对发展初中生直观想象素养的思考与实践

直观想象是学生数学核心素养的重要组成部分，是学生认识事物的重要途径.在初中数学教学中，教师要提供时间和空间让学生去操作、观察，直观感知数学知识的奇妙，以此激发学生学习的积极性，发展直观想象素养［1］.笔者以“正方形的轴对称性”教学为例，谈谈直观想象的价值和培养策略.

1 动手实践，抽象基本图形

活动1：请用正方形纸片折一折，说一说它有几条对称轴？

教师让学生动手折，然后投影展示折痕（如图1），以此通过动手操作找到正方形的4条对称轴.折叠是学生发现、理解和掌握轴对称性的有效方法，为此在实际教学中，教师应创造机会让学生动手操作，以此帮助学生获得丰富的感知.在此基础上，教师让学生按照如下步骤操作：

（1）将正方形沿对角线对折，在折痕上任取一点，沿该点与直角顶点所在直线对折.

（2）将正方形沿一组对边的中点对折，然后在折痕上任取一点，沿该点与任一直角顶点对折.

学生积极操作，得到如图2和图3所示的折痕图.在此基础上，教师引导学生观察图2、图3，由此让学生通过观察、推理得到三角形全等，如图2中△ABF≌△CBF，△ADF≌△CDF，图3中△BEF≌△CEF.以此通过观察、推理积累丰富的活动经验，为接下来的探究作铺垫.

设计意图：通过折叠帮助学生积累丰富的感性素材，为后期的应用打下坚实的基础.在此过程中，教师引导学生操作、观察、推理，为发展“直观想象”作铺垫.

活动2：如图4、图5，结合以上折叠经验，说说你有什么发现.

教师先让学生动手折一折，然后说一说蕴含其中的相等关系，以此发展学生的直观想象素养.

师：将图2与图4相对比，说说你的发现.

生1：若四边形ABCD为正方形，连接AF，易证△ABF≌△CBF，则AF=CF.

师：很好，现在我们来看一下这道题.（教师PPT出示例1.）

例1 如图4，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，其中E是BC边的中点，F是BD边上的动点，连接EF，CF，则EF+CF的最小值是.

问题给出后，学生结合已有经验将问题转化为求EF+AF的最小值，由此判定当A，E，F三点共线时其长度最小，分析至此问题得以获解.

师：观察图5和图3，你又有什么发现？

生2：若图5中的四边形为正方形，且E，F分别为边BC和AD的中点，连接PC，则易证BP=PC.

师：很好，非常棒的发现.若连接AP，DP，你又发现了什么呢？

生齐声答：AP=DP.

师：非常棒，根据以上发现，看看例2该如何求解？（教师PPT出示例2.）

例2 如图5，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC和AD的中点，P为EF边上一动点，点G在AB边上，若AB=4，AG=1，则PG+PB的最小值是.

问题给出后，学生结合以上经验，很快利用轴对称将BP转移到PC，由此可知，当P，C，G三点共线时，PG+PB取最小值，由此问题轻松获解.

设计意图：教学中，教师引导学生通过动手折直观感知轴对称，并通过取点获得基本图形，为后期的应用奠定基础.紧接着，教师对图形进行变形，引导学生多角度辨析，进一步加深学生对基本图形的理解.在此过程中，没有生搬硬套和机械灌输，而是通过观察、探索、应用等过程逐层深入，让学生在比较中发现基本图形的不同形态，激活学生的数学思维，点燃学生的学习兴趣，促进学生直观想象素养的培养.

2 分解组合，促进深化

在环环相扣的问题的引领下，学生对正方形的轴对称性已经有了一定的认识，接下来教师通过应用进一步强化，让学生的思维逐渐走向有序，切实提高学生思辨能力，发展学生的识图、用图能力.

例3 如图6，在正方形ABCO中，AB=4，OP=32，点Q（3+10，3）.试探究∠PQA，∠BCP，∠BAQ这三个角之间存在怎样的数量关系？

题目给出后，学生认真观察图形，主动挖掘图形中的“秘密”，探索解题思路.学生根据正方形对称性易想到连接PA，继而得到∠BCP=∠BAP.通过直观观察，猜想∠BCP+∠BAQ=∠PQA，继而将问题就转化为证明PA=PQ.分析至此，教师鼓励学生将图形进行拆分，即可得到如图7（1）所示的基本图形和如图7（2）所示的可解的△POA.

这样根据已有知识和已有经验，易求得PA和PQ的长都为10，即可证明PA=PQ，所以有∠BCP+∠BAQ=∠PQA，问题得以获证.

例3的综合性较强，涉及正方形的轴对称、两点间的距离公式、勾股定理等多个知识点.教学中教师引导学生逐层分析，让学生逐渐从复杂图形中分离出基本图形，提高解题效率.

设计意图：在培养学生直观思维的过程中，教师需要提供时间让学生思考，引导学生经历操作画图、例题探究等过程，通过由浅入深、循序渐进的指导让学生的思维逐渐走向深入，继而提高学生的数学应用水平.同时，在此过程中，教师要引导学生透过现象认清问题的本质，培养学生的识图、用图能力，发展学生的直观想象素养.

3 拓展应用，实现升华

通过经历简单应用和综合应用等阶段，学生对基本图形已经有了深刻的认识，在此基础上，教师将问题进行拓展延伸，将正方形的轴对称迁移至矩形、菱形中，从而通过对比分析帮助学生建构完善的知识体系，拓宽学生的视野，升华学生的认知，提高学生分析和解决问题的能力.

例4 如图8，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F.

求证：（1）△DAE≌△DCF；

（2）∠FEB=∠EFB.

（答案略.）

设计意图：数学知识是一门逻辑性较强的学科，数学知识之间有着密切的联系.在实际教学中，教师应关注知识间的内在联系，指导学生从整体视角去分析问题，建构完善的知识体系，提高学生的综合应用能力.本环节，教师将正方形的轴对称迁移至矩形、菱形的轴对称，通过多角度分析促使学生理解基本图形的本源，加深对轴对称的理解.在数学教学中，尤其在基础知识的教学中，不要局限于知识的理解和识记，应将其进行拓展延伸，丰富知识的内涵，提高学生分析和解决问题的能力.

从以上实例可以看出，直观思维在解题中发挥着重要的作用，其可以帮助学生找到解题的突破口，形成解题策略［2］.不过，直观想象具有一定的主观性，并不能直接加以应用，需要进行推理验证.扎实的基础储备、丰富的活动经验、完善的知识结构是解题的关键.因此，在实际教学中，教师要关注学生基础知识、基本方法和基本活动经验的积累，以此提高解题能力.

总之，在日常教学中，教师要提供时间让学生经历观察、猜想、验证等环节，由此让学生的认知由直觉走向本质，切实提高数学能力和数学素养.

参考文献：

[1]张碧铿.基于核心素养理念下“图形的变化”数学教学实践探索[J].课程教学研究，2022（7）：68-71.

[2]孙雪玉.借助直观想象 提升核心素养——以“正方形轴对称性”的教学为例[J].初中数学教与学，2021（15）：4-6，38.