数形结合思想的学习课堂“绝对值”课例报告

杨凡

【课例主题】

本课例以“目标贯通”“绝对值”教学为例，探索数形结合思想的有效教学方法。

【观察要点】

建议从课时目标具体化（数学素养）、教师语言术语化（实操素养）、课堂环节对应性（先学后教）、师生互动启发性（以学定教）、自主建构的有效性（少教多学）等观察要点观评课。

【文本解读】

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）提出，在数学课程中，应当注重发展学生的核心素养，其中数感、符号意识、运算能力、推理能力等都在“有理数”单元有较多体现，而这些能力都是运算素养的具体表现。本节课借助数轴引出绝对值的概念，并通过计算、观察、交流，发现绝对值的性质特征，利用绝对值来比较两个负数的大小，培养学生的数学抽象能力、逻辑推理能力。沪教版小学数学对绝对值部分的要求在于理解绝对值的意义，并在学习过程中使学生加深对数形结合思想的理解。对绝对值的内容本身难度要求不高，教师对绝对值的教学，应当注重概念的教学，避免讨论过于烦琐的内容。

【学情分析】

本课授课对象是六年级学生，他们虽然已经学习了整数和分数的知识，但是运算能力依然较弱，仍处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡时期。

学生的知识技能基础：学生已经学习了有理数的意义，认识了数轴，能够用数轴上的点来表示有理数，初步体会到了数形结合的思想方法。

学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了归纳、比较、交流等一些活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数学活动的重要性;同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和能力。

【课时目标】

1. 理解绝对值的意义（一维目标：重点）。2. 理解有理数的有序性，会比较两个有理数的大小（一维目标：重点）。3. 在学习过程中，加深对数形结合思想的理解（二维目标：难点）。

【第一课时课堂环节】

一、情境导入，联系生活

两只小猫和一只小狗都从一棵大树出发，在一条东西走向的路上行走，记向东行走为正，小狗向东行走4km到达A处，小猫松饼向西行走3km到达B处，小猫金矿向东行走3km到达C处。

师：它们走的路程一样吗？你是怎么想的？

预设：不一样。可以画数轴，其中原点代表大树，东边记为正方向，那么小狗在A处记为+4km，小猫松饼在B处记为-3km，小猫金矿在C处记为+3km。小狗的路程大于两只小猫的路程，小猫的路程是一样的。

师：对，虽然两只小猫的行走方向是不同的，但是它们的路程是一样的。在生活中也还有很多类似的例子，如果我们按照原来的方式来表示，就有一些麻烦啦。上面的问题也就是B，C两点到原点的距离相同，这个距离都是3km。我们就把这个距离叫作数-3，3的绝对值。这就是我们这节课所学习的内容。

二、新知探索，概念学习

1. 概念学习

（1）定义：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫作这个数的绝对值。

（2）符号：若用a表示一个数，a的绝对值记作：a，读作a的绝对值。

（3）几何意义：一个数对应的点与原点的距离。

（4）举例说明：4的绝对值是4，记作4=4;-3的绝对值是3，记作-3=3;0的绝对值是0，记作0=0。

2. 例题讲解

例题1：求3.7，-12，0，-3的绝对值。

解：3.7=3.7，-12=12，0=0，

-3=3。

3. 小组讨论

师：刚刚例题1中这些数的绝对值的结果有几种情况？一个数的绝对值与这个数之间有怎样的关系？

预设：一个数的绝对值要么是正数，要么是零。一个数的绝对值与这个数相等或互为相反数。

追问：互为相反数的两个数绝对值有什么关系吗？

预设：互为相反数的两个数绝对值相等。

4. 归纳小结

（1）任何一个有理数的绝对值是非负数。

（2）一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。

（3）互为相反数的两个数绝对值相等。

三、新知运用，举一反三

例题2：一个数的绝对值等于2，那么这个数是几？

解：符号表示：a=2，一个数的绝对值代表这个数距离原点的距离，因此通过数轴可知这个数是2或-2。

例题3：若x=-3，y=2，则x+2y的值为（    ）。

A. -7    B. -1    C. -7或1    D. 7或-1

预设：-3的绝对值是确定的为3，而y要么是2，要么是-2。一个数的绝对值与这个数相等或互为相反数。因此x+2y的值有两种情况。

解：因为x=-3=3，y=2，所以x=3，y=2或-2。故x+2y的值为7或-1，选择D选项。

课堂练习：

1. 在数轴上，到原点的距离等于3.5个单位长度的点所表示的有理数是____。

预设：到原点距离相等的点有两个，分别在数轴的左边和右边。

解：3.5或-3.5。

2. ____的绝对值是它本身，____的绝对值是它的相反数。

预设：0的绝对值等于它本身也等于它的相反数。

解：非负数，非正数。

3. 绝对值小于5的整数有____。

预设：绝对值等于一个数的数包括正数和负数，因此正整数和负整数都要考虑，还有零不能忘记。

解：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。

4. 若a=3，b=2，且a+b=a+b，则a+b的值是（    ）。

A. 5    B. ±5    C. 1    D. ±1

预设：绝对值等于3和2的数都有两个，而a+b当a和b符号相同时，与它们分别的绝对值相加相等，当符号相反时，就不相等了。

解：a+b的值只有当两数符号相同时满足题意，因此a+b=5或a+b=-5，故选择B选项。

四、课堂小结，感悟思想

1. 绝对值的意义;2. 数形结合的思想方法。

五、课后作业，巩固复习

A层：练习册5.3基础习题;

B层：5.3绝对值（1）的拓展习题。

【第二课时课堂环节】

一、情境导入，联系生活

师：出示我国北京（-6℃）、上海（0℃）、杭州（1℃）、广州（5℃）、哈尔滨（-14℃）五座城市2022年的最低气温，同学们你们能把这些城市的气温表示在一条数轴上吗？温度的高低与相对应的数在数轴上的位置有什么关系？

预设：数轴上的点表示的数字从左到右越来越大。

师补充：正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

追问：上节课我们学了绝对值的概念，那一个数的绝对值越大，说明这个数到原点的距离是怎么样呢？

预设：一个数所表示的点与原点的距离越远，其绝对值越大，与原点的距离越近，其绝对值越小。

例题4：用数轴上的点表示下列各数，并将它们从小到大排列起来：5，0，-1，4.5，-1。

预设：从数轴上可以看出：-1<-1<0<4.5<5。

二、新知探索，联系旧知

师：根据2022年的城市最低气温我们知道，北京（-6℃）、哈尔滨（-14℃），那如何比较-6和-14的大小呢？

预设：-6=6，-14=14，因为14>6，所以-14>-6。

追问：那么对两个负数，我们是否可以用它们的绝对值来比较它们的大小？

预设：两个负数，绝对值大的那个数反而小。

例题5：如果a>0，b<0，a

A. -b>a>-a>b         B. a>b>-a>-b

C. -b>a>b>-a         D. b>a>-b>-a

预设：可以根据字母a和b的符号和它们的绝对值通过画数轴来确定数所代表的点的左右位置关系。

解：根据绝对值越大的数离数轴越远和相反数的概念，再根据数轴上的数右边大于左边，分析数轴图可知选A选项。

三、新知运用，举一反三

1. 如果x，y都是不为0的有理数，则式子+的值是____。

预设：因为不知道x和y的正负，因此需要进行分类讨论，在进行分类讨论时要注意按照顺序，否则会出现遗漏或者重复。

解：当x和y两个都是正数时，原式=+=2;

当x和y两个都是负数时，原式=+=-2;

当x和y两个一个是正数，一个是负数时，原式=+=0或+=0。

综上所述，式子+的值是2或-2或0。

2. 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a-b。利用数形结合思想回答下列问题：

①数轴上表示1和3两点之间的距离是，数轴上表示2和-5的两点之间的距离是____;

②数轴上表示x和-1的两点之间的距离表示为____。

预设：根据题目的材料可知将两个数作差后再取它们差的绝对值就可以得到这两个数所代表的点之间的距离。

解：①2 7 ②x+1或-1-x。

课堂练习：

1. 用“>”或“<”连接下列各数：

-7___-5;--2___-（-2）;-0.125___-

。

解：-7<-5，--2<-（-2），-0.125>-

。

2. 已知实数在数轴上的位置如下图所示，下列结论错误的是（    ）。

A. a<1

C. 1

预设：通过数轴上面右边的点大于左边的点以及绝对值的概念可以判断出的a绝对值是大于1的。

解：由图可知a在-1的左侧，因此a是小于-1的，而且a的绝对值大于1，因此本题选择A选项。

四、课后作业，巩固复习

A层：自编练习5.3（2）基础习题;

B层：5.3（2）的拓展习题。

【执教反思】

一、紧扣目标，教学环节更有实效

本课内容预设两课时，尝试目标与环节整体设计、统一排序，感受了“围绕目标教学”的魅力。目标紧扣环节，环节铺垫、实现、巩固目标，让教学更能深入。“绝对值”是第五章有理数第三小节的内容，学生对数的认识已经由原来的正数和零扩展到负数，整数集拓展到有理数集，能将一个有理数用数轴上的点表示，是在学习了互为相反数的定义、符号表示及几何意义的基础上对有理数再探究的过程。

二、提升数学素养，用数学眼光看世界

本节课借助数轴的直观性理解绝对值及几何意义，渗透数形结合的数学思想，并在后续练习中加以运用。通过观察、思考及合作交流，让学生体会从特殊到一般以及分类讨论的数学思想，培养学生总结归纳的能力。情境引入中，引导学生将东西向的路看成一条数轴，将位置看成数轴上的点。实际问题中比较路程，忽略方向，只看距离，抽象成数轴上忽略数的符号，只考虑点到原点的距离。最后又回归到实际生活问题中，体会绝对值在生活中的应用，助力学生将实际问题转化成数学问题，学会用数学的眼光观察世界。

（责任编辑：淳  洁）