数学写作：一种任务驱动型学习

摘  要：对中学生而言，数学写作本质上是一种任务驱动型学习：以完成一个数学写作作品为任务，由这一任务驱动而产生并持续进行的学习活动。倡导任务驱动型学习具有较强的自然主义倾向，指导学生数学写作需要顺势而为，在活动过程中不断调整。任务驱动型学习的两个基本要素是任务和目标，指导学生数学写作要从这两个要素入手：关键是明确特征性的学习目标，设置个性化的驱动任务，此外要注意任务完成后的评价反馈与延伸指导。

关键词：数学写作；任务驱动型学习；学习目标；驱动任务

对中学生而言，数学写作本质上是一种新型的学习方式，即任务驱动型学习。

任务驱动型学习是指以完成某个任务为驱动力的学习方式。它以建构主义学习理论为指导：虽然学习者的聚焦点在于完成任务，但是由于这些过程也会不断地积累知识和技能、感悟思想和方法，所以可以形成有效的学习活动。围绕任务展开学习，以任务的完成情况检验和总结学习过程，能改变学生的学习状态，促使学生主动建构包括探究、思考、实践、知识应用、问题解决、写作表达等技能的高智慧学习体系。完成任务所带来的成就感还可以提高学习兴趣，并能够增强学生对所学内容的记忆和理解，从而促进学习的有效和深入。

作为一种任务驱动型学习，数学写作是以完成一个数学写作作品为任务，由这一任务驱动而产生并持续进行的学习活动。进一步看，数学写作任务本质上是一种结构不良（开放性）问题，比常规的结构良好的数学习题更能解放学生的数学学习，激发学生的兴趣，发展学生的思维。

将数学写作理解为一种任务驱动型学习，可以给教师指导学生数学写作带来不少新的工作思路。本文分享笔者在这方面的一些实践感悟。需要指出的是，本文所举的实例都选自我校学生已经正式发表的数学写作作品，但限于篇幅，没有完整呈现，读者可以自行搜索这些学生作品配合阅读，以便充分理解。

一、 倡导任务驱动型学习具有较强的自然主义倾向，指导学生数学写作需要顺势而为

教育研究有两种价值取向：科学主义和自然主义。科学主义认为，科学方法是获取知识的唯一有效途径。因此，它强调用科学方法来研究教育和学习，以便找到有效的教学方法和最佳的学习策略。科学主义的支持者相信，通过科学研究可以证明什么是有效的，从而可以制定出最佳的教育方案。自然主义认为，人类的本性是自然的，与自然环境相连。因此，它主张教育遵循自然规律，从而培养儿童的自然天赋，发展他们的潜能。自然主义的支持者相信，教育应该尊重儿童的天性，让他们自由发展，而不是强加给他们一个标准化的教育模式。

科学主义和自然主义虽然是不同的价值取向，但并不是完全对立的。在教育实践中，科学主义和自然主义可以相互融合。比如，对教学目标的设定和表述、教学方法的选择和设计等，既要考虑科学原理和实证研究的支持，也要考虑学生的兴趣和需求，尊重学生的自然发展和自我实现。实际上，把教育科研成果揭示的教育“真相”作为教育实践决策的参考是必要的，但是，希望教育科研直接为教育实践提供操作方案不太现实，因为教育科学作为一门科学，尚未达到这种成熟程度。同样地，学习优秀教师的经验也不能直接照搬他们的做法，而要关注这些做法背后蕴含的教学法原理。

倡导任务驱动型学习，正是对科学主义和自然主义两种价值取向的一种平衡和融合。并且，相对于传统的“讲授、训练”式教学（“听讲、练习”型学习），它具有较强的自然主义倾向，更加重视学生的自主性（包括自主选择决策、自主探究学习、自主评价监控、自主调整改进等）。所以，指导学生数学写作时，想法（一般原则）往往比做法（具体策略）更重要，因为很多做法都是顺势而为的，是在活动过程中不断调整的结果，它们来自相应的想法，但是很难进行事先的设定。所谓“无招胜有招”，大致如此。

一方面，教师要充分认识到自己是学习的组织者、引导者和支持者，与学生相关的一切事物都是待开发的教学资源，从而时刻准备着根据学生的活动情况、自身的学识储备以及周边的环境条件开发教学资源，发挥自己的组织作用、引导作用和支持作用。

例如方前云、徐瑾如同学合作的作品《第6个数是31的n种理由》［1］，其初稿是学习了网上对该题的几种解法后整理而成的，但是对网上介绍的“利用拉格朗日插值公式”的方法，由于没看懂，她们就没有写进初稿里。笔者考虑到，学习这个方法是一次难得的代数运算训练的机会，同时，体会这个公式的美感也是对数学美的一种全新认识，因此，这是一种难得的学习资源。所以，笔者以初稿的内容太单薄为由，要求她们把这种方法学懂，再补到文章中（这体现了教师的组织、引导作用）。同时，建议她们从研究简单的二次插值公式入手，并帮助她们把构造函数的任务分解成一组更容易上手的任务序列（这体现了教师的支持作用）。最后，她们把这个过程如实地反映在了作品中。

这个例子中，教师的组织、引导和支持作用都是顺势而为的结果。虽然拉格朗日插值公式是大学数学课程的内容，但学生在这次数学写作过程中已经走到了它的门槛前，弄懂它已经成为提升作品质量的需要。事已至此，何不顺势而为？面对学生这一个性化的发展需要，我们为什么要拘泥于这是不是高中数学的知识内容呢？著名华人数学家、数学教育家李秉彝先生早就说过：“标准是家，不是牢房。”［2］而且，将一般形式的拉格朗日插值公式特殊化为二次插值公式，对高中生而言，其难度也不是高不可攀的。突破了二次插值公式，三次、四次插值公式就基本上没有什么难度了。而一般形式的拉格朗日插值公式有点抽象繁杂，如果学生掌握有困难，可以不做要求。把这一经历当作学生后续大学学习的“前概念”学习，也是很有意义的。这种特殊化处理，也是教师对学习材料进行的“教学法加工”。这种“教学法加工”，是教师开发教学资源时经常要做的工作。

需要强调的是，作为数学研究的一种“仿真训练”，数学写作具有数学研究的一些基本要素。因此，教师首先要成为一个研究者和写作者，体验数学研究和写作过程中的酸甜苦辣，才能有更深的体会来开发合适的教学资源，为学生的数学写作提供更好的组织、引导和支持。教师进行數学研究的内容，除了日常教学中遇到的数学问题，也可以在数学竞赛中选择。

另一方面，教师在发挥组织、引导作用时，要充分尊重学生的自主性，而不“越界”（有意或无意地限制学生某些必要的自主性）。具体来说，笔者有两点深刻的体会：一是，放手让学生去探索，不要因为怕学生走弯路而直接指给学生“正路”。教师要充分认识到，弯路也是非常有意义的学习过程，会使学生对问题的思考更深入。二是，对学生的数学写作产生否定性意见时，尽量缓一缓再说，让有关的问题在教师和学生的头脑中发酵一段时间；或采用追问的形式，引导学生进一步解释和思考。这是因为，教师的否定性意见有时来自对学生的误解（由于学生表达不到位等原因），“缓一缓”可以避免武断地扼杀一些好想法的萌芽；有时的确来自学生的失误，而“追问”可能让学生在重新整理自己想法的过程中，发现自己的错误，从而获得成功的体验，保持学习的信心。此外，对于比较复杂、一时难以理清的问题，也可以通过推荐参考资料的方式，让学生在阅读参考资料的过程中慢慢领悟、调整。

例如陈颖颖同学的作品《一篇硕士论文指瑕》［3］，其写作起因是：指导教师发现了一篇硕士论文中的一个错误，把这个错误发在数学社团的QQ群里，让有兴趣的学生研究后写一篇数学小论文，随即，陈颖颖同学主动把这个任务认领了下来。整个写作过程几乎持续了一个暑假。其中，每一次遇到疑惑和困难，陈颖颖同学都主动通过QQ向指导教师咨询求助。无论是研究内容、研究方式，还是研究学习进度，指导教师给她的各种建议都具有一定的弹性，让她有一定的自主选择空间。

陈颖颖同学在抽丝剥茧的过程中，将这个问题分解为一系列小问题，并反复应用反证法对这些小问题的结论进行证明，虽然显得有点笨拙（这个问题还有更为简洁的证明方法），但是，这个过程是对“反证法”的强化训练，而且是学生自主的训练，不是教师强加的、容易引起疲劳甚至反感的训练。

由于在假期，所有的师生交流都是通过QQ进行的，这也给教师“缓一缓”提供了现实便利：对于学生的留言，教师可以假装暂时没看到，过一段时间再回。可见，在数学写作的指导中，用QQ或微信等通讯软件比当面交流更为有效。而且，这样做还有一个好处：没有表情、动作的辅助，学生必须把自己的想法全部用文字表达出来，从而在文字表达方面得到充分的锻炼（编辑数学公式有困难的学生可以手写后再拍照上传）。

二、 任务驱动型学习的两个基本要素是任务和目标，指导学生数学写作要从这两个要素入手

作为一种学习方式，任务驱动型学习主要是由任务驱动的，但其“醉翁之意”不在驱动任务，而在背后附着的学习目标。因此，任务驱动型学习的两个基本要素是任务和目标。它们既有所区别，又相互关联。总的来说，任务更下位（具体），更体现学生发展的个性需要；目标更上位（一般），更体现数学写作的特征价值。同时，任务可以帮助学生实现目标，目标则可以指导教师设置任务。因此，指导学生数学写作要从这两个要素入手：关键是明确特征性的学习目标，设置个性化的驱动任务，此外要注意任务完成后的评价与延伸工作。

（一） 明确特征性的学习目标

作为一种学习方式，数学写作有一些不同于传统数学学习（如数学解题）的学习目标，即数学写作的特征性学习目标。

1. 数学语言表达能力的提升

数学写作为学生全面提升数学语言能力提供了绝佳的机会。在数学写作过程中，学生要将所有内容转化为作品特有的形式表达，包括文字、符号、图表等。而且，这种表达作为一种作品，需要让不仅仅是教师的众多可能读者读得懂，经得起众多读者挑剔的眼光。这样，学生平时不太关注的一些数学语言的问题就会凸显出来，学生在相互阅读同学作品的过程中也会更深刻地感受到这些问题。因此，学生在数学写作过程中对数学语言的学习，是传统的数学学习无法相比的。教师应该随时捕捉相关的教育资源来布置任务，从而实现这一方面的学习目标。实现的时机主要集中在作品的修改阶段：在学生出现某些表述不够到位、不够规范的情况时，将其开发成数学语言的学习资源来布置任务，指导学生琢磨锤炼（尽量不要直接给学生改正），让学生体会不同表达的细微差别，从而感受规范表达（特别是教材中的表达）的优势。

2. 全面性、立体化数学观的培养

数学写作的过程，让学生有机会经历更仿真的数学研究活动，由此可以使得学生对数学学科的认识更有全面性，形成更为立体化的数学观。例如，马思琪同学在完成作品《初探“顺反粘数”》［4］的过程中，给所研究的“新伙伴”命名并下一个精确的定义，发现更多的实例，从中找出规律并证明，然后对其进行类比推广，最后提出进一步研究的问题，由此完整地经历了一次真实的数学研究过程。其间，马思琪同学感叹道：“原来数学中的定义是这么回事啊！”这一感叹正是由于她亲身经历了“在给数学对象命名和下定义时反复修改”的过程。由此，我们可以看到，与常见的“刷题”相比，学生在这个过程中建立的数学观更加全面、立体，更有动态成长性的生命感。

3. 综合素養的提升以及人生观的养成

数学写作是一项综合性较强的任务，它对学生的全面发展，特别是综合素养的提升以及人生观的养成，有很大的促进作用。因此，在指导学生数学写作时，笔者通常会要求学生在作品的最后写一段回顾和体会，并不断修改（充分地体会，更好地提炼），以实现这方面的学习目标。例如，洪瑾同学在作品《投篮的抛物线越高越好吗？》［5］的最后，写了一段体会：“通过这次探究活动，我体会到，数学在实际问题中的应用与平时解数学题大不一样，首先要将实际问题转化成数学问题；其次不必指望一气呵成，在没有弄清问题的数学实质时可以先简化问题，即以退为进，而必要时也可以利用电脑软件做一做数学实验……”在反复修改得到这段文字的过程中，洪瑾同学充分地体会到了相关探究活动的意义。可以看到，综合素养的提升以及人生观的养成，与本轮课程改革重点倡导的“综合性学习”“立德树人”理念不谋而合。因此，结合当前的课改形势，我们更应充分挖掘数学写作在这方面的学习功能，用好数学写作这一学习方式及教学资源，为课改探索新的途径。

（二） 设置个性化的驱动任务

作为一种任务驱动型学习，数学写作是由具体、明确的任务驱动和维持的。一般来说，任务需要具有真实性（与学生生活或学习相关）、挑战性（有一定的难度和复杂性），从而能激发学生的学习兴趣，促进学生的数学探索，提升学生解决问题的能力。

数学写作任务的设置不是一蹴而就的，而是在师生交互的过程中由总（粗、统一）到分（细、个性）逐步调整形成的。在此过程中，任务和目标之间的界限也会变得模糊，关系也会更加融合——虽然总的来说，是要根据目标设置任务，但是具体而言，也要根据任务调整目标。因此，这时需要重点关注学生的个性化需求——毕竟，即使对同一主题（话题、问题），不同的学生写出的作品（研究的过程）也会有很大的不同。

一般来说，写出一篇数学写作作品（可以规定主题，也可以不规定主题），就是总的任务。这个任务下达之后，每一位学生都会对其进行细化，以形成个性化任务（子任务），驱动研究。而教师则要关注学生个性化研究中的需求，考虑相应的目标，进而再次设置个性化任务（子任务），组织、引导学生研究（学习）。还以方前云、徐瑾如同学合作的作品《第6个数是31的n种理由》为例，笔者设置“加写拉格朗日插值公式方法”这个子任务，是因为注意到学生关注了这个方法却没有搞懂，并发现学习这个方法可以实现“提升代数运算能力”的目标。

设置个性化任务时，任务的复杂程度和完成条件也是需要考量的因素。设置较为复杂的任务，学生就有机会锻炼多方面的综合性技能，学习的目标可以更为综合化；反之，学习的目标可以相对单一化。任务的完成条件则主要是指学生在完成任务的过程中所能调用的各种软硬件资源。当然，任务的复杂程度也和完成条件相关，同一任务在不同的完成条件下复杂程度也不同。

设置个性化任务时，班额比较大，是一个操作的难点。解决这个难点的基本思路是“点面结合”：重点辅导个别学生，集体辅导带有普遍性的问题。集体辅导可以在常规课上，也可以利用选修课、社团活动等。这需要视学校的各种安排而定。比如，我校有一个“学生成长导师制”，经常会组织对参与学生的集体辅导，笔者便经常利用这个机会进行数学写作方面的集体辅导。

此外，任务的个性化还体现在任务的完成度也有一定的弹性上。每位学生的情况各异，对任务的完成情况肯定也是不一样的，教师不太可能也没有必要做统一的要求。

认识到这种弹性的必然性和合理性，可以让教师放下思想包袱，对一些看起来不太完美的学生作品有更大的宽容度。就算学生只完成了一部分任务，没有形成完整的作品，只要在写作过程中达成了某些学习目标，就还是具备教育意义的。

这一实施要点在笔者开设的校本选修课“数学写作”的教学中有比较集中的体现。每堂课，笔者都会给学生布置“把一张16开纸的课堂笔记和小结（如图1所示）尽可能地写满”的总任务，并在最后留出10分钟时间，让学生想办法将纸上空白的地方填满。尽管“把纸写满”这个总任务是统一的，但是，相应的子任务——学生的完成情况是个性化的：可以写满，也可以不写满，但要尽量逐渐地能够写满；可以写课上教师口头表达的内容、PPT呈现的内容，也可以写自己想到的内容；可以关注名言警句，反思人生哲理；可以关注解题过程，反思解题方法……由此，学生迸发出了一些精彩的思想火花，给笔者带来意外的惊喜。 为此，笔者经常会在课上表达或呈现一些与教学内容“貌离神合”的话语，比如“如果你不玩数学，你就会被数学玩”“别让数学变成死相，要让数学形成思想”“没话找话说，有话好好说”，启发学生体会、思考，写出更丰富、深刻的内容。

（三） 注意任务完成后的评价反馈和延伸指导

数学写作任务完成后，教师要对学生的完成情况作出评价反馈和延伸指导，从而激励、帮助学生进一步完善已有作品、完成更多作品。

评价反馈的方式可以多样化。可以整体打一个总分，也可以局部写一些评语；可以对一些精彩的地方给出不同的星级表扬，也可以对一些不好的地方给出适当的修改建议。

此外，特别要注意引入同学评价，即在同学之间分享作品，让学生相互评价、交流。这是基于“学生更容易受到同伴的影响，从同伴身上学到东西”的认识。把学生的作品当作新的教学资源，效果甚佳。比如，校本选修课“数学写作”的教学中，笔者经常用前几届学生的获奖作品做范文讲解，学生在阅读同学的优秀作品并作出评价的同时，能受到激励并获得借鉴——当然，不好的作品也可以作为教学资源，发挥教育价值。再如，组织学校的数学写作比赛时，笔者也会在通知中附上以往的获奖作品名录，让学生受到激励、获得借鉴。

延伸指导一般发生在一个比较优秀的作品完成后。这时，学生一般都会处在情绪高涨、思维活跃的状态，教师可以基于作品的内容，引导学生延伸话题，开展进一步的研究、写作。还以洪瑾同学的作品《投篮的抛物线越高越好吗？》为例，这篇文章开头的引子说明了这篇文章的写作缘由：在获得学校数学写作比赛一等奖的另一篇作品完成后，老师抛给她的一个相关问题引出了这一篇文章。

总之，作为任务驱动型学习的数学写作，是一种具有很强自主性、综合性的学习方式。指导学生开展数学写作活动时，教师要从“任务驱动型学习”的相关理论中寻找启发，结合新一轮课程改革倡导的“研究性学习”，探索出相应的具有学校特色和教师特征的实施方法、操作方案。本文介绍的一些具体做法也只是笔者个人根据所在学校的具体情况，针对所教学生的學习情况而采用的，即笔者的一些实践感悟。组织任务驱动型学习，不存在千篇一律的模式。

参考文献：

［1］ 方前云，徐瑾如，龚雷.第6个数是31的n种理由［J］.新世纪智能，2020（11/12）：9096.

［2］ 胡晋宾，刘洪璐.影响教学课改的十句名言［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2021（6）：3639.

［3］ 陈颖颖.一篇硕士论文指瑕［J］.新世纪智能，2018（15/16）：4144.

［4］ 马思琪.初探“顺反粘数”［J］.新世纪智能，2018（15/16）：3840.

［5］ 洪瑾.投篮的抛物线越高越好吗？［J］.新世纪智能，2022（1/2）：4548.

（龚  雷，浙江省杭州第九中学。杭州市优秀教师、杭州市师德先进个人。中国教师教育网培训专家。我国“数学开放题”研究的拓荒者之一。作为第一作者，出版全国第一部数学开放题集《初中数学开放题集》。作为最后一章执笔者，参与编写张奠宙先生主编的全国第一部数学双基教学专著《中国数学双基教学》。）