聚焦度量本质 凸显结构关联

【摘" "要】“平行四边形的面积”是“图形的认识与测量”主题中的主要内容，它在“多边形的面积”单元教学中具有承上启下的作用。针对平行四边形变式问题测试结果不理想的现状，对“平行四边形的面积”的教学进行改进。通过“关注度量本质，经历数格过程；从特殊到一般，经历转化过程；揭示内在联系，经历归纳过程；探究‘变’与‘不变’，经历联结过程”，培养学生运用已有知识经验解决问题的能力，从而有效提升学生的核心素养。

【关键词】度量本质；结构化；平行四边形的面积；转化

一、问题缘起

“平行四边形的面积”是“图形的认识与测量”主题中的主要内容，它在“多边形的面积”单元教学中具有承上启下的作用。平行四边形作为一种二维图形，与一维图形的主要差别在于需借助面积单位进行度量，属于间接度量。其面积度量的实质就是计算它包含多少个面积单位。尽管平行四边形的面积计算看起来很简单，但在教学实践中学生的学习效果却并不理想。笔者在2024年4月对即将毕业的六年级四个班共160名学生进行了相关测试，具体试题如下。

【试题】把一个长10厘米、宽6厘米的长方形框架拉成一个高8厘米的平行四边形，这个平行四边形的面积是（ ▲ ）平方厘米。请说明理由，可以画一画或用文字进行说明。

本次测试在学生未经任何复习的状态下进行，以文字形式呈现，旨在考查学生运用面积公式解决实际问题的能力。测试结果显示，约有54%的学生受到长方形面积计算的影响，认为平行四边形的面积为相邻两条边长度的乘积，故答案为60平方厘米；约有16%的学生未能将平行四边形与三角形三边关系的知识点进行联结，认为平行四边形的底是10厘米、高是8厘米（如图1），因此平行四边形的面积为10×8=80（平方厘米）。这两类学生都受“长方形的面积等于相邻两边长度乘积”的干扰，忽视了拉动过程中“面”这一要素，无法感知图形面积的变化。

仅有21%的学生能正确理解“直角三角形中斜边的长度大于直角边的长度”。基于此，以长方形的长为底，就拉不成高为8厘米的平行四边形；只有以长方形的宽为底，才能拉成高为8厘米的平行四边形。因此，平行四边形的面积为6×8=48（平方厘米）（如图2）。这类学生能够借助三角形的三边关系确定相对应的底与高，对面积度量的意义理解得较为透彻。

二、教学思辨

通过调查分析，笔者发现近80%的学生对平行四边形面积公式的理解尚停留在表面层次。面对相关变式问题，或不知所措，或简单套用公式，忽视了知识的本质属性。这些现象反映出当前教与学过程中的不足之处。在教学过程中，教师过分注重学生对平行四边形面积公式的确认，而忽视引导学生理解图形面积测量的本质、探究转化思想背后的原因以及认识计算方法的实质。鉴于此，本文将对平行四边形的面积教学的突破点、教学目标的定位，以及构建学习路径的有效途径等问题展开探讨。

（一）“平行四边形的面积”教学的突破点

1.聚焦度量本质

长度、面积、体积度量的实质都是计算度量对象包含多少个度量单位。“多边形的面积”单元涉及到的平行四边形、三角形和梯形的面积，其共同特点是图形中都包含一些不能用面积单位直接度量的部分。因此，平行四边形的面积教学的重点应聚焦于借助操作与转化，让学生经历将平行四边形转化为长方形的过程，以实现面积单位的密铺，感知平面图形面积度量的实质就是计算该图形包含多少个面积单位。教学时，可引导学生根据“每行面积单位的个数×行数”直接计算出平行四边形所含面积单位的个数，认识到“平行四边形的面积=底×高”的本质是数面积单位。由此，学生在操作和优化的过程中，从“数格子数量”转变为“计算线段长度的乘积”，从而归纳出面积计算公式，实现从直观到抽象的飞跃。

2.凸显结构关联

平行四边形的面积计算以长方形的面积计算为基础，以图形内在联系为线索，以未知转化为已知的基本方法展开学习。而平行四边形的面积计算公式则是通过将平行四边形转化为一个长方形推导得出的。教学时，教师可以从整体视角出发，利用这些图形的内在联系，运用转化思想引导学生探索图形面积的计算方法，从而帮助学生积累基本活动经验。在此基础上，学生可以自主迁移探索路径与方法，进一步学习三角形和梯形面积的计算。在整个学习过程中，学生在知识、思维与方法上形成关联，实现知识的结构化，从而发展了推理意识和空间观念。

（二）“平行四边形的面积”教学目标定位与学习路径

为突出度量本质和结构关联，可以将“平行四边形的面积”教学分为两节连续课进行。具体教学目标如下。

1.在操作活动中理解面积度量的本质为面积单位的累加，能解释说明面积单位密铺中的“列数”和“行数”与平行四边形的底和高之间的关系，能自主归纳平行四边形的面积计算公式，并解决简单实际问题。

2.在平行四边形的面积计算公式推导中经历猜想、操作、验证、归纳的过程，渗透转化思想，发展推理意识和空间观念。

3.探究平行四边形变形前后面积变化的原因，深入理解平行四边形的不稳定性。

4.渗透“变与不变”思想，积累解决问题的经验，发展推理意识和科学精神。

为达成上述教学目标，教师需要引导学生经历数格过程、转化过程、归纳过程和联结过程。其学习路径框架如图3所示（其中前三步在第1课时内完成，第四步在第2课时内完成）。

三、教学改进

（一）关注度量本质，经历数格过程

数方格即数表示面积单位的小方格的个数。数方格的过程蕴含着面积的有限可加性，学生经历数方格的过程就是从直观上理解面积度量本质。

【教学片段1】

1.梳理旧知，引发猜想。

教师出示长5厘米、宽3厘米的长方形，引导学生回顾：长方形的面积是多少？怎么计算？为什么要这样计算？

教师小结：长方形的面积通过“每行面积单位的个数×行数”来计算，即求长方形内包含多少个面积单位。

2.自主探究，经历过程。

教师先出示没标注数据的平行四边形，引导学生思考平行四边形的面积可能与什么有关。再出示数据4、5、6，让学生计算它的面积。（如图4）

（暴露出两种不同的计算方法，即底乘邻边6×5和底乘高6×4。）

教师提问：哪种计算方法是对的？可以怎样验证？（呈现方格图）可以用什么方法数出它的面积？（引入数方格的方法，汇报交流）

回顾长方形面积计算公式，有助于学生发现平行四边形的面积不能用数方格法直接数出的原因，从而在操作中思考将平行四边形转化为长方形的方法，初步建立面积单位密铺时列数和行数与平行四边形的底和高之间的关系。

（二）从特殊到一般，经历转化过程

在学生经历数面积单位活动，初步建立平行四边形的面积与其底、高之间关系的基础上，让他们采用不同方式（如剪、移、拼）进行探究，经历由特殊到一般的转化过程，积累策略型、方法型经验。

【教学片段2】

1.小组研究。

小组合作，用画一画、剪一剪、拼一拼等方式，探究：平行四边形的底和高与它的面积之间存在怎样的关系？

2.汇报交流。

教师引导学生思考：你们是怎么探究的？这些方法有什么共同点？为什么都要沿高剪拼？

教师利用几何画板，拉出一个任意的平行四边形，让学生比画他们是如何通过剪、移、拼，将平行四边形转化成长方形的。然后用课件动态演示不同平行四边形的转化过程，重点突破“形外高”（如图5）的转化。

利用面积的运动不变性，让学生在剪拼各种平行四边形的过程中，理解任意平行四边形都能转化成长方形，体验转化过程，在异中求同，发现共性，积累基本活动经验。

（三）揭示内在联系，经历归纳过程

通过探究平行四边形与转化后的长方形各要素之间的对应关系，助力学生理解平行四边形与长方形之间的内在联系，感悟如何从已知图形的面积公式推理出未知图形的面积公式，构建图形面积计算方法的一般模型。

【教学片段3】

1.归纳。

引导学生归纳总结：将平行四边形转化成长方形之后，平行四边形和拼成的长方形间有什么联系？平行四边形的面积可以怎么计算？

2.思辨。

教师提问：你能解释为什么平行四边形的面积不能用“底乘邻边”的方法计算吗？

学生经历平行四边形转化为长方形的探究活动，对平行四边形的面积与它的底和高之间的关系有了更为清晰的认识。通过观察、比较和归纳，结合“长方形的面积=长×宽”推导出“平行四边形的面积=底×高”，体会到面积度量的本质，发展了推理意识。

（四）探究“变”与“不变”，经历联结过程

学习的过程即建立联结的过程。教师应设计具有可操作性且思维可视化的任务，使学生能熟练掌握图形面积的计算公式。同时，还要帮助学生建立不同的表征，引导学生通过对不同表征方式进行比较、辨析、归纳，建立知识、思维与观念的对应和关联，从而培养学生的推理意识和空间观念。

【教学片段4】

1.小组活动。

平行四边形的面积为什么不能用邻边相乘的方法进行计算？请借助操作实验来证明。

（1）做一做：请把长方形框拉成几个不同的平行四边形，记录底、高、周长和面积的数据（研究材料：长9厘米、宽6厘米的长方形木条框1个，方格纸1张，每小格的边长为1厘米）。

（2）想一想：变形前后，什么变了？什么没变？你们发现了什么？

2.汇报交流（展示学生作品）。

生：无论变成什么形状的平行四边形，底都保持不变，而高则逐渐变短。因此周长不变，面积减小。这说明平行四边形的面积不能用“底乘邻边”的方法计算。

生：我们只拉了2个平行四边形，其余都是通过推理得出的。我们发现：底不变，高减少，面积也减少。

……

3.关联。

引导学生在脑海中想象：一个底9厘米、高6厘米、面积54平方厘米的平行四边形，如果将它的面积变成27平方厘米，底、高分别是多少？如果将它的面积变成72平方厘米呢？

4.总结。

在第2课时，再次回到对实物图形的观察与分析，引导学生经历将知识、思维与方法联结的结构化过程。首先，让学生直观地感受到行数排列的变化与线段（高）变化的一致性。在相邻两边长度确定的情况下，学生认识到周长一定，而面积与高存在关联，进一步厘清了平行四边形的面积为什么不能用邻边相乘的方法计算。其次，拉动长方形木条框的过程，既是学习材料的生成过程，又是推动学生从数学直观走向理性思考的过程，学生由此发现了底、高和面积的变化与积的变化规律之间的关联，实现知识与思维的联结。

长方形的面积是平行四边形面积推导的基础，而平行四边形面积的学习又为三角形、梯形、圆形、不规则图形面积的学习积累数学活动经验。因此，教师聚焦度量本质，通过操作与转化，帮助学生感知平行四边形的面积度量的实质。凸显结构关联，以图形内在联系为线索，使学生在知识、思维与方法上形成关联，实现知识的结构化。这样的教学旨在培养学生运用已有知识经验解决问题的能力，从而有效提升学生的核心素养。

参考文献：

［1］张奠宙，巩子坤，任敏龙，等，小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现［M］.上海：上海教育出版社，2018.

［2］江燕，郜舒竹.从否认到确认、从表面到本质、从个别到一般：以“平行四边形的面积”的教学为例［J］.教学月刊·小学版（数学），2023（11）：4-8.

［3］孔凡哲.基本活动经验的含义、成分与课程教学价值［J］.课程·教材·教法，2009，29（3）：33-38.

［4］葛素儿.数学联结力：内涵、价值与测评例举［J］.小学数学教师，2023（5）：5-9.