运用尺规作图发展学生空间观念

郑贞弢

【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在课程内容的第二学段学业要求中提到运用尺规作图，作等长线段，直观感受三角形的周长，感知线段长度与两点间距离的关系等等，那么作为教师，要重视学生在作图时积累的基本活动经验，建立量感和初步的几何直观，培养学生的数学思想。

【关键词】尺规作图  量感  几何直观  数学文化  数学思想

【中图分类号】G623.5  【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2024）04-0037-03

新课标在课程内容的第二学段学业要求中提到“经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程。”说明学生在三四年级就要掌握简单的尺规作图方法，以逐步积累操作的经验，有助于形成量感和初步几何直观。

一、基于尺规，感知等长线段

（一）结合情境，在操作中感悟

尺规作图，是指使用无刻度的直尺和圆规进行作图。新课标在第二学段“图形与几何”的教学提示中提到“在认识线段的基础上，引导学生用直尺和圆规作给定线段的等长线段，感知线段长度与两点间距离的关系，以增强几何直观。”这个操作听上去非常抽象，但在课堂教学中，教师可以结合有趣的情境，让学生在操作中感悟“等长线段”。例如，在教学“线段、射线、直线”这个内容时，在认识了线段的特征后，设计一个有趣的“小蚂蚁回洞”情境（图1）：小蚂蚁到洞口的距离是多少？请你先画一画，量一量，再用直尺和圆规把这个距离的等长线段画在自己的本子上。在这个问题中，借助小蚂蚁回洞的距离认识线段的特点，在体验不看直尺的刻度时，用圆规将这个距离长度画到本子上的过程。在操作时，对于刚刚升入四年级的学生而言，使用圆规还比较陌生，可先尝试独立操作，再将操作过程与同桌或小组成员分享，体会无刻度的直尺只能确定直线，用圆规的两脚张开的距离可以确定线段的长短，从而作出与小蚂蚁回洞距离等长的线段。一个有趣的情境，一个具体的操作，一个数学的感悟，在学生的操作与交流中，让尺规作图不再抽象，帮助学生增强了几何直观。

（二）发挥想象，直观对比表达

很多教师常常认为，圆规这一学习用具要到六年级学习圆时再让学生准备，其实在第二学段角的认识的教学中，为了感知角的大小变化，在学具选用上，常用的是教师或学生制作的活动角，或在网络平台上购买活动角学具，但上完课后，这些制作或购买的学具就成了一次性用品，那么圆规这个学具不正好就是一个活动角吗？因此，我们在教学“角的认识”时，可以利用纸扇、圆规等身边的小物件的开合，观察角的大小变化，并比较角的大小。如，教师在引导学生发现角的大小与边的长短关系时，可以让学生想象将自己的小圆规与老师的教具大圆规对比，老师的教具大圆规的边比你的小圆规的边更长，那么老师手上的角就比你小圆规的角更大吗？引发学生思考角的大小与边的长短有关系吗？学生在直观对比中，发挥想象，抽象出图形，再通过数学语言可以更简约、更精确地表达这样的空间形式，更直观地理解角的大小与边的长短无关。

（三）追根溯源，渗透数学文化

初探尺规教学的课堂，我在几次听评课中发现，有学生或听课教师提出，现在我们已有刻度尺，为什么还需要进行尺规作图的教学，特别是强调“不看直尺的刻度”。殊不知，尺规作图最早起源于古希腊的数学课题，于公元前5世纪提出，当时还未完全统一度量单位，最关键的是测量与读数时会存在误差，那么不用读数，用尺规作图在理论上来说是没有误差的。回到中国历史的中轴线上，记录春秋时期政治家、思想家管仲言行思想的著作《管子·形势》一书中提到：“奚仲之为车器也，方圜曲直，皆中规矩钩绳。”这里所提到的“奚仲”是大禹时期的人，也就是说规矩作为木工工具至少在夏朝就已经广泛使用了。那么我们在尺规作图教学中，不仅要关注学生操作学具时经验的积累，还要让学生在数学课堂上，一起追溯数学历史，知道“规”是能画圆的圆规，“矩”是两条相连成直角且长短不一的尺，它们不仅是平面几何的研究工具，也是我们生活中做人的道理，透过尺规，感悟数学文化。

二、活用尺规，明晰周长本质

（一）培养量感，直探本质

我们从人教版二年级上册“长度单位”单元和苏教版二年级上册“厘米和米”的单元中，都能看到两手将线段拉紧、拉直的情境图，就已经在渗透“两点之间的距离”的感知。再看苏教版四年级上册“垂线和平行线”单元的练习中有一道题（图2）：

这题有意思的地方不在于“画4厘米长的线段”，而在于画出规定距离的两个点，这个编排直指线段的本质，也就是“两点之间的距离”，同时借助下方的一个小问题，将线段和线段与直线的关系进行知识点的整合。其实在这里，我们还可以打破整厘米数的长度，设计一些非整厘米数的练习。如：请你选择使用刻度尺、无刻度的直条（尺）和圆规，画出与以上线段等长的线段。这个操作并不难，大多数学生会先用刻度尺对原线段进行测量，但很快会发现具体精确到几毫米，总是因误差出现不同的测量结果，这时可先用无刻度直尺画一条直线，再用圆规两脚张开到与原线段等长，不用测量具体长度，就能将原线段“搬”到直线上，减少了测量时的误差，关键是体验到尺规作图的方便，打破了原先用刻度尺测量的定势思维。这些例题与练习都在为我们将尺规作等长线段引入课堂教学明确了方向，确定所达到的学习程度。

在理解了线段之后，新课标要求“用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上，认识三角形的周长。”这个作图可以看作是以上“作等长线段”的应用。教学中，教师常让学生在描一描、画一画中感受图形的边线，那么在初步感知周长这一概念后，可以引导学生借助尺规作图的方法，在操作中探索“周长到底有多长”这个核心问题，尝试用没有刻度的直尺和圆规把三角形的三条边依次画到一条直线上，从数学思维的角度出发，就是将周长从二维的平面转化为一维的“首尾相接”的线段长度上，尺规作图的本质就是演绎推理，感知线段长度的可加性，并体会到用圆规依次度量三角形三条边的等长线段的准确性，在培养学生量感的同时，也进一步明晰了周长概念的本质。

（二）尝试作图，引发猜想

我在执教人教版四年级上册“平行与垂直”一课中，探索“垂直线段最短”这个问题上，结合了北师大版中的“去河边怎么走最近？”这样一个小实验（图3）。教师可以先示范用直尺画出直线AB表示河流，标上点O表示淘气小朋友所在的点位，然后用圆规的针尖对准点O，用圆规张开的距离让学生独立尝试寻找发现到河边最近的距离。活动中，我看到学生仔细地调整圆规开口的距离，哪怕只差一点点，学生也能细心观察、对比着。在这个作图的过程中，也许不是每位学生都能准确找到圆弧与直线的切点，但在不断调整距离的过程中，引发了学生垂直线段最短的猜想。

（三）借助尺规，验证猜想

学生初步掌握了尺规的使用方法后，在解决一些图形对比的问题中，也能借助尺规验证自己的猜想，比如学生在理解了线段、直线、射线的特征后，对比下面两组线段的长度，要求学生先看一看，再量一量（图4）。左图中线段两端的两个圆形和右图中线段两端类似箭头的图形，单从目测的角度，都容易让人产生视觉错误，那么在量一量验证猜想时，我们除了用有刻度的直尺来量，还可以让学生尝试借助圆规，用之前学到的“作等长线段”的方法进行比较，以验证自己猜想。

再如用直尺和圆规作三角形，引导学生在尺规的操作中发现并验证“三角形任意两边之和大于第三边”这个一般规律，以苏教版四年级下册第七单元中例3的内容为例（图5），在8cm、5cm、4cm、2cm中任选3根小棒，能围成三角形吗？学生在独立思考操作时，一般会先确定一条边，再不断调整另外两条边与第一条边的建构，但我们发现使用小棒学具调整时，与第一条边的夹角容易发现位移，其实另外两条边在调整时所划过的路径就是在寻找两个圆弧的交点，因此学生可以借助圆规，量得选用小棒的等长线段画弧（图6），以作图为认知载体，从直观中推理验证规律。

三、应用尺规，挖掘数学思想

学生在第二学段的作图体验中，积累了一定的操作经验，逐步发现作图的规律，在遇到一些图形问题时，就会自然地思考应用尺规解决问题，这就需要挖掘尺规作图背后的数学思想。在借助直尺和圆规作图的方法中理解了三角形的周长的基础上，可采用类比的方法，引导学生自主探索用尺规作图的方法补全一个长方形或正方形（图7）。类比思想方法是富于创造的一种方法，但要注意不要增加作图难度，可以先给定两条直角边，作为一个长方形的一条长和一条宽，请学生利用尺规作图补全这个长方形。在操作中要求学生要留有画图过程，在小学阶段不用过度强调作图步骤，鼓励学生表达“作等长线段”“两点确定一条线段”这些数学规律，通过类比思想发展学生的推理能力。再如以上谈到的三角形的三边关系，这种空间形式的结构正是一种数学模型，教师要注重在尺规作图表达应用的过程中，逐步提高学生建模的能力。

另一方面，学生借助直尺和圆规将思考过程或是具体的数量直观表达出来，清晰地感知几何图形与组成的各部分元素之间的空间关系，也就是将数与形结合起来，这样数形结合的数学思想让思维更直观，让分析更简明。

四、拓展延伸，培养创新意识

任教高年级的数学老师常常发现，学生在六年级学习了圆，学会使用圆规了，可操作技能只停留在会画圆上，但有时我们不需要画出完整的圆，那么教师可以在作业设计上打开学生的思路，将尺规的操作延伸，如图8：点E是直线l上一点，点D在直线l外，请在直线l上画出点F，使△DEF是等腰三角形。本题有趣的地方在于可以作出不同形状的等腰三角形，线段DE既可当底，也可做腰，如我们可采用作业纸对折法，将点D和点E重合，那么折痕与直线l的交点就是点F。采用尺规作图时，学生通过尝试很快就能发现，以线段DE为腰时，可画出等腰锐角三角形，也可等腰钝角三角形，还可以在线段左右两边不同方向尝试作图。一道简单的开放型操作习题，拓展了学生只会用圆规画圆的单项技能，延伸出新的思考，学生在尺规的结合运用中提升了创新意识。

尺规作图以其合理性、必要性、直观性、简洁性等特征，让学生在细致的操作和严密的思考中，发展了空间观念，并且融入了量的感知和推理意识的培养。在几次的作图课后，有些学生意犹未尽，在课间继续利用尺规设计图案，再与同学交流、分享操作过程，我想，这就是数学独有的文化魅力，不仅能深化明理，凸显几何价值，还培育了学生良好的数学品格。

参考文献：

[1]王邵惠子，王青建.尺规作图问题新探[J].数学学习与研究，2018（5）：125-128.

[2]刘加霞，潘丽云.尺规作图的历史溯源、育人价值及教学建议[J].小学教学：数学版，2022（7）：20-24.