转化为角与角的相等关系，利用相似三角形过渡，建立相应的关系式即可求解线段长度.

解析：由圆周角定理中同弧所对的圆周角相等，知∠EBA=∠ECA.又因为∠ECA=∠ECB，所以∠EBA=∠ECB.又因为∠BED=∠CEB，所以△BDE∽△CBE，则有BECE=BDBC.

所以BE7=35，解得BE=215.

故填答案：215.

点评：本题主要考查圆周角定理及两个三角形相似的判定与应用等.这里解题的关键是圆周角与相似三角形知识间的联系，圆中知识的综合应用是对知识和能力的综合考查，也是根本所在.

2 图形判断或综合证明问题

结合圆周角定理，综合相似三角形来解决图形判断或综合证明问题等，相应方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法.判断相似的推理思路主要有：（1）先找两组内角相等；（2）若只有一组角对应相等，再判断这个角的两邻边是否对应成比例；（3）若无角对应相等，则要证明三边对应成比例.在图形判断与综合证明问题中往往以圆为背景来设置.

例3 如图3所示，点A，P，B在⊙O上，∠APB=90°，PC平分∠APB，交⊙O于点C，则△ABC的形状为（" ）.

A.等腰非直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等边三角形

D.无法确定

分析：结合圆周角的相关定理与推论加以分析，通过直径与直角的关系及等弧对等弦进行转化，进而判定三角形的形状.

解析：因为圆周角∠APB=90°，所以AB为⊙O的直径，从而∠ACB=90°.

又由于PC平分∠APB，则C为AB的中点，则有AC=CB，从而AC=BC.

所以△ABC为以∠ACB为直角的等腰直角三角形.

故选择答案：B.

点评：本题主要考查圆周角定理及三角形的性质等.涉及圆中相关的弦、弧，以及直角等问题，往往考虑应用圆周角定理及其相关的推论求解.

例4 如图4，PC切⊙O于点C，过圆心的割线PAB交⊙O于A，B两点，BE⊥PE，垂足为E，BE交⊙O于点D，F是PC上一点，且PF=AF，FA的延长线交⊙O于点G.

求证：（1）∠FGD=2∠PBC；（2）PCAG=POAB.

分析：（1）结合辅助线的构造及切线的性质确定OC⊥PC，进而根据条件得到两直线平行，确定对应角相等，再利用圆周角定理转化角之间的关系，结合三角形外角的性质，利用等量代换来证明；（2）结合辅助线的构造，利用圆的性质得到直径所对的圆周角为直角，并通过线段相等来转化对应的角的关系，进而判断对应三角形相似，再结合三角形相似的性质来证明线段的比例关系.

证明：（1）连接OC，由于PC切⊙O于点C，则有OC⊥PC.

又BE⊥PE，可得OC∥BE，则有∠POC=∠PBE.

由圆周角定理中同弧所对的圆周角相等，可得∠PBE=∠FGD，则∠POC=∠FGD.

而∠POC=∠PBC+∠OCB=2∠PBC，所以∠FGD=2∠PBC.

（2）连接BG，因为AB是⊙O的直径，所以可知∠AGB=90°.

又OC⊥PC，则可得∠PCO=90°，于是∠AGB=∠PCO.

又FP=FA，可得∠FPA=∠PAF=∠BAG，所以△PCO∽△AGB，于是PCAG=POAB.

点评：本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质、三角形的性质以及相似三角形的判定与性质等相关知识.借助图形的直观，合理并巧妙地转化，是证明问题的关键所在，也是在不断化归与转化过程中寻找证明的突破口.

3 综合应用问题

结合圆周角定理，以及平面几何的相关知识，可以破解一些平面几何中的创新应用、推理归纳、猜想总结类的综合应用问题等.

例5 如图5-1，5-2，5-3，……5-n，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……正（n+2）边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连结OM，ON.

……

（1）求图5-1中∠MON的度数；

（2）图5-2中∠MON的度数是，图5-3中∠MON的度数是；

（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）.

分析：（1）通过辅助线的构造，结合圆周角定理及相关知识，借助全等三角形的判定与性质加以求解；（2）仿照第（1）小题的解法，合理归纳即可求出对应的角度；（3）进一步归纳总结，确定规律性的结论.

解析：（1）连接OB，OC，由于正三角形ABC内接于⊙O，则知∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°，又因为BM=CN，OB=OC，所以△OBM≌△OCN，则有∠BOM=∠NOC.

所以∠MON=∠BOC=120°.

（2）仿照第（1）小题的解法，可知图5-2中∠MON的度数是90°，图5-3中∠MON的度数是72°.

（3）由（1）（2）不难发现，∠MON=360°n.

点评：合理借助圆周角定理等圆的相关知识及全等三角形的判定与性质等，合理归纳，巧妙推理，得以破解此类创新性的综合应用问题.

圆周角定理有效沟通了圆周角相等、弧相等、弦相等、线段相等等相关要素之间的关系，实现角与线段之间的合理变形与转化.利用圆周角定理及其对应的推论，解决角或线段的求值、图形判断、综合证明等相关的数学问题，很好地考查直观想象、逻辑推理、代数运算等数学素养.