“教—学—评”一致性的“费马点”模型及应用

韦凤莲

1 “教—学—评”一致性的理解

《义务教育数学课程标准（2022年版）》的前言中明确提出：注重实现“教—学—评”一致性.华东师范大学崔允漷教授认为“教—学—评”一致性有两种理解：一种是对于教师而言，一种是对于教师与命题专家而言.本文中探讨的是第一种，即在特定的课堂教学活动中，教师的教、学生的学以及对学习的评价应该与教学目标保持一致.此处的“评价”是指“促进学习的课堂评价”.教师在日常教学实践中通过观察、交流、作业、测验等手段，收集学生的学习信息，为教和学的改进提供决策基础.

2 “教—学—评”一致性的“费马点”模型

用数学中著名的“费马点”可以诠释“教—学—评”一致性.“费马点”是指位于三角形（三个内角均不大于120°）内且到三角形三个顶点距离之和最短的点，是法国数学家费马在1640年给意大利物理学家托里拆利的一封信中提出的.其原理如下：

如图1所示，△ABC的三个内角均不大于120°，P为三角形内一点，当点P与△ABC三个顶点的连线夹角均为120°时，PA+PB+PC的值最小.

分析：如图2，将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A′BP′，连接PP′，则△BPP′是等边三角形，所以PB=PP′.当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，此时∠APB=∠BPC=∠APC=120°.

崔允漷教授强调“教—学—评”应与教学目标保持一致，笔者认为教学目标可以理解为学科核心素养.笔者尝试用“费马点”模型来诠释“教—学—评”一致性的实质，构建出如下理论模型（图3）.

模型中的“费马点”即学科核心素养，三角形的三个顶点分别为“教”“学”“评”，三者构成稳定的教学三角.从模型图不难理解，只有当“教—学—评”与“核心素养”在同一直线上即保持一致性时教学才能少走弯路，以“最短路径”取得效益最大化.笔者以鲁教版八年级上册“数据的离散程度”为例，阐述如何围绕核心素养这一教学的“费马点”，实现“教—学—评”一致性.

3 “教—学—评”一致性的“费马点”模型应用实例

3.1 情境导入：感受数据离散程度的必要性

情境一：射箭时，新手成绩通常不太稳定，小明和小华练习射箭，第一局12支箭射完后，两人的成绩如图4所示.请根据图中信息估计小明和小华谁是新手，并说明你这样估计的理由.

情境二：学校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如表1所示：

你认为哪一名运动员发挥更稳定？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛呢？

情境三：为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近.

质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如图5所示：

如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应买哪个厂的鸡腿？

问题1 以上三个实际问题有什么共性？我们除了关注数据的集中趋势之外，还会关注什么？

学生：除了关注数据的集中趋势之外，还需要关注数据的稳定性.

教学分析：通过三个实际问题情境评价学生对数据离散程度及其意义的直观感知和宏观认识，旨在引导学生用数学的眼光观察世界，并基于学生的认知进行引导，导入新课，同时梳理之前的知识结构形成以下板书（图6）.这一环节教师通过问题评价，搜集学生信息进行诊断，然后进行知识结构化引导，体现“教—学—评”一致性.

3.2 情境探究：经历建立“三差”模型的过程

问题2 大家已经从统计图和数据中直观模糊地感受了数据的离散程度，用数学的眼光和思维来看，我们接下来会探索什么？

追问1：我们是如何刻画数据的集中趋势的？

学生：我们是用平均数、中位数、众数来刻画数据的集中趋势的.

追问2：所以由此你想到了什么？

学生：用什么数可以刻画数据的离散程度.

教学分析：此环节旨在培养学生学会用数学的思维来发现问题、提出问题.通过本原性问题的思考来评价学生的数学素养定位，针对学生暴露的数据意识淡薄的问题，教师进行学科观念层面的引导，使之明确用数据计算思维可以将数据离散程度的刻画从直观模糊走向精确量化，发挥评价在教与学中的诊断作用.

问题3 以情境三及变式为例，说说你将如何用数据计算思维更精确地刻画数据的离散程度.

变式 在甲和丙厂（如图7）两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求呢？

教学分析：此环节旨在培养学生用数学的思维去思考问题，增强类比平均数模型探究方差模型的思维主动性，发展数据分析观念，增强建模意识.通过问题评价发现学生思维的起点是极差，再通过问题引导学生体会极差的片面性，利用情境变式让学生感受进一步探究的必要性.

问题4 极差只关注最大数据和最小数据，不能兼顾所有数据.那么有没有一个量度像平均数一样可以关注到每个数据呢？请以甲厂为例探索一个量度模型.

学生先独立思考，然后以小组为单位进行讨论，结果如下：

小组1：想到了用平均数.

小组2：想到了用最大值和最小值减去平均数，然后求和.

小组3：想到了用每个数据与平均数求差，然后求和.

教学分析：此环节目的是在问题探究中发展学生的数据分析能力.小组活动真实有效地反映了学生数据分析素养的水平，并基于此评价信息，设计了自学课本这一“教”的活动.

自学脚手架：

（1）为什么要用每个数减平均数？

（2）为什么要将这个差值进行平方运算？

（3）为什么要除以总数据个数？或者说为什么要取平方和的平均数？

（4）为什么叫“方差”？

（5）什么叫标准差？为什么还要“学”标准差？

教学分析：学生带着认知冲突进入课本自学环节，聚焦了思维，并以问题为脚手架进行深度思考，感悟方差公式的得来及其合理性，做到知其然，知其所以然，何由以知其所以然，增强数据观念和模型观念.教师在与学生的对话中获取学情信息，根据学生对方差理解的水平，进行有针对性的“教”，充分体现了“教—学—评”的一致性.

3.3 解决问题：提炼应用模型解决问题的步骤

（1）请用方差解决选择甲厂还是丙厂的问题.

学生尝试应用公式解决，教师板书规范步骤.

问题5 计算方差的一般步骤是什么？

学生：第一步，先计算平均数；第二步，套公式计算.

（2）跟踪应用：课本（鲁教版）第64页随堂练习第2题.

教学分析：通过问题的解决再次体会用数学模型语言表达世界的方法，体会方差学习的必要性，总结出规范应用方差公式的一般步骤，并加以巩固应用.教师巡视搜集学生信息，随时发现问题并进行指导，充分发挥习题对教学的评价功能，实现“教—学—评”一致，提高课堂效率.

3.4 课堂小结：总结本节课数学学习的经验

问题6 通过这节课的学习，你积累了哪些研究与解决数学问题的经验？

教学分析：学习就是不断积累经验的过程.课堂小结通过师生对话这一评价方式，可以诊断学生的知识掌握程度和数学素养水平，为进一步的教学提供依据，最终完善初中统计模块的知识结构（图8）.

“费马点”模型有一个成立条件，即三角形三个内角均不大于120°.当有一个内角等于120°时，“费马点”正好落在120°角的顶点上，不在三角形内部；当有一个内角大于120°时，“费马点”在三角形外部.如果把整个课堂教学比作一个稳定的三角形，学科核心素养就是三角形中的“费马点”，那么当“教—学—评”中任何一个元素在课堂教学中占的比重过大，比如教师满堂灌等现象，核心素养这个“费马点”将不在三角形内部.只有三者紧紧围绕核心素养，通过评价动态掌握学情，三者保持有机统一的动态平衡，教学三角才是科学的、和谐的，从而实现以“最短路径”取得课堂效益最大化的教学目标.