小学数学教学中抽象能力培养策略探析

*本文系2021年度无锡市基础教育前瞻性教学改革实验项目“促进学生学科关键能力发展的深度教学探索”的研究成果之一。

收稿日期：2024-04-11

作者简介：屈佳芬，江阴市申港实验小学校长，正高级教师，江苏省特级教师，主要研究方向为小学数学教育、教师专业发展、小学教育管理。

摘要：抽象是数学的基本特征，数学抽象能力是数学核心素养的主要表现之一，具有内隐性、概括性、敏感性、发展性等特点。当前数学抽象能力的培育存在感知对象不充分、探究过程不完整、数学思考不深入等问题，需要提供丰富的感知材料、经历完整的探究历程、启迪深层的数学思考，引领学生不断夯实抽象基础、经历抽象过程、把握抽象本质，促进抽象能力的逐渐生长。

关键词：数学抽象能力；数学核心素养；小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2024）06-0098-04

抽象是数学的基本特征，是用数学的眼光观察现实世界的基本方式，是三大数学基本思想之一。《义务教育数学课程标准（2022年版）》把抽象能力放在数学核心素养主要表现的首位，可见抽象能力的重要性。然而，在当前的数学学习中，浅表化、机械化的学习还大量存在，抽象能力的培养未能真正落到实处，带领学生走向深层化、意义化的学习，是数学抽象能力提升的必要之道。

一、数学抽象能力的内涵解读

（一）数学抽象

抽象，是数学迭代发展过程中所依赖的最重要的基本思想。所谓数学抽象，国内外许多专家学者都进行了相应的研究，如迪内斯把数学抽象定义为：从不同的情境中抽象出共性的过程，并且这一共性可以作为检验某一因素是否符合这一属性的标准。弗赖登塔尔强调数学学习绝不是教师单方面的活动，学习者会对接收到的抽象知识进行再加工处理，把现实问题抽象成数学问题[1]。李昌官认为：数学通过舍弃现实事物的非数学属性，从中分离出事物数与形两方面的属性，进而对这些属性进行最大限度的一般化、理想化处理，得到具有广泛普适性和应用性的数学概念[2]。可以看出，不同研究者的研究虽侧重不同，但基本理念有相通之处。具体理解为，数学抽象是以具体事物为载体，通过观察、分析，舍弃事物表象的、外部的东西，抽出事物本质的、内在的因素，从空间形式和数量关系来解释客观事物的一种数学研究方法。数学抽象是对数学事物基本特征的高度概括。

（二）数学抽象能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对数学抽象能力这样表述：主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力[3]。笔者认为，数学抽象能力具有以下特征。

1.内隐性

认知心理学认为，在不知不觉中获得某种知识，学习了某种规则，叫作内隐学习。数学抽象能力是学习者个体内在的一种能力，相对于显性的数学知识而言，它是一种缄默性知识，具有内隐性，不易表达，不易外显，很难用语言文字或符号形式进行直接传递。

2.概括性

抽象与概括是密不可分的，高度的抽象必然有高度的概括，概括性是数学抽象能力的显著特征。学习者在面对复杂的现实情境时，需要从中提取关键的特征和规律，将其概括为更简单、更易于理解的形式。因此，概括伴随数学抽象的过程，概括水平越高，抽象能力也越强。

3.敏感性

敏感性是体现抽象能力强弱的一个重要标准。如果说一个人的知识技能水平，决定着他成就的最低线，那决定他发展上限的则是抽象能力。抽象能力强的人对抽象概念非常敏感，往往能从零散的、简单的数学信息中抽象出本质的、结构性的数学原理，体现出较好的思维敏捷性、发散性和创造性。

4.发展性

能力的提升是循序渐进、螺旋上升的，数学抽象能力同样具有发展性。如低年级学生，处在形象思维阶段，对数学抽象只有朦朦胧胧的印象，自主抽象能力较弱，随着年龄的增长、学习的深入，对经历抽象的体验逐渐增多，积累的数学抽象经验逐渐丰富，自主抽象的意识将慢慢形成，数学抽象能力也将逐渐生长。

二、数学抽象能力培育的问题分析

数学抽象能力对学生学习起着至关重要的作用，甚至影响一个人终身的发展。但实际的教学中，数学抽象能力却未能得到高度的重视，许多课堂教学形式单一，教学过程单薄，数学思考浅层，深度学习未能真正形成，数学抽象能力的培养未能真正落地。具体体现在以下几个方面。

（一）感知对象不充分，缺乏数学抽象的认知基础

数学知识本身是高度抽象的，是对一类研究对象本质属性高度概括的结果，研究对象是实现数学抽象的载体，充分感知是实现数学抽象的前提。然而，在实际的教学中，很多教师备课不充分，提供给学生感知的数学素材单一化，不具体、不全面，学生在实际的学习中，感性认识不到位，无法正确进行数学抽象，甚至出现认识的偏差。

（二）探究过程不完整，缺乏数学抽象的过程经历

数学抽象能力是一种高阶能力，需要在反复的探索、体验和感悟中慢慢生长。每一次概念的形成、结论或规律的获得，都是学生经历一次数学抽象的过程。但是，当前的课堂学习中，受功利性的驱使，教师宁愿减少甚至舍弃知识的形成过程，让学生大量地、反复地做题，学生经历数学抽象的过程不完整、体验不丰富，往往形式大于实质，抽象能力培养沦为空谈。

（三）数学思考不深入，缺乏数学抽象的理性概括

数学抽象的过程是对研究对象进行理性分析，不断剥离非本质属性，凸显本质属性的过程，其中，高质量的思考、理性化的表达必不可少。然而，很多的课堂数学思考不深入，缺少合理的数学问题情境，缺少深层的问题思考时机，数学抽象的结果并未由学生自我感悟而得，学生通常是被动接受结论，数学抽象异化为结论告知。

三、数学抽象能力培养的实践策略

数学抽象能力的培养不是一蹴而就的，需要渗透在教学的每一个环节，在深度的学习中体悟，日积月累，潜移默化，方可逐渐形成。

（一）提供丰富的感知材料——夯实抽象基础

感知即意识对内外界信息的觉察、感觉、注意、知觉的一系列过程。从数学抽象的本质内涵看，要实现有意义的数学抽象，必须先对学习对象进行丰富的、全面的感知，才有可能剥离事物的非本质属性，抽取本质属性。

如，在“角的认识”教学中，可以设置如下几个维度的感知层次，来丰富学生的感性认识。首先，实物中感知。教师出示一个五角星和一把三角尺，问学生：为什么叫五角星？为什么叫三角尺？引导学生说出，这里面都藏着角。此时，学生对角的认识是模糊的，是基于生活经验而形成的。其次，创造中感知。教师课前提供多种材料，让学生创造一个角。有的学生利用小棒摆出了角，有的学生利用吸管折出了角，有的学生利用工具画出了角……此时，教师及时提问：这里的几个角有什么共同点？学生基本都能说出有两条直直的边和一个尖。通过这一层次的感悟，学生舍弃了制作角的材料等非本质属性，初步指向角的本质特征边和角。最后，深层辨析中感知。教师在黑板上贴出了一个自制的活动角，先不断地变换角的开口方向，连续追问学生：这样是角吗？再变换角的开口大小，追问学生，这样是角吗？同时再不断拉长和缩短角的两条边，继续追问学生：这样还是角吗？这里的三次辨析，再次拓宽了角的认识外延，进一步剥离与角相关的位置、大小及边的长短等非本质属性，对角的认识进行了准确的抽象。

感知是抽象的基石，选取好感知材料是首要条件。选取感知材料时：其一，要考虑丰富性，要符合认知发展的规律；其二，要考虑全面性，对可能干扰正确抽象的一些非本质属性的素材要尽可能提供；其三，还要考虑典型性，切勿多而滥，干扰学生认知。感知材料越丰富、越全面、越典型，越有利于学生准确抽象。

（二）经历完整的探究历程——经历抽象过程

好的数学教学应从学习者的生活经验和已有的知识背景出发，让学生进行充分的数学实践和交流，经历数学知识的发生、发展过程，从而理解数学本质，抽象数学模型。一般来说，数学抽象要经历四个阶段：第一阶段是感知与识别，对提供的数学对象深入感知；第二阶段是分离和提取，剥离感知对象的非本质属性，提取所有的本质属性；第三阶段是辨析与固化，在充分思辨的基础上理解本质属性；第四阶段是提炼和简化，把本质属性加以高度概括[4]。

如，在“乘法分配律”的教学中，创设了五个层次的探究历程。第一层次，在解决实际问题中初步体会等式的特点。出示两种不同情境的两个实际问题，让学生用两种方法解答，引出两个等式，并引导学生对两个等式读一读，初步找感觉。第二层次，继续解决类似实际问题再悟等式的特点。学生根据刚才经验，解答并写出类似等式，教师让学生将黑板上的三组等式再读一读，再次找感觉，此时，学生对这类等式的感觉已加深了。第三层次，写出几组类似等式加深理解等式的特点。此时，学生基本能独立写出等式，对等式的特点理解已从朦胧走向清晰。第四层次，在深入讨论每个等式为什么相等中理解知识本质。学生通过交流讨论，用乘法的意义解释每组等式相等的理由，揭示了乘法分配律的本质。第五层次，在无穷列举中找到一般模型。教师适时提问：这样的等式还有吗？写得完吗？能否找到一种方法把它表示出来。此时，学生用符号表示乘法分配律就水到渠成，数学抽象及时且真实。

数学抽象的过程是一个慢过程，教师要留出足够的时间，让学生慢慢感受；要精心设计梯次，让学生逐步感悟；要耐心等待学生，让学生自我感悟。只有让学生完整经历探究的过程，数学抽象才可能真实有效。

（三）启迪深层的数学思考——把握抽象本质

思考是一种整体的思维活动，是一种指向明确、探究深入、富有挑战性和创造性的深层智力活动。带领学生经历数学抽象的过程中，教师要善于创设有效的问题情境，引发学生高质量的数学思考，使其对抽象的结果的本质、原理理解清晰。

如教学“三角形分类”时，为了让学生真正理解“三角形按角分为什么只有三类”，教师可以设置“认知平衡—认知冲突—认知平衡”这样一个思维历程，让学生在积极的思考过程中把握抽象本质。活动伊始，教师创建在钉子板上围三角形的任务，让学生围出三个角是“锐锐锐、直锐锐、钝锐锐”三种组合后，及时发问：世界上的三角形有多少个？难道就只有这三种？估计应该有第四种，或者第五种吧？这样的发问把学生的思维一下子调动起来，学生积极主动地去尝试第四种围法……当学生怎么尝试也围不出，心里极其困惑时，教师再适时设问：你们围不出第四种，老师也围不出第四种，难道真没第四种？现在我们来思考，“一个三角形中有没有两个直角？为什么？”。此时的设问把学生兴奋的内心引导到冷静的思考，学生很快找到了原理，因为三角形的内角和是180°，所以一个三角形中不可能有两个直角，更不可能有两个钝角。这里的连续设问，让学生经历了一次较为深刻的认知冲突过程，并深刻理解了三角形按角分为什么只有三类的原理，对抽象结果的本质感悟深刻，理解透彻。

深层的数学思考是实现数学抽象的必要条件，它必须伴随学生的知识探究过程，才有可能实现有效抽象。同时，教师也要多创设回顾反思的机会，让学生对抽象的过程及时自我反思，自我感悟，积累抽象的经验。在这样不断思考、反思中，抽象能力才会螺旋上升，逐渐生长。

总之，数学抽象能力的培育是一个长期的过程，不能一蹴而就，需要一以贯之，系统施策，让学生在持续的、有意义的数学学习中不断感悟、熏陶和内悟。

参考文献：

[1]唐秦.关于“数学抽象”的国外研究综述[J].中学数学月刊，2016（11）：54.

[2]李昌官.数学的学科性质与课程目标[J].中学数学教学参考，2021（5）：23.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：8.

[4]程茂山.数学抽象能力培养的尝试与思考：以《三角形的认识与分类》教学为例[J].小学教学设计，2023（20）：61.

责任编辑：石萍