巧借现实情境促进自主探究

钟清华

周知，数学源于生活，是对现实世界的抽象.教学中，教师不要一味地将知识讲授给学生，应该提供机会让学生参与知识的抽象过程，以此让学生全面、深刻地理解知识.那么，若想通过引导让学生经历数学抽象的过程，教师应结合教学实际创设符合学生已有经验的现实情境，这样既能激发学生的主体性，又能提高学生的探究欲，从而引导学生主动探究.在教学“圆”的第一课时，笔者从学生已有经验出发，结合教学内容设计现实情境，让学生在现实情境中主动思考、主动交流、主动探究，以此促进教学目标的达成.

1 内容分析

圆对于初中生来讲并不陌生，在小学阶段就接触过圆，并能用圆规画圆.另外，学生对圆有着丰富的感知，这为研究圆提供了便利.本课教学中，教师通过引导学生观察圆、画圆，抽象概括圆的描述性定义；在此基础上，引导学生探究点与圆的位置关系，从而形成圆的集合性定义.同时，教师引导学生应用点与圆的位置关系解决简单的问题，培养学生的数形结合意识.在本课教学中，教师要创造机会引导学生参与其中，以此提高学生学习的主动性，激发学生的探究欲，从而为接下来扇形、弦、弧、对称图形等相关知识的学习打下坚实的基础.

2 教学设计

2.1 知识引入

问题1 如图1，学生站成一横排玩“套圈”游戏，这样的站，对所有人公平吗？为什么？

设计意图：“套圈”游戏是学生比较熟悉且比较感兴趣的游戏，通过对“公平”的探索激发学生的探究欲.同时，现实生活情境的引入，能让学生充分感知生活中无处不数学，提升学生数学学习的主动性.

2.2 形成定义

问题2 你在图2中能够找到几个圆？你能用棉线和橡皮筋画圆吗？

师生活动：在画圆的过程中，教师可以让学生合作完成，并引导学生在做中提炼方法，从而为形成圆的描述性定义作铺垫.

设计意图：借助生活实例将数学图形与现实生活建立联系，让学生直观地感知圆，从而为动手操作做准备.在画圆过程中，教师既提供机会让学生动手做，又鼓励学生进行归纳总结，由此在动手操作中归纳总结圆的两个要素，即定点和定长，这样圆的描述性定义呼之欲出.

问题3 如图3，你能根据画圆的过程给圆下定义吗？

教师利用几何画板动画演示，让学生进一步体验画圆的过程，形成圆的描述性定义.

问题4 如图4，墨子在《墨经》中曾经提到“一中同长”，你是如何理解的呢？

设计意图：通过前面的观察与操作，学生提炼画圆的两个基本元素，接下来教师进一步动画演示画圆的过程，让学生给圆下定义，以此锻炼学生的数学表达能力，提升学生的数学抽象素养.另外，通过数学文化的渗透，培养学生的数学情感，增强数学学习信心.

2.3 探索点与圆的位置关系

问题5 如图5所示，某校铅球记录是12 m，某运动员想要挑战记录，你知道铅球的落点和记录线有几种位置关系吗？什么情况下可以判定挑战成功呢？

追问1：平面内的圆把该平面分成了几部分？

追问2：若平面内的点到圆心的距离为d，圆的半径为r，结合可能出现的结果，你有什么发现？

设计意图：教学中，教师没有直接给出点与圆的位置关系，放手让学生去辨析，而且以现实情境为切入点，将问题置于现实的情境中，引导学生自主探究、自主归纳，从而根据落点和记录线的位置关系抽象出点与圆的位置关系.

在学生用文字表述点与圆的位置关系后，教师通过追问启发学生将文字语言转化为符号语言，由此归纳点到圆心的距离为d和圆的半径为r的数量关系——点P在圆内dr.这个符号化的过程，能让学生充分感知数学语言的抽象美、简洁美.

2.4 知识应用

问题6 回归课初的问题，如何设计套圈游戏可以确保游戏的公平呢？请大家先在纸上画一画，然后与同桌说一说，给出你的设计理由.

问题7 已知圆O的直径为8 cm，请根据如下条件判断点P与圆的位置关系：

（1）若PO=4.5 cm，则点P在______；

（2）若PO=3 cm，则点P在______；

（3）若PO=______，则点P在圆上.

问题8 圆上各点都满足什么特点？圆内各点都满足什么特点？圆外的点呢？（教师动画演示点由疏到密，最后集合成圆的过程.）

设计意图：在应用环节，教师引导学生回到课初的问题，继续探究“公平”.学生根据本课所学，视套圈物为圆心，一定的距离为半径画圆，以此确保“公平”.这样与课初情境遥相呼应，让学生充分感知数学知识的应用价值.对于问题7，学生可以通过刚刚的探究结果直接解决问题，这样通过“用”进一步强化学生对点到圆心的距离为d和圆的半径为r的数量关系的理解.教师设计问题8，并进行动画演示，其目的是引导学生经历由具体到抽象的过程，形成圆的集合性定义.这样圆的集合性定义形成后，其圆内和圆外的集合性定义自然也就形成了.

2.5 交流探究

问题9 如图6，已知点P，Q，且PQ=4 cm.

（1）画出符合下列条件的图形：到点P的距离为2 cm的点的集合；到点Q的距离为3 cm的点的集合.

（2）所画图中是否存在这样的点，满足到点P的距离为2 cm且到点Q的距离为3 cm？如果存在，请在图中表示出来.

（3）所画图中是否存在这样的点，满足到点P的距离小于或等于2 cm且到点Q的距离大于或等于3 cm？如果存在，请在图中表示出来.

设计意图：教师预留充足的时间让学生动手画、用眼看、用心想、用嘴说，以此通过交流探究让学生学会用数量关系刻画位置关系.在此环节，教师引导学生用集合的观点理解图形，体会交集法在解决问题中的重要价值，培养学生数形结合意识.在此过程中，教师不急于呈现结论，而是预留时间让学生主动思考、交流、感悟，以此在深化知识理解的同时，提高学生自主探究能力.同时，让学生通过交流探究充分体会交集法在现实生活的指导意义，以此感悟数学源于生活，并应用于生活的本质，帮助学生树立正确的学习观，增强学生数学学习的信心.

2.6 课堂小结

问题10 本节课主要学习了哪些与圆相关的知识？你有何心得体会？

设计意图：预留时间让学生回头看，对本课内容进行归纳总结，以此实现新知的巩固与强化，促进学生数学核心素养的培育.

3 思考感悟

周知，数学源于生活并应用于生活.为了让学生更好地理解数学，教师应将知识融于现实情境中，引导学生探寻数学知识的本源，学会用数学的眼光观察世界.在本课教学中，教师用“套圈游戏”这一场景拉开了探究新知的序幕.对“是否公平”这一问题的探索，让学生发现若站成一条直线有悖“公平”，那么为了追求“公平”，学生快速地进入学习状态，提高了学生探索知识的主动性.另外通过画圆实验，圆的本质属性凸显，从而使得圆的定义的抽象变得更容易.在探索点与圆的位置关系时，以投掷铅球这一情境为研究背景，将数学知识巧妙地融入现实情境中，使知识的形成变得更加轻松愉悦.现实情境的创设，有效地激发了学生的探究欲，形成了学习的内驱力，使“学”变得更加积极、主动.同时，情境的创设，将数学与生活建立联系，使抽象的知识变得直观，更易于学生理解和掌握，提高了课堂教学的有效性.

同时，本课教学中，教师重视数学思想方法的渗透，如探究圆的定义时运用了抽象、概括、归纳等数学方法，在探索点和圆的位置关系时，运用数形结合、特殊到一般等数学思想.这样以数学思想方法为指导，有利于提高学生的自主探究能力及数学素养.

总之，在数学教学中，教师要充分发挥现实情境的纽带作用，从而使抽象知识生动起来，以此降低知识理解的难度，提升学生的参与度，提升教学品质.