圆锥曲线中三角形面积公式的探析与应用

摘 要：圆锥曲线中的三角形面积公式可用不同的元素来表征：用直线斜率表征三角形面积公式；用向量为基本量表征三角形面积关系；用顶点坐标表征三角形面积公式.文章举例说明圆锥曲线中三角形面积公式的应用.

关键词：斜率三角形面积公式;向量三角形面积公式；坐标三角形面积公式

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0072-04

圆锥曲线中含有三角形面积问题是各类考试中的热点问题，但由于计算量大，常使运算过程“卡壳”而无功而返.这与三角形面积公式的表征有很大的关系，用直线斜率表征三角形面积公式——斜率三角形面积公式；用向量为基本量表征三角形面积关系——向量三角形面积公式；用顶点坐标表征三角形面积公式——坐标三角形面积公式.用斜率三角形面积公式是一种解题思维惯性， 用向量三角形面积公式是一种思维迁移，用坐标三角形面积公式是一种解题思维创新，对于顶点在原点的三角形用坐标三角形面积公式，能很大程度上减少运算量，易于形成“生动·互动”课堂，实现思维进阶，从而提高解题效率.

1 预备知识

公式：平面上点A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），则△AOB的面积：

S△AOB=12x2y1-x1y2=12x1y2-x2y1，此三角形公式称为“坐标三角形面积公式”.

证法1 （把图形进行切割的方法）如图1，设A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），过点B作BC⊥x轴，交OA于点C，则OA：y=y1x1x，C（x2，x2y1x1），

BC=y2-x2y1x1=x1y2-x2y1x1.

所以S△AOB=12BCx1=12x1y2-x2y1.

图1 证法1示意图

证法2 （用三角形面积公式证明）如图1，设A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），则OA：y=y1x1x，点B到直线OA：y1x-x1y=0的距离d=y1x2-x1y2x21+y21.

又OA=x21+y21，

所以S△AOB=12OAd=12x1y2-x2y1.

证法3 （用向量方法证明）如图1，设A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），则

OA=（x1，y1），OB=（x2，y2）.

所以S△AOB=12OAOBsinlt;OA，OBgt;

=12OAOB1-cos2lt;OA，OBgt;

=12OAOB

1-（OA·OBOAOB）2

=12（OAOB）2-（OA·OB）2

=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12（x1y2-x2y1）2

=12x1y2-x2y1.

由此可知x1y2-x2y1的几何意义是：由三点A，O，B所组成的三角形面积的2倍，或表示以OA，OB为邻边的平行四边形的面积［1］.

评注 以上三种方法，遵循了学生从初中到高中求解三角形面积公式的逻辑生成过程，以及知识形成的过程，呈现了解决问题进阶路径的生成过程.

2 问题探析

例1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦点分别为F1，F2，P（-263，33）满足|PF1|+|PF2|=2a，且以线段F1F2为直径的圆过点P.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于M，N两点，直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，当△OMN的面积为定值1时，k1k2是否为定值？若是，求出k1k2的值；若不是，请说明理由.

2.1 第（1）问解析

解析 设F1（-c，0），F2（c，0），以线段F1F2为直径的圆过点P，所以PF1⊥PF2.

所以PF1·PF2=（-c+263，-33）·（c+263，-33）=0.

所以c=3.

所以a2-b2=3.

将P（-263，33）代入x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），

解得a2=4，b2=1.

所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.

2.2 第（2）问解析

解法1 用直线斜率为基本量来表征三角形面积关系——斜率三角形面积公式.

当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x=m，

设M（m，y0），N（m，-y0），则m24+y20=1.①

又S△OMN=12×2|y0||m|=1，

所以m2y20=1.②

由①②解得m2=2，y20=12.

所以k1k2=y0m·-y0m=-y20m2=-14.

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立x24+y2=1，y=kx+m， 得

（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，

△=64k2-16m2+16gt;0，

所以x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2.

所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+

km（x1+x2）+m2=m2-4k21+4k2.

所以k1k2=y1y2x1x2=m2-4k24m2-4.③

又|MN|=1+k2·|x1-x2|2

=1+k2·64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）（1+4k2）2

=41+k2·4k2-m2+11+4k2，

点O到直线MN的距离d=m1+k2，

所以S△ONN=12d×|MN|

=12·m1+k2·41+k2·4k2-m2+11+4k2

=2|m|4k2-m2+11+4k2=1.

（此三角形公式称为“斜率三角形面积公式”）

即4m4-4（4k2+1）m2+（4k2+1）2=0，

解得m2=1+4k22.

代入③式，得

k1k2=y1y2x1x2

=m2-4k24m2-4

=（1+4k2）/2-4k24×（1+4k2）/2-4=-14.

综上可知，当△OMN的面积为定值1时，k1k2是定值-14.

解法2 用向量为基本量表征三角形面积关系——向量三角形公式.

如图2，不妨设直线与x轴交于点Q，OM：y=k1x，ON：y=k2x，∠MOQ=θ1，∠NOQ=θ2，则tanθ2=k2，tanθ1=-k1，S△MON=12OMONsin（θ1+θ2）.

图2 第（2）问解法2示意图

又tan（θ1+θ2）=-k1+k21+k1k2，

所以sin2（θ1+θ2）=k21+k22-2k1k2k21+k22+k21k22+1.

由x2M4+k21x2M=1，得x2M=41+4k21.

同理x2N=41+4k22.

所以OM2=x2M+k21x2M

=4k21+44k21+1，

同理可得ON2=4k22+44k22+1.

故S2△MON=14OM2ON2sin2（θ1+θ2）

=14·4k21+44k21+1·4k22+44k22+1·k21+k22-2k1k2k21+k22+k21k22+1=1.

即4（k21+1）（k22+1）（k21+k22-2k1k2）=（4k21+1）（4k22+1）（k21+1）（k22+1）.

所以4（k21+k22-2k1k2）=（4k21+1）（4k22+1）.

所以16（k1k2）2+8k1k2+1=0.

所以（4k1k2+1）2=0.

所以k1k2=-14.

解法3 用点坐标为基本量表征三角形面积关系——点坐标三角形公式.

设OM：y=k1x，ON：y=k2x，M（x1，y1），N（x2，y2），

由面积公式S△MON=12x1y2-x2y1，得

S2△MON=14x1y2-x2y12=1.

即

（x1k2x2-x2k1x1）2=4.

即（x1x2）2（k2-k1）2=4.

由x214+k21x21=1，得x21=41+4k21.

同理x22=41+4k22.

代入（x1x2）2（k2-k1）2=4，

化简，得

16（k1k2）2+8k1k+1=0.

即（4k1k2+1）2=0.

所以k1k2=-14.

3 互动练习

练习 （2011年山东高考理科数学22题）已知动直线l与椭圆C：x23+y22=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=62，其中O为坐标原点.证明：x21+x22和y21+y22均为定值.

证法1 设P（x1，y1），Q（x2，y2），由公式得

S△OPQ=12x1y2-x2y1.

故S2△OPQ=14x1y2-x2y12

=14（x21y22-2x1x2y1y2+x22y21）=32.

即x21y22+x22y21=6+2x1x2y1y2.①

又因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆上，有

x213+y212=1，

x223+y222=1.

故（x213+y212）·（x223+y222）=1.

即（x1x23）2+x21y22+x22y216+（y1y22）2=1.②

由①②得（x1x23+y1y22）2=0.

即x1x23=-y1y22.

两边平方，得x213·x223=y212·y222.

所以x213·x223=（1-x213）（1-x223）

=1-x21+x223+x213·x223.

故有x21+x22=3，y21+y22=23（3-x21）+23（3-x22）=4-23（x21+x22）=2.

综上，x21+x22=3，y21+y22=2.

证法2 设P（3cosα，2sinα），Q（3cosβ，2sinβ），

由公式，得

S△OPQ=12x1y2-x2y1=62·sin（α-β）=62，

解得sin（α-β）=±1.

从而α=β+π2+kπ，k∈Z.

故x21+x22=3cos2α+2cos2β=3（sin2β+cos2β）=3.

y21+y22=2sin2α+2sin2β=2（cos2β+sin2β）=2.

评注 通过以上几例的解析，我们发现，对于顶点在原点的三角形面积用坐标三角形面积公式能很大程度上减少运算量，提高解题效率.

4 结束语

在数学解题活动中，思维体现出从惯性到迁移再到创新的特点，构建“生动·互动”课堂有利于促进解题思维发展水平从低阶走向高阶.显然，学生思维的发展也不是一蹴而就的，其思维层级从低阶到高阶的生长必然是一个逐渐深化、不断进阶的过程.

参考文献：

［1］ 蒋满林.行列式型面积公式的探究生成及应用[J].福建中学数学，2015（07）：13-14.

［责任编辑：李 璟］