“横”到“竖”位置改变引发图形旋转的教学思考

摘要：本文中对书的位置由横到竖改变的教学片段作深度剖析，分析实现位置由横到竖变化的两类途径，即一次旋转变换如何实现及两次变换如何合成，指出案例中提及的一次旋转方法不具备一般性，并对案例进行再设计——如何以情境素材为主线层层深入开展教学.建议基于单元整体对旋转变换开展教学，“慢下来”，让学生充分体验和感悟“旋转”，从而深刻理解旋转性质.

关键词：旋转变换；“横”到“竖”；“情境”再设计

笔者曾参加某校调研观摩了浙教版九上“3.2图形的旋转”的教学，以下是其中的一个教学片断.

师提问：如图1，平面内横放的这本书经过怎样的变换，可以与竖放的这本书重合呢？

生甲演示：横放的书绕这个点（这本书的左上角顶点）逆时针旋转90°后，平移过来，可以与它（竖放的书）重合.

师追问：有不同方法吗？

生乙：一次（旋转变换）就可以了！

生乙讲解：旋转中心不是必须在这个点（横放的书的左上角顶点）的！可以是两个底（两本书的宽所在这条边）的垂直平分线的交点！然后演示横放的书绕这个交点逆时针旋转90°与竖放的书重合的过程——一次成型！

漂亮！课堂上响起了掌声！

1 案例剖析

1.1 案例的数学本质

将书本抽象为矩形转化为数学问题.如图2，矩形ABCD经过怎样的图形变换能与矩形BEMN重合？生甲经过旋转和平移两次变换实现，生乙则通过描述旋转中心的位置，一次旋转达到指定位置.两位同学的回答，说明了三大全等变换之间有联系，旋转变换可以通过若干次的平移（轴对称变换）与旋转变换的合成或分解得到.

1.2 “一次旋转”的验证

根据旋转性质——对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.旋转中心可用交轨法得到，作出各组对应点连线的中垂线，若交于一点，且任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度相等，则该交点是旋转中心，该相等的角度就是旋转角度.因此，根据生乙的描述，我们可以通过画图进行验证，作对应点连线段MC和ND的中垂线交于一点O，且所成的角相等.图3即为所求.

如图3，两矩形短边中垂线的交点和旋转中心交于同一点O，因此生乙的方法是可行的.但是这种方法是否具有一般性呢？要解决这个问题，将两个矩形分离进行验证.我们发现当两个矩形分离时，如图4，两个矩形宽的中垂线的交点F与旋转中心O不重合，所以生乙描述的方法不具有一般性.旋转中心的位置，要基于旋转性质，利用尺规作图来确定.

1.3 “横”到“竖”两次变换合成，多途径重合

问题 如图5，横放的这本书经过怎么样的变换可以与竖放的书重合？（假设竖直放置的书不动.）

1.3.1 旋转+平移（两次变换）

变换1：矩形ABCD绕着点B逆时针旋转90°，然后再向左平移BE长得到.

变换2：矩形ABCD先向左平移，使得点B和点E重合，然后再绕点E逆时针旋转90°得到.

变换3：矩形ABCD先向上平移，使得点A和点B重合，再绕矩形EBNM中的点B逆时针旋转90°得到.

变换4：矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°，然后再向上平移AB长得到.

1.3.2 旋转+旋转（两次变换）

变换5：矩形ABCD先绕点B顺时针旋转90°得到矩形EBHI（图6），然后将矩形EBHI绕EB的中点O顺时针旋转180°，如图7.

上述问题，反映了不同的图形变换之间是可以相互转换的.通过一次旋转变换得到的图形位置也可以由多次旋转或者旋转与平移变换合成得到.

1.4 两个全等图形重合与旋转变换的关系

一个结论：任意两个全等图形在非平移状态下只通过旋转变换就能实现重合.

以任意两个全等的三角形为例（如图8），通过对应点连线的中垂线交点找到旋转中心，即在两个全等图形对应边不平行情况下一定可以通过一次旋转使它们重合，因此结论可以推广到任意全等的图形.

若在在平移状态下，任意两个对应点的连线是互相平行的，因此它们的中垂线不可能相交，故旋转中心不存在（或无穷远处）.如图9

但是，本案例中书的形状是矩形，矩形具有轴对称和中心对称性.由于中心对称性为特殊的旋转变换，因此平面内两个全等矩形可以只通过旋转达成重合（如图10）.这个结论还可以推广到一般的平行四边形，甚至是一般的中心对称图形，如图11所示.

2 “情境”再设计，重构教学

利用“横”到“竖”位置的改变这个情境，按照几何研究的“背景—概念—性质（判定）—联系—应用”基本套路，以问题链为线，以“单元整体教学思想”为落脚点，通过观察、动手操作，归纳共同特征及旋转三要素，获得图形旋转的定义，探究旋转性质并利用旋转性质解决问题，完成教学.教学过程中，引入环节和利用旋转性质解决问题过程中均利用“‘横’到‘竖’位置如何改变”这个情境，不同的环节利用同一个情境，可以有效提升学生的思维深度.

环节一 回顾旧知

问题1 我们学习了哪些变换？以平移变换为例说说我们是怎样学习的？

环节二 感知生活中的旋转现象，归纳旋转概念

问题2 观察图12，这些运动有什么共同特征？

问题3 如图13放置的两本书，怎样变换可以使两本书重合？尝试将你的方法写出来，你能根据刚才的操作，给图形的旋转下定义吗？

环节三 探究旋转性质

设计活动：

（１）如图14，在平面内，已知点O和点Ａ，以点O为旋转中心，画出点Ａ逆时针旋转60°得到的点Ａ1.

（2）如图15，平面内，已知点O和线段AB，点O在线段AB外.以点O为旋转中心，画出线段AB逆时针旋转60°得到的线段A1B1.

（3）如图16，平面内，已知点O和△ABC，点O在△ABC的外部.以点O为旋转中心，画出△ABC逆时针旋转60°得到的△A1B1C1.

（4）观察题（3）中旋转前后的图形，请指出哪些线段、角相等？变化和不变的量分别是什么？

（5）探究：题（4）中的现象对于任意三角形绕着任意一点旋转任意角度都成立吗？请尝试概括你的发现.

环节四 利用旋转性质解决问题

问题4 如图17，画出矩形ABCD绕点B逆时针旋转90°后得到的图形.（图18）

问题5 如图18中，矩形ABCD绕点B逆时针旋转90°得到EFHG，求证：HE和AC垂直.

环节五 数学活动，拓展升华

问题6 如图19，改变两本书的位置，可以怎样变换使书本由横到竖？（小组讨论.）

问题7 问题6中两书的位置由横到竖的改变可以通过一次旋转得到吗？试找出它的旋转中心，你是怎么找到的？（小组讨论.）

问题8 通过上述问题的解决，对平移变换、轴对称变换和旋转变换三者之间的关系有什么新的认识？

设计说明：以两本书为载体，从较特殊的位置关系入手，激发学生思考.问题切口低，易于每位学生操作.由实际问题抽象出数学概念（旋转），通过环节三活动设计体验并归纳旋转性质，问题4与问题5则是旋转性质的简单应用.问题6，改变教材例题背景，结合已学的平移变换与旋转变化来解决.问题7，寻找旋转中心位置抽象度高，对学生深度理解旋转性质提出了较高要求，在解决这个问题的过程中，使不同思维能力的人有不同的发展，也使学生对三大全等变换之间的联系有进一步的认识.

3 关于旋转变换的教学思考

3.1 “旋转变换”教学内容承载的育人功能

图形位置变化，其内在是通过图形的平移、轴对称及旋转三大变换来实现.图形运动本质是图形上点位置的变化，确定图形运动前后位置关系，了解其中的变化和不变，即为点位置的变与不变.因此，图形的运动与图形的位置有密切关系.在旋转变换的教学中，由生活实际现象归纳出旋转的概念，可以培养学生归纳抽象能力和表达能力.在探索旋转的基本性质的过程中，可以很好地培养学生的数形结合思想.在利用旋转性质求线段长度、旋转角度等数量关系的过程中，可以培养学生推理计算能力和逻辑思维.图形的旋转变换，是培养学生几何直观、空间观念素养及几何推理素养的重要载体.

3.2 主张在“单元整体教学视角下”设计旋转变换

旋转作为三大全等变换之一，是图形变换中最后学习的内容.学生对变换的研究内容和一般套路都有所知.图形变换教学的一般套路为：动手操作（或观察一类生活中相关变换的现象）—归纳共性—下定义（得出概念）—探究性质—性质应用.学生已具有学习平移变换和轴对称变换的经历，积累了学习旋转变换的经验.旋转与平移、轴对称有类似的知识结构.因此，可以类比研究平移、轴对称的方法研究旋转.开展旋转变换教学时要基于“单元整体教学思路”.学完旋转、平移及轴对称变换后，学生已

具备提升全等变换知识群的条件.因此可以设计活动：综合运用三种变换设计图案；设计问题，比较三种变换的异同及探究三种变换间的分解与合成.

3.3 “慢下来”，让学生充分体验和感悟“旋转”

章建跃博士指出，图形变化主要是认识“变化中的规律性及不变性”.不变性最基本是距离和角度的不变性.所以三大变换的共同特征是“保距性”和“保角性”.这种不变性在直观上容易理解，如何用数学方法进行严谨的刻画则是难点.旋转变换的要素之一——旋转角度是一个可变量，不同的旋转角度影响着旋转后图形的位置.因此学生对理解“已知两个图形的位置关系，解决如何由其中一个图形旋转得到另一个图形”比较困难.再有教材中问题的旋转中心，大都不在旋转图形上，描述图形旋转时，旋转中心位置的确定也是难点.因此，由生活实际问题提炼出旋转概念的过程中，要给学生充分的体验和感悟.这个体验可以是学生直接操作（学生自己旋转），也可以是教师多媒体演示学生观察，还可以让学生通过列举生活中旋转的例子等方式，充分感知、体验物体旋转过程的特点，概括出图形旋转的概念，提炼旋转变换三要素，并学会按三要素规范表达旋转变换，会用数学的语言表达现实世界.

对于生活中蕴含数学原理的现象，如何数学化地引导学生思考？教师可基于教学视角和问题解决视角来引导和处理.从教学视角出发，教师首先需要引导学生将实际问题抽象为数学问题，用数学方法来解决，整个过程注重一般方法的引导和提炼.从问题解决视角，则从学生学习角度而言，引导学生归纳总结解决问题的一般套路.本案例中，将书抽象成矩形，其位置改变通过旋转变换来实现：由两对对应点连线的中垂线找旋转中心，从而确定旋转角度和旋转方向，这是解决旋转问题的一般方法.旋转变换也可以转化为平移变换和旋转变换的合成.总之，教师只有理解问题的本质和通性通法，才能在教学过程中发挥课程内容承载的数学育人功能，培养学生的数学核心素养.