估算重在“估”

【摘" "要】估算既要“算”，也要“估”。估算与计算密不可分，它们既有联系，又有区别。目前部分教师把关注点放在估算的“算”上，而对于估算本身及其中蕴含的估算思想没有给予足够的重视。因此需要进一步探究估算以及估算思想，以理解估算中“估”的重要性，从而在日常教学中培养估算意识。

【关键词】估算；计算；估算思想

人教版教材（2022年版）三年级下册中，关于运用估算解决问题的例题的提示表述为：“估计大约骑行多少千米，不用算出准确结果”“267÷3≈100（千米）”和“267÷3≈90（千米）”。由此可见，教材中的估算是不用算出准确结果的计算，即直接计算但结果保留整数（整十、整百数），课后习题中的估算也同样要求保留整数（整十、整百数）。部分教师将估算策略归纳为“忽略尾数计算”“改变数位计算”以及“转换为易处理的数计算”等方法。也有教师认为估算是“不求具体数值的运算”，并强调估算教学的重点是引导学生形成估算策略。事实上，估算不仅局限于计算，“估”的本质实为一种合理的推测。这一过程中蕴含着推理和想象，同时体现主观意愿的实现及思维的生成，具备灵活性（Flexibility）、原创性（Originality）和流畅性（Fluency）的特点。

一、如何理解估算

估算（Estimation）由“估”和“算”组成，“算”指计算，而“估”则指推测。须注意的是，这里的推测并非无目的的猜测。Dowker在其文章［1］中指出，估算是指在实际计算之前，对算术问题的近似答案进行合理的推测。推测过程中会涉及想象和推理。其中想象具有非现实的特征，它发生在思维中，能够将不存在化为存在、静止化为动态。即对估算所涉及的数学或物理对象进行分解与重组，结合所学的“数值关系和相对大小”的知识进行比较与推测。

而计算（Calculation）是指针对符号构成的算式，应用相应的算法，通过执行与操作，从而获得结果的过程［2］。“计算”一词的本义是以算筹（小棒）为工具的计数活动［3］，与早期人类使用石子或绳子计数相似。但这种计数也只是按照已有数量将小棒摆出，一个一个地数数。它类似于计算机从一到二、从二到三的机械化操作，使得计算遵循严格的先后顺序。关于计算和估算的脑科学研究表明：从认知过程来看，计算具有较强的线性特点，各步骤之间具有较严格的时间先后顺序。估算则更类似于并行式的加工过程，表现出较强的直觉化、跳跃化、内隐化特点［4］。正是估算的这种跳跃化特点，使得解题过程中的认知步骤得以简化，提高了解决问题的效率。因而在面对复杂题目时，相较于计算，估算会更为省时。

无论是计算还是估算都涉及心算，即不使用纸笔等外部设备产出答案的计算。只是估算是在理解问题内容和性质的基础上，运用更适当的近似数来解决问题，这就涉及对近似数的心算。人教版教材（2022年版）三年级上册第四单元的教学内容涉及精算和估算的策略选择问题，而选择精算还是估算策略取决于问题的性质和涉及的数。如果题目涉及过于复杂的数，如9876.0376+3486.0087，直接进行精确计算较费时，使用估算便可以更快地解决问题。

不过，估算虽然涉及对近似数的心算，却并非近似计算。近似计算是由于受到客观条件限制而进行的不准确的计算，是一种“被迫”进行的计算。而估算则是具有主观色彩的推测，无论是解题方法还是最终结果，都带有强烈的主观色彩。

结合以上内容，可以归纳出估算中的“估”具有以下几个特点。

（1）内隐性：通常在头脑中进行想象，较少需要计算工具。

（2）不精确：以达成意愿为目的。

（3）多样化：解决问题的路径和结果不唯一。

（4）跳跃性：追求简洁和省时。

二、估算思想

估算思想蕴含于估算过程中，是一种关于推测的观念或想法，涉及可能性思维。可能性思维是相对于确定性思维而言的，指的是针对不确定事物或现象进行比较与判断的思考过程［5］。这样的思考过程具有内隐性，可以分为感知过程、思维过程和输出过程三个方面。在感知过程中，个体通过感觉器官接收外界的刺激。在思维过程中，个体对感知到的信息进行加工处理，以达到理解的程度。这两个过程涉及对信息的排列组合、想象和推理，其间个体所生成的结果具有主观性。而在输出过程中，个体则通过符号系统将思维转化为语言文字。下面以一个实际问题为例进行说明。

春节期间，有商贩在卖砂糖橘。他的摊位上写着“20元3斤砂糖橘”——这就是学生通过眼睛摄入的信息。在看到信息后，学生可以根据信息进行想象。假设学生的心理价格是“15元2斤”，如果要将这两种价格进行比较，可以借助于2和3的最小公倍数6。即将20元3斤的砂糖橘扩大2倍，求出按照商贩的定价购买6斤砂糖橘需要支付40元。而学生的心理定价则是15×3=45（元），将其与商贩定价进行比较，可以得出“20元3斤”更优惠。这个根据已知价格求未知价格的估算过程，就涉及了想象和推理。在解决这个实际问题的过程中，可以窥见思维的灵活性、原创性和流畅性。

灵活性指面对一个问题，可以生成多种不同的解法。在上述问题中，情境暗示解题者运用除法进行估算，但是这道题却可以不用除法，而是运用除法的逆运算，也就是乘法来解决问题，这恰恰体现了估算的灵活性。具体来说，“购买砂糖橘”一题主要有以下几种解题方法（如表1）。

策略一体现的是比例推理的思想。比例推理（Proportional Reasoning）是关于数量关系的思考，要求同时对几个数量关系或值进行比较［6］。这种策略考虑的是取一个2和3的最小公倍数，根据20和3、15和2两组数据与3和6、2和6的比例关系来判断同买6斤砂糖橘，哪一组价格更优惠。此外，策略一还体现了异中求同的思想，由于组合价格和斤数都在变化，要进行比较就可以统一一个量，即购买相同的斤数，比较价格的高低。策略三和策略一异曲同工，也体现了比例推理和异中求同，只不过策略三统一的是购买价格，比较的是可以买到数量的多少。策略一和策略三同时还属于简便运算，估算和简便运算并不相互排斥，二者的思想方法是相互渗透的。策略二则体现了序关系的思想，这一思想可以表达对象的顺序关系。例如，A小于B，C小于B却大于A，就可以排列为A＜C＜B，从而得出A、B、C三者的大小关系。运用这种策略解题，可以先找一个中间标准7，然后扩大相应倍数，最后比较21和20、14和15的大小。总之，这些策略都体现了思维的灵活性。

原创性指面对某一问题，学生会依据已有知识和所注意到的元素，生成一种解决问题的路径。这种路径是由学生自己思考出来的，没有参考他人的意见，具有主观性和原创性。以“购买砂糖橘”一题为例，学生A通过推理单价来比较哪个组合更便宜，学生B则通过计算购买6斤时的价格来判断。学生A和学生B的解题方法都具有个体原创性，都是他们各自思维的产物。

流畅性指在生成解决问题的路径之后，学生能够顺利地执行这一路径解决问题。也就是说，路径中涉及的知识与学生已有知识相符。当然，这与学生的年级有关，不同年级学生所积累知识的差异，会影响其解决问题的流畅程度。例如，面对15×30这个算式，同学C可以将30拆分成15×2，列出式子15×15×2。但对于不知道15×15等于多少的同学D来说，这种解题路径并不合适，他只能寻找适合自己的新路径。不过，计算的流畅性主要体现在解决数较简单的问题上，一旦遇到数位多、数大的问题，计算过程往往更费时费力。

三、在教学中培养估算思想

估算的这种合理推测，可以帮助学生发展定量思维，促进其数字推理能力的发展。同时，由于估算具有主观性，解决问题和得出答案的路径与学生的主观意愿密切相关，因此估算有助于提升学生的独立思考和创新能力。正如Reys所说，数学思维有这样两个特征：一是运用灵活的思维处理不同形式的数，二是认识到存在多种解决方案，并能勇于放弃一种策略以支持另一种策略。而这两种特征恰好可以通过渗透估算思想来实现。

在日常生活中，近似答案在某些情况下比精确答案更适用。例如，装修房屋时需要用到28.71米长的绳子。此时，购买者只要购买一根30米长的绳子即可满足需求，而无需将绳子的米数精确到小数点后两位。由此可见，估算和估算思想会在学生心智发展、社会应用及未来发展方向等方面产生重要影响。因此，小学数学课堂应注重估算思想的培养。具体可采取以下两种策略。

第一，尊重学生个体差异。估算方法的选择涉及个体的情感因素，有的学生偏爱比例推理，有的学生偏爱序关系。虽然他们的思维过程不同，但他们选择的方法都满足自身的主观意愿。教师应尊重学生间的这种差异，鼓励他们表达自己的想法。这样既能激发学生的上进心，又能促进学生创新思维和问题解决能力的发展。

第二，营造鼓励评估的课堂氛围。让不同的学生分享解决问题的方法不仅有助于减少“只有一个正确答案”的刻板印象，促进学生“可能性思维”的发展，还能帮助学生判断推测是否合理。这种鼓励评估的课堂氛围，能使学生专注于证明估算的准确性，而非与他人竞争。在这样的环境下，学生对“错误答案”的容忍度也会提高。

综上所述，在小学数学教学中，应对估算和估算思想形成全面的认识，充分重视估算中的“估”，避免将估算与计算混淆。估算思想强调思维中的推理、想象以及认知中的情感因素，即主观意愿的实现，其方法具有原创性、灵活性和流畅性。通过培养估算思想，有助于提升学生的核心素养和数学能力。

参考文献：

［1］DOWKER A. Computational estimation

strategies of professional mathematicians［J］. Journal for research in mathematics education，1992，23（1）：45-55.

［2］郜舒竹.“算法”的双刃性与“算理”的局限性［J］.教学月刊·小学版（数学），2023（12）：4-8，14.

［3］杜石然.数学·历史社会［M］.沈阳：辽宁教育出版社，2003：8.

［4］董奇，张红川.估算能力与精算能力：脑与认知科学的研究成果及其对数学教育的启示［J］.教育研究，2002（5）：46-51.

［5］郜舒竹.小学数学这样教（第2版）［M］.上海：华东师范大学出版社，2021：187.

［6］CRAMER K，POST T. Proportional reasoning［J］. The mathematics teacher，1993（5）：404-407.