一堂高三数学试卷评讲课引发的探究与思考

尤娜 余超 赵思林

摘  要：2024届某市高三第一次诊断性考试理科数学试题是一套颇有新意且有一定难度的好试题.笔者对某校高三部分学生此次考试情况做了调查，发现其中几道小题的得分率比较低，在试卷评讲课上对这几道小题做了探究，并引发了一系列的思考.

关键词：高三数学；试卷评讲课；探究；思考

2024届某市高三第一次诊断性考试理科数学试题是一套颇有新意的试题，据考生和老师反映，这套试题中有几道小题颇有新意且有一定难度.通过听

几位一线教师的评讲课并观察学生的课堂表现，发现：不少学生并未充分理解问题的本质，且对有关概念、性质、数式等的多元表征存在障碍.因此，对这几道小题进行探究与教学思考是有意义的.

1  三道小题的简介

本次诊断性考试的理科数学试题内容主要是代数和导数知识，未对概率统计、立体几何、解析几何、复数等内容进行考查，但试题难度整体偏大

.通过对某校高三学生此次考试情况的分析，发现第10，12，16这三道小题的得分率很低，几位教师对这三道小题做了重点评讲.

2  解题方法的探究

下面给出的解题思路不同于评讲课老师的解题思路.

第10题：命题p：“若△ABC与△DEF满足AB=DE=x，BC=EF=2，cos A=cos D=45，则△ABC≌△DEF.”已知命题p是真命题，则x的值不可以是（  ）.

A. 1  B. 2  C. 103  D. 73

分析1：此题的本质是考查确定三角形的条件，利用余弦定理和验算法，其思维量和运算量相对其他方法较小.

解：设AC=DF=b（b>0）.

由cos A=cos D=45和余弦定理，得b2+x2-2bx·45=4，整理，有b2-85xb+x2-4=0.

对于A，当x=1时，b2-85b-3=0只有一个正实数根，符合题意.

对于B，当x=2时，b2-165b=0只有一个正实数根，符合题意.

对于C，当x=103时，b2-163b+649=0只有一个正实数根，符合题意.

对于D，当x=73时，b2-5615b+139=0有两个正实数根，所以x的值不可以是73.故选D.

分析2：有两位教师评讲时都采用了正弦定理和验算法.由题知，sin Cx=sin A2，得到sin C=3x10.再用验算法对x分情况讨论即可，具体步骤从略.学生若运用此思路，则需从sin C=3x10解出C，分情况讨论，这对多数学生来说是一大难点.此外，由cos A=45和sin C=3x10，对A和C的范围作比较精确的估计，也是一个难点.

评注：很多学生由于读不懂题意，所以无从下手导致错误.本题以两个三角形的全等为背景，考查确定三角形的条件.因此，问题可等价转化为判断△ABC的边b的长有唯一的正实数解，而利用驗算法和余弦定理的思路相对其他方法是比较直观易懂的.

第12题：已知函数f（x）=4cosωx-π12（ω>0），f（x）在区间0，π3上的最小值恰为-ω，则所有满足条件的ω的积属于区间（  ）.

A. （1，4］

B. ［4，7］

C. （7，13）

D. ［13，+∞）

分析：闭区间上的连续函数的最值一般在端点或顶点处取得.对于本题，函数f（x）的最小值可能在x=0或x=π3或ωx-π12=π处取得.

2024年第3期复习考试

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解：

当x=0时，f（x）=4cos-π12=-ω<0，矛盾，故x=0应舍去.

当x=π3时，f（x）=4cosπ3ω-π12=-ω，此时，π3ω-π12必须落在减区间π2，π之内，则存在ω1，且74<ω1<134.

当ωx-π12=π时，由x∈0，π3，得-π12≤ωx-π12≤π3ω-π12，从而

f（x）=4cos π=-ω.

解得ω=4，且ω满足上述不等式，即存在唯一的ω2=4.

故ω1ω2∈（7，13）.故选C.

评注：本题作为选择题的压轴题，涉及分类讨论、整体代换、数形结合等思想方法的综合应用，难度较高，因此多数同学感到困难.该题若利用高等数学的结论“闭区间上的连续函数的最值一般在端点或顶点处取得”，可快速判断函数最值的取点情况，从而进行分类讨论求解.这样既能提高做题效率，又能避免手绘简图造成的误差.因此，教师教学时不可局限于课本知识的讲解，还要注重数学知识、数学方法、数学思想的拓展.但在解题过程中会遇到一个超越方程4cosπ3ω-π12=-ω的解的存在性问题.此问题有三种解题思路：一是令t=π3ω-π12，将超越方程的求根问题转化为余弦函数y=4cos t与直线y=-3πt-14在t∈π2，π是否有唯一交点的问题.只要学生能比较准确地画出它们的图象，此问题即可解决.二是构造函数h（ω）=4cosπ3ω-π12+ω，并用零点存在定理予以解决.三是运用整体思维，将π3ω-π12限制在y=4cos t的减区间π2，π内，就可减少计算量.易见，最后一种方法较为简洁.

第16题：已知函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x+6），f（2-x）+g（x）=4，若g（x+1）为奇函数，f（2）=3，则31k=1g（k）的值为    .

分析1：本题涉及两个抽象函数，可考虑先消去一个抽象函数，如消去g（x）.

需注意，“g（x+1）为奇函数”有无穷多个等价的代数表达式.比如，g（x+1）为奇函数g（-x+1）=-g（x+1）g（2-x）=-g（x）等.

解法1：由g（x+1）为奇函数知，g（-x+1）=-g（x+1）.①

由f（2-x）+g（x）=4可知，

f（1-x）+g（x+1）=4，②

由②，得f（1+x）+g（-x+1）=4.③

由①③，得f（1+x）-g（x+1）=4，

即f（x）-g（x）=4.④

由f（2-x）+g（x）=4与④相加，得f（2-x）+f（x）=8，

即f（2+x）+f（-x）=8.⑤

再由f（-x）=f（x+6）知，

f（2+x）+f（x+6）=8，

即f（x）+f（x+4）=8.⑥

即f（x+8）=8-f（x+4）=f（x）.

可得f（x）的一个周期为8.

在⑥中分别取x=1，2，3，4，则有

f（1）+f（5）=8，f（2）+f（6）=8，f（3）+f（7）=8，f（4）+f（8）=8，

所以8k=1f（k）=32.

将x=-2代入题设条件，f（2）=f（4）.

由已知f（2）=3，得f（4）=3.

所以f（32）=f（8）=8-f（4）=5.

故31k=1g（k）=31k=1f（k）-4×31=48k=1f（k）-f（32）-4×31=4×32-5-4×31=-1.

分析2：采用消元法，如消去f（x）.

解法2：由题知，f（-x）=f（x+6）f（x）=f（6-x）.①

g（x+1）为奇函数g（2-x）=-g（x）.②

f（2-x）+g（x）=4f（2-x）-g（2-x）=4.

所以f（x）-g（x）=4.③

由①③消去f（x），易得g（x）=g（6-x）.

由②，得-g（2-x）=g（x）=g（6-x）.

所以g（x+4）=-g（x）.④

故g（x+8）=-g（x+4）=g（x）.

所以函数g（x）的一个周期为8.⑤

由④，得g（x）+g（x+4）=0.⑥

在⑥中分别取x=1，2，3，4，则有

g（1）+g（5）=0，g（2）+g（6）=0，g（3）+g（7）=0，g（4）+g（8）=0.

即32k=1g（k）=48k=1g（k）=0.

将x=2代入①，得f（4）=f（2）=3.

再由③⑤知，g（32）=g（8）=-g（4）=4-f（4）=1.

故31k=1g（k）=32k=1g（k）-g（32）=48k=1g（k）-1=-1.

分析3：采用数形结合法.

解法3：由已知

f（-x）=f（x+6），

可得函数f（x）的图象关于直线x=3对称.①

由题知，g（x+1）为奇函数.

故函数g（x）的图象关于点（1，0）中心对称.②

由②可知，g（2-x）=-g（x）.③

由②，g（1）=0，且f（2-x）+g（x）=4f（2-x）-g（2-x）=4，f（x）-g（x）=4，即f（x）=g（x）+4.④

由①和④，得g（x）的图象关于直线x=3对称.⑤

又由②和⑤，得g（x）的一个周期为8.

将x=2代入④，得g（2）=f（2）-4=-1.

又由③，得g（0）=-g（2）=1.

以下同解法2.

评注：本题是涉及2个抽象函数，共有6个条件的复杂问题，其抽象度很高，难度较大，得分率较低.多数学生对此题的解答感到困难，究其原因是没有较好地领悟其本质及几何意义，难以形成函数对称性的多种代数表达形式，并不易发现其几何意义，从而学生难以生成

解决问题的认知图式.因此，建议教师讲解题目时，应放缓教学进度，让学生充分思考，并多角度表征数学概念和公式，让学生对问题具有丰富的感性认识.解答本题的关键是找到f（x）和g（x）的关系，即f（x）-g（x）=4.

3  对评讲课的思考

3.1  调查学情，面向全体

学情调查与分析作为教学设计的前期工作，是教师有效教学的前提，是提升课堂教学效率的必要基础.学情分析的方法有很多，如问卷调查、观察记录、小组讨论、访谈等.学情调查与分析有以下目的：一是为了精准定位学生当前的知识储备、解题能力、思维水平等，明确学生的差异化需求；二是为了学生面对大型考试应表现出良好心态和抗压能力，有针对性地调整学生心态；三是为了对学生进行一个综合评价，为学生制定个性化备考方案和学习计划，确保全体学生能有效

地

参与后续学习.依据学情调查与分析，教师可更好地

提供给

学生

适合的

差异化学习需求，可更好地

分析

学生经验基础而提供学习素材，可更好地针对学生的薄弱环节设计不同

的

教学方法.

3.2  讲简讲透，揭示本质

通过观察几位老师的评讲课，发现存在解题思路单一、解题方法烦琐、解题过程冗长、局限于试题讲解、未能对知识进行回顾和拓展等问题.试题的评讲课应该具有两个作用：一是让学生知其然更知其所以然，即讲清试题来源，揭示试题本质，让学生明白试题是由什么数学核心知识、普适方法和重要思想所构建而成；二是让学生的深度学习真正发生，即挖掘试题中的隐性知识，丰富试题条件的数学表征，让学生加深理解，建立内在联系，促进问题解决图式的生成.因此，评讲课教学应注意以下几点：一是讲简单，即讲清问题的本质特征、知识的底层逻辑；二是讲要点，即知识的重难点、概念的辨析点、运算的易错点、方法的关键点、思维的转折点等；三是讲变式，即通过变换试题的已知条件、问题情境、设问方式等，做到“一题多变”“一题多用”“多题一解”“一法多用”等.

3.3  指向创新，发展素养

创新素养是数学核心素养的灵魂.指向创新素养培养的评讲课才是高质量的评讲课.数学创新具有自组织性［1］，即创新是学生在综合运用数学“四基”去分析和解决现实情境或数学问题的自组织过程中生成的.因此，数学创新是学生组织数学资源并创造性地运用资源解决新颖问题的过程和结果.“指向创新，發展素养”的数学评讲课需做到以下几点：一是自组织性，即在教师启发、点拨、指导等外力作用下，让学生在感知题意、探索思路、选择方法、书写表达等解题过程中尽可能实现自组织化；二是创新性，即学生在灵活运用“三基”基础上能提供创新、新颖、简洁的非常规解法；三是迁移性，即将数学问题迁移到不同情境中，如跨学科情境和现实情境；四是拓展性，即学生能对已有问题进行变式、拓展和推广，发现并提出新的问题；五是批判性，批判孕育创新［2］，即学生在对自己的解题行为的反思、批判等过程中实现创新.

参考文献

［1］赵思林，高峥，熊露.数学核心素养的内涵探究［J］.内江师范学院学报，2020，35（6）：12-17.

［2］尤娜，赵思林.批判性思维的心理过程及对数学教学的启示［J］.内江师范学院学报，2023，38（10）：1-6.