一道物理习题解析过程的商榷

摘 要：通过对一道高中物理电容器动态变化问题的解析进行分析，指出解析中的问题，分析出真正变化的物理量及该变量对其他物理量的影响.提出了定义式逻辑推理、等效为电容器串联、将电介质进行等效替代三种更合理的解题思路，并进行了比较和总结.以期对学生的科学思维水平进行提升，达到分析和评价的水平.

关键词：高中物理；电容；思维进阶

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0117-03

电容器问题是高中物理教学中的难点.当两极板间距、正对面积、电介质发生变化时，电容器的电容也会发生变化，产生电容的充、放电现象.学生面对电介质变化类型的问题时常常感到困惑，不能准确分析具体是哪个物理量发生了变化.本文

对练习册中经常出现的一道题目的物理本质进行分析，提出三种思路，对电介质变化产生的影响进行定性和定量的分析，同时给出了两个变式训练，在不同的情景中对相似的问题进行思考.1 原题

工厂在生产纺织品、纸张等绝缘材料时为了实时监控其厚度，通常要在生产流水线上设置如图1所示的传感器.其中A、B为平行板电容器的上、下两个极板，上、下位置均固定，且分别接在恒压直流电源的两极上.当流水线上通过的产品厚度增大时，下列说法正确的是（" ）.

A.A、B平行板电容器的电容增大

B.A、B两板间的电场强度增大

C.A、B两板上的电荷量变小

D.有电流从a向b流过灵敏电流计

答案：AD

2 原题解析

根据C=εS4πkd可知，当产品厚度增大导致ε增大时，电容器的电容C增大，根据Q=CU可知极板带电量Q增加，则有电流从a向b流过灵敏电流计，故A、D正确，C错误；因为两极板间的电势差不变，极板间距不变，所以两极板间电场强度E=Ud不变，故B错误.故选AD.

3 问题及正解

解析中说因为产品的厚度增大，即介电质的厚度增加了，所以介电常数变大了，这句叙述其实是不准确的.相对介电常数是由介电质的性质确定的，与材料的厚度无关，因此方程中改变的物理量并不是介电常量，正解如下：

3.1 方法一

电容的定义式为CAB=qUAB ，在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间的场强E与该处导体表面的电荷密度σe，有如下关系E=σeε0，根据电势差与电场强度的关系UAB=∫BAEdl=Ed=σedε0=qdε0S，则CAB=ε0Sd.

如图2所示，在两极板间插入绝缘介质，设两极板对应表面上的自由电荷面密度分别为±σ0，空气中的场强与介质中的场强分别E0、E.作一侧面垂直于极板、底面平行于极板的柱体，其一个底面ΔS在空气内，另一个底面在极板内.根据高斯定理，有E0ΔS=σ0ΔSε0，E0=σ0ε0 .如果柱体的底面ΔS在介质板内，则按电位移矢量D的高斯定理，有DΔS=σ0ΔS，D=σ0，E=Dεε0=σ0εε0 ，因此，极板间的电压U=E0（d-l）+El=σ0ε0（d-l）+σ0εε0l=σ0［εd+（1-ε）l］εε0.此电容器的电容C=σ0SU=εε0Sεd+（1-ε）l .由此可见，若产品的厚度增加，则l增大，由于（1-ε）gt;1，电容增大，电压不变，两极板间距不变，因此电场强度不变，电荷量增加，电容器充电，产生了从a流向b的电流[1].

以上是利用电容定义式、电势差定义式和高斯定理求解的方法.该方法可以有效加深学生对电容定义式、电势差定义式和高斯定理的理解，学生能够更加接近物理本质.

3.2 方法二

可设想在介质板的上、下表面分别放一块面积为S的薄金属片，这样做既不改变极板上的电荷，也不改变极间的电压，对于题目所求物理量没有影响.那么原电容器的上极板与介质板上表面的薄金属片、介质板上下表面的金属片、介质板下表面的金属片与原电容器的下极板相当于构成了三个串联的电容器，设电介质距离下极板长度为x，则三个电容器的电容分别是：C1=ε0Sd-l-x，C2=εε0Sl，C3=ε0Sx，原电容器的电容与上述三个电容器串联后的总电容相等，根据电容器串联的电容关系可以写出：1C=1C1+1C2+1C3，代入C1，C2，C3整理后可得：C=εε0Sεd+（1-ε）l .

该结果与方法一的结果相同，但解题思路相比方法一更加巧妙，主要使用了等效替代的思想.学习该方法的好处是引导学生用电容器串联的视角去看待电容器中的电介质，更深刻地认识到增加电介质的厚度是如何对电容器的电容产生影响.

3.3 方法三

可以从平均值的角度出发，对该问题进行分析.由于电介质厚度增加，则两极板间空气占比减少，将空气与绝缘材料等效地看作一个新介质，新介质中空气的份额减少了，相对介电常数更大的材料占比增加了，即新介质的“平均介电常数”变大了，因此电容增大.这种解释虽然不是非常严谨，但是易于学生理解.

4 变式

4.1 变式1

如图莱顿瓶是一个玻璃容器，瓶内、外壁各贴着一圈金属箔，作为里、外两个极板，穿过橡皮塞的铜棒上端是一个球形电极，下端利用铁链与内壁金属箔连接，外壁金属箔接地，在其他因素视为不变的情况下，下列说法正确的是（"" ）.

A.金属箔越厚，莱顿瓶的电容越大

B.金属箔越厚，莱顿瓶的电容越小

C.瓶壁玻璃越薄，莱顿瓶的电容越小

D.瓶壁玻璃越薄，莱顿瓶的电容越大

解析 根据电容的定义式C=εrS4πkd，金属箔的厚度变化对电容器的电容没有影响，故A、B选项错误.瓶壁玻璃变薄时，两极板间介质的属性并没有发生变化，因此εr不变，改变的物理量是两极板间距.由于两极板间距减小，故电容器的电容增大，C选项错误，D选项正确.

点评 该题目以莱顿瓶为考查背景，考查电容器电容的决定因素.学生首先要理解题目中描述的情景，将之抽象为电容器，然后分析题目选项给出的两个变量产生的影响.学生常会错误理解为相对介电常数变化，实际上相对介电常数仅由材料本身的性质决定，和材料的尺寸是没有关系的，这点在教学中应引起注意.

4.2 变式2

（多选）电容式位移传感器工作原理如图4所示，当被测物体在左、右方向发生位移时，电介质板随之在电容器两极板之间移动.若电介质板向左移动一微小位移x，下列说法正确的是（" ）.

A.电容器两极板间电压变小

B.电容器电容C变大

C.电容器带电量变少

D.有b→a方向的电流流过电阻

解法1 电容器直接与电源连接，因此电容器两板之间的电势差不变，故A选项错误.将电容器两极板间的空气和电介质板这两种电介质进行等效替代，看作一个新的电介质，当被测物体向左移动时，新电介质中电介质板的占比增加，空气的占比减小，因此等效电介质的相对介电常数增大了，电容器的电容也变大了，因此B选项正确.由于电容器两极板间电压不变，电容增大，则极板上的电荷量会增加，电源对电容器充电，会有电流从b流向a，故C选项错误，D选项正确.

解法2 将电容器分为三个部分：变化前后两板间都是空气，变化前后两板间都是电介质板，变化前两板间是空气而变化后两板间为电介质板.对于部分1和部分2来说，变化前后是不变的，因此这两个电容器的电容也不发生变化.而对于部分3来说，由于两板间的介质变化，导致相对介电常数增大了，因此该部分的电容增大了.这三部分的电容器在电路中是并联的关系，由于两个电容不变而一个电容增大，因此总电容也是增大的.

点评 该题目通过电容器两极板间电介质的变化对电容器的动态变化问题进行考查，要求学生先判断出影响电容的某一物理量如何变化，在两板间电压U不变的前提下，该物理量对电荷量Q有何影响，进而得到电流的方向.

5 结束语

在日常的高中物理教学中，教师应该用更严谨的态度面对题目的解析，用更严格的过程去分析物理情景.面对学生的疑问，教师要从多角度引导学生分析问题，不但要强化学生对知识点本身的理解，还要改编问题，让学生在不同的情景中进行理解和迁移能力的训练，更要追求思维进阶，让学生的思维水平更上一层楼.

参考文献：［1］ 赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].3版.北京：高等教育出版社，2011：108-112.

［责任编辑：李 璟］