数形结合思想在解题中的应用

摘 要：“数”与“形”之间有着紧密的联系，通过几何图形来求解代数问题直观、形象.文章利用数形结合思想，通过“以形助数”来求解函数的零点、方程的根以及最值问题，通过“以数解形”来求解几何动态问题.

关键词：数形结合；函数零点；最值问题；动态问题

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0032-03

根据“数”与“形”之间的对应关系，通过“数”与“形”的相互转化来解决数学问题的思想，就是数形结合思想.下面结合具体例子给出数形结合思想的三个应用.

1 利用数形结合求解函数零点与方程的根的问题

利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.

例1 设a∈R，对任意实数x，记f（x）=minx-2，x2-ax+3a-5.若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为.

解析 设g（x）=x2-ax+3a-5，h（x）=x-2，由x-2=0可得x=±2.

要使得函数f（x）至少有3个零点，则函数g（x）至少有一个零点，则△=a2-12a+20≥0，解得a≤2或a≥10.

①当a=2时，g（x）=x2-2x+1，作出函数g（x），h（x）的图象如图1所示，此时函数f（x）只有两个零点，不合乎题意.

②当alt;2时，设函数g（x）的两个零点分别为x1，x2（x1lt;x2），

要使得函数f（x）至少有3个零点，则x2≤-2，则

a2lt;-2，g（-2）=4+5a-5≥0，解得a∈.

③当a=10时，g（x）=x2-10x+25，作出函数g（x），h（x）的图象如图2所示.由图2可知，函数f（x）的零点个数为3，合乎题意.

④当agt;10时，设函数g（x）的两个零点分别为x3，x4（x3lt;x4），要使得函数f（x）至少有3个零点，则x3≥2，可得

a2gt;2，g（2）=4+a-5≥0，

解得agt;4，此时agt;10.

综上所述，实数a的取值范围是［10，+∞）.

故答案为［10，+∞）.

点评 设g（x）=x2-ax+3a-5，h（x）=x-2，分析可知函数g（x）至少有一个零点，可得出△≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合函数图象可求得实数a的取值范围［1］.

2 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题

向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题.灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.

例2 已知A（2cos15°，2sin15°），O（0，0），且

|OB|=|OC|=2，则AB·AC的取值范围是.

解析 由题意，OA=4cos215°+4sin215°=2，故A，B，C均在圆心为原点，半径为2的圆上，如图3所示.

①当AB为直径时，

AB·AC=AB·ACcos〈AB，AC〉

=4ACcos〈AB，AC〉，

又ACcos〈AB，AC〉为AC在直径AB上的投影，故ACcosA∈［0，4］，此时AB·AC∈［0，16］.

②当AB不为直径时，

AB·AC=AB·ACcos〈AB，AC〉.

设AB=2x，数形结合可得AC在AB上的投影ACcos〈AB，AC〉∈［x-2，x+2］.

故2x（x-2）≤AB·AC≤2x（x+2）.

即2（x-1）2-2≤AB·AC≤2（x+1）2-2.

故当x=1，AB=2时2（x-1）2-2有最小值-2，此时-2≤AB·AClt;16.

综上可得AB·AC的取值范围是［-2，16］.

点评 由题意，A，B，C三点均在圆心为原点，半径为2的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值求解即可.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离［2］.

3 几何动态问题中的数形结合

对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.

例3 已知点M（-5，0），点P在曲线x29-y216=1（xgt;0）上运动，点Q在曲线（x-5）2+y2=1上运动，则PM2PQ的最小值是.

解析 如图4所示，在双曲线x29-y216=1中，

a=3，b=4，c=a2+b2=5，圆（x-5）2+y2=1的圆心为C（5，0），半径长为r=1，所以双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为M，C.

由双曲线的定义可得

PM=PC+2a=PC+6，

PQ≤PC+1.

所以PM2PQ≥（PC+6）2PC+1

=（PC+1）+25PC+1+10

≥2（PC+1）·25PC+1+10=20，

当且仅当Q为射线PC与圆C的交点，且PC=4时等号成立.

故PM2PQ的最小值是20.

点评 作出图形，分析可知PM=PC+6，PQ≤PC+1，利用基本不等式可求得PM2PQ的最小值.

例4 已知点A（1，1），点P是双曲线C：x29-y27=1左支上的动点，Q是圆D：（x+4）2+y2=14上的动点，则（" ）.

A.双曲线C的实轴长为6

B.双曲线C的渐近线为y=±377x

C.PQ的最小值为12

D.PA-PD的最小值为6-10

解析 对于选项A，由双曲线方程知a=3，则C的实轴长为6，故A正确；

对于选项B，由双曲线方程知C的渐近线为

y=±73x，故B错误；

对于选项C，双曲线、圆如图5所示，D（-4，0）为左焦点，当且仅当P为x轴交点，Q为x轴右交点时，PQ最小为12，故C正确；

对于选项D，由F（4，0）为右焦点，|PF|-|PD|=2a=6，则PA-PD=PA+6-|PF|，要使PA-PD最小只需P，A，F共线，此时（PA-PD）min=6-|AF|=6-10，故D正确.

综上，选ACD.

点评 根据双曲线方程写出实轴长、渐近线方程判断A，B；由圆和双曲线的位置关系，结合双曲线的性质、数形结合求PQ的最小值，由F（4，0）为右焦点，根据双曲线的定义将目标式转化为PA+6-|PF|即可求最小值.

4 结束语

有些代数问题直接进行代数运算会比较麻烦，若能作出图形，结合图形的性质求解就会简洁得多[3].而对于与几何图形有关的最值问题，通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时若能充分考虑几何关系，比如充分利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”等几何结论，则会简化运算.这些都体现了数形结合思想在解题中的优越性.

参考文献：

［1］ 李鸿昌，朱潇.活跃在模考试题中的复合函数零点问题[J].数学通讯，2018（15）：30-34.

[2] 李鸿昌.椭圆内接等腰直角三角形的个数问题：从2023年1月武昌区高三期末试卷第8题谈起[J].数理化解题研究，2023（31）：71-73.

[3] 赵世鹏.高考数学解题中数形结合思想的应用[J].数理化解题研究，2024（01）：51-53.

［责任编辑：李 璟］