图形的旋转以及旋转的性质

谭婷

1 教学分析

1.1 教材内容分析

北师大版八年级数学下册第三章第二节“图形的旋转”共有2个课时.其中第一课时，主要学习旋转的定义，理解图形旋转的性质.本节课在内容上以新华社最新的报道引入，引起学生的兴趣.再通过将生活场景抽象为平面图形，引导学生准确地描述旋转，自然引出旋转的定义.通过趣味分类和及时练习，一方面加深学生对旋转的理解，另一方面为性质的探索打下基础.最后由学生一起合作探究，得出旋转的性质.这节课能够培养学生观察、探究、抽象、概括等能力和数学思想方法，为学生的创新学习、主动学习打下基础.

1.2 学情分析

学生在七年级下册“全等三角形”的学习中，已经见过以旋转变换为基础的全等三角形，对旋转变换的图形有熟悉感.同时，学生也具备了一定的逻辑推理能力，为本节课做了一定的知识储备.但是，旋转是初中要求掌握的三种图形全等变换中难度较大的一种，在探索的过程中对学生的观察能力、动手能力、交流归纳能力以及对数学方法的运用能力要求较高.因此，探究图形旋转的性质，从多角度理解图形旋转的发生过程，对学生来说仍会有较大的困难.笔者所教班的学生好动，爱发表见解，希望受到老师的表扬，在教学中笔者抓住学生这一特点，通过直观演示，引起学生的兴趣，把他们的注意力集中在课堂中，学生通过动手参与、发表见解，发挥学习的积极性.

1.3 教学目标

（1）掌握旋转的概念，会确定旋转前后图形的对应点、对应线段、对应角以及旋转中心和旋转角.

（2）探索并理解旋转的基本性质.

（3）在发现、探究的过程中，完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，体会类比和分类思想，发展直观想象能力以及观察、分析、抽象概括的思维能力.

2 课堂实录

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2.1 环节一：创设情境，引入新课

师：同学们，本节课的开始我们先来看一则报道.

如图1，在这段运动过程中，隐含了哪种图形的变换？

生：旋转.

师：同学们观察得很仔细.前面我们对图形的平移与翻折已经有了深入的研究，今天我们就将目光聚焦于图形的旋转.你能举出生活中旋转的例子吗？

生：旋转的指针、摩天轮、旋转木马……

师：生活中的旋转无处不在，除了刚才同学们说的现象外，还有转动的车轮、打开的风扇、风力发电等.

设计意图：上课开始，教师通过多媒体给学生播报了一篇新闻报道，将学生从数学课堂带入到现实生活情境中，打破了数学概念教学的枯燥无味，激发了学生的学习兴趣，注入思想兴奋剂.由举出生活中的旋转实例，引出课题.

2.2 环节二：自主探究，合作交流

探究一：旋转的定义.

（1）师生互动，描述旋转

师：请同学们观察三角形的旋转过程（演示动画），如图2，如何用数学语言描述这一旋转过程呢？

生：将△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得到△A′B′C.

（2）学生尝试，给出定义

师：结合刚才的描述，你能试着给旋转下一个定义吗？

定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素.

师：请同学们观察时针和分针的旋转过程，如图3，旋转中心是哪个点？

生：点O.

师：旋转方向呢？

生：顺时针.

师：旋转的角称为旋转角，旋转角是多少度？

生：旋转角是120°.

师：除此之外还能怎么定义旋转角？

生：对应点与旋转中心连线所形成的角称为旋转角.

设计意图：从常见的三角形出发，感受图形的旋转.这里让学生多说多想，在说的过程中提升学习自信心，在不知不觉中说出旋转的定义.通过时针和分针的旋转加深对概念的理解.

（3）即学即练，检测运用

（Ⅰ）通过希沃小游戏将生活中的平移、旋转现象分类，如图4.

（Ⅱ）如图5，四边形ABCD是长方形，四边形AEFG也是长方形，点E在AD上，如果长方形ABCD旋转后能与长方形AEFG重合，那么：

（ⅰ）旋转中心是______.

（ⅱ）旋转角是______度.

（ⅲ）点B的对应点是______，点F的对应点是______.

（ⅳ）线段AD的中点M的对应点位于______.

设计意图：及时巩固旋转及其相关概念，为下面探究旋转的性质做好铺垫.

探究二：旋转的基本性质.

师：请同学们想一想研究图形的旋转，除了定义，你还想研究哪些内容？

生：性质和应用.

师：非常棒！刚才我们对定义已经有所了解，下面我们一起来探究旋转的性质.如图6，将△ABC绕点O按顺时针旋转一个角度，得到△DEF.观察并思考，旋转前后△ABC的什么变了，什么没变？

生：位置变了，形状和大小没有变.

师：旋转前后的图形全等.有哪些线段、哪些角相等？

生：AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，即对应边相等，对应角相等.

师：连接各对应点与旋转中心，你发现了什么？

生：OA=OD，OB=OE，OC=OF.

师：你能用文字语言描述一下你的结论吗？

生：对应点到旋转中心的距离相等.

师：还有其他发现吗？

生：∠AOD=∠BOE=∠COF，也就是对应点与旋转中心的连线所成的角都相等.

师：针对以上猜想，请同学们动手操作，量一量，验证猜想.

师：现在老师利用几何画板软件进行验证，看能否得到与大家相同的结论.从改变旋转中心的位置、改变旋转方向、改变旋转角，改变图形不同角度来验证.

通过上述探究，归纳出旋转的基本性质，如图7：

旋转的基本性质

对应线段相等、对应角相等

对应点到旋转中心的距离相等

任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都 相等（都等于旋转角）

设计意图：学生在观察猜想、合作探究的过程中，完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，得出旋转的性质.教师最后用几何画板进行二次验证，完善了学生新知识的构建，同时也体现了数学学科的严谨求实.

2.3 环节三：迁移应用，旋转作图

师：通过探究，同学们对旋转的性质已经有了一定的认识.事实上，在探究的过程中我们始终都在关注图形变化中的不变量，基于这样的不变量，能否画出旋转图形呢？下面我们一起来探究旋转的应用——旋转作图.

师：点动成线，线动成面.会画一个平面旋转图形，归结于会画什么的旋转呢？

生：点.

师：很好！那么请同学们想一想，如何利用刻度尺、圆规等工具在图8中画点B绕点A顺时针旋转90°后的点？试一试！请一位同学上讲台板演，边画边解释.

生：连接BA，因为是顺时针，所以过点A作一条垂直BA的射线，用圆规截取BA的长度，交射线于点B′.

师：表述得很清楚！请同学们继续画出三角形ABC（如图9）绕点O顺时针旋转60°所得的图形.将三角形转动，需要作出几个点呢？

生：3个点即可.

师：作图的依据是什么呢？

生：旋转的性质.

师：对，就是性质.同学们根据旋转的性质利用直尺、量角尺、圆规等工具画出了三角形旋转后的图形，实现了复制粘贴的过程.那我们可以不借助这么多工具画出旋转图形吗？你有什么好办法？

生：我发现利用网格纸作图会更简单.

师：非常好！那请你画出三角形ABC（图10）绕点O逆时针旋转90°所得的三角形，旋转180°，270°呢？

展示学生画的图，如图11.

设计意图：由点的旋转作图到三角形的旋转作图，让学生明白作图的本质就是利用旋转的性质，体会旋转作图的基本思想.由尺规作图到用网格纸作图，提高学生由特殊到一般的作图能力，同时也加深了学生对旋转性质的理解.

师：改变旋转中心得到的这个图形（图12），大家熟悉吗？

生：是风车.

师：继续改变旋转中心，这个图形（图13）是？

生：赵爽弦图.

师：没错，赵爽弦图是2002年国际数学家大会的会标，在八年级上册第一章“勾股定理”的学习中也常出现它的身影.其实不仅可以改变旋转中心，还可以改变旋转的角度、方向，甚至可以改变初始图形的形状，创造出很多美丽的图案，如图14.

师：事实上，图形的旋转被广泛应用于美学设计、建筑建造中，对我们的生活有着十分重要的意义，如图15.

设计意图：通过作基础图形的旋转图形，得到各种各样的图形，感受千变万化的数学之美.

2.4 环节四：智慧闯关，训练巩固

师：图形的变换有美也有趣，下面我们一起来智慧大闯关.

第一关：

（1）用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（  ）.

A.平移和旋转

B.对称和旋转

C.对称和平移

D.旋转和平移

第二关：

（2）如图16，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（-2，5）的对应点A′的坐标是（  ）.

A.（2，5）

B.（5，2）

C.（2，5）

D.（5，-2）

第三关：

（3）①如图17，线段AB绕着点O旋转，能使得线段AB与线段CD重合吗？为什么？

②若线段AB绕点O旋转后会与线段CD重合，请在图18中作出旋转中心点O.说一说你的方法.

设计意图：激发学生探索精神的同时，夯实了学生之前学习的知识，达到了前后知识点的融合，培养和发展了学生的思维能力.

师：同学们，学习就像一段旅程.今天我们的探索之旅即将接近尾声，关于本节课你有什么收获呢？

生：本节课我知道了图形旋转的定义、旋转的三要素、以及旋转的性质.

师：很好.还有没有补充？

生：我还学会了根据旋转的性质作图.

师：同学们总结得非常好！今天这节课我们认识了一种新的图形变换，即旋转；掌握了旋转的定义和性质.老师也根据本节课的知识作了一首打油诗：

一个中心数个点，同向等角一起转；

旋转前后图万千，变化之中有不变！

哪位同学能解释一下吗？

生：一个中心是指旋转中心，平面图形上的无数个点都绕着同一个方向旋转相同的角度；根据旋转可以设计出千变万化的图形，图形的旋转就是要把握住变化之中的不变量.

师：解释得非常棒！

设计意图：在小结环节中，先让学生畅谈收获，再让学生补充，最后教师点评，不仅可以检验学生对本节课内容的认知情况，更能增强学生的自信心.用一首打油诗把本节课的知识都总结其中，方便好记，朗朗上口.

师：本节课的最后，老师想送给同学们一句话——

当你觉得生活很累很苦，不妨旋转一个角度看世界，转变我们的心态，相信所有的困难都将变成一份让你成长的礼物.祝大家每天都有好心情！