数形结合思想应用于初中数学解题中的相关思考

周敏

【摘要】数形结合思想是指将数学问题与图形相结合，通过图形的特点和性质来解决数学问题的思维方式.本文旨在探讨深度学习视角下数形结合思想在初中数学解题中的应用.首先介绍了数形结合思想的定义和特点，并强调其在数学解题中的优势和作用.然后在一个具体例题中详细讲解了如何运用数形结合思想进行解题.接着对比了传统解题方法和数形结合思想的差异和优劣点.进一步设计了一组相关习题，并分析了学生在解题过程中的表现和策略，以及数形结合思想对解题的优势和帮助.通过研究发现，数形结合思想能够提高学生的空间思维能力、知识的综合运用能力，培养他们的图形观察和推理能力，有助于加深对数学问题的理解和应用.

【关键词】数形结合思想；初中数学；深度学习

数形结合思想是一种将数学与图形相结合的解题方法，通过运用图形的特点和性质来解决数学问题.在初中数学教学中，数形结合思想被认为是培养学生空间思维能力、提高解题技巧的重要策略.然而，目前对于深度学习视角下数形结合思想在初中数学解题中的应用仍缺乏系统性的研究.

1 数形结合思想在初中数学解题中的应用

1.1 数形结合思想的定义和特点

数形结合思想是初中数学非常重要的一种解题方法，是通过将数学问题与图形相结合，利用图形的特点和性质来解决数学问题的一种思维方式.其核心思想是通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，通过观察和分析图形，根据问题的特点，将代数问题借助于图形解决，或者将几何图形中的关系量化转化成代数关系，再根据图形的形状、特点、位置、数量、关系等特征，将数学问题转化为图形的属性或将几何属性转化为代数运算，从而达到以形助数，以数解形的作用，进而达到使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，更易于理解、解决数学问题的目的［1］.

数形结合思想具有以下特点：一是综合性.数形结合思想能够将数学的不同内容融合在一起，通过几何图形的视觉化表达，帮助学生理解和应用数学知识.二是直观性.图形是直观可见的，通过观察图形可以直接感知到其形状、大小以及相互关系，有助于学生对数学问题的理解和思考，把抽象的问题具体化.三是模型化.数形结合思想将数学问题抽象成几何模型，通过数学模型的建立和分析，可以更清晰地展示数学问题的本質和解题方法，提高学生的数学应用能力.四是思维的灵活性.通过数形结合，学生可以从不同角度考虑问题，既可以从数学概念出发，也可以从图形出发，从而更全面地理解问题.

1.2 数形结合思想在数学解题中的优势和作用

数形结合思想在初中数学解题中具有以下优势和作用.一是激发兴趣.数形结合思想通过以图形为媒介，能够使抽象的数学问题更具有形象性，激发学生的学习兴趣和好奇心.学生可以通过观察、分析和推理，将抽象的数学概念和问题转化为直观且可视化的形式，使学习变得更加生动有趣.二是提高空间思维和想象能力.数形结合思想要求学生从图形的角度去考虑问题，培养了学生的空间思维能力和几何直观感知能力.通过观察和操作图形，学生可以培养对几何形状、属性和关系的敏感性，提升他们在处理空间问题时的思维灵活性和几何直觉.三是增强问题解决能力.数形结合思想通过将数学问题转化为图形进行分析和推理，能够锻炼学生解决问题的能力和逻辑思维能力.学生需要观察图形的特点、关系和规律，并运用数学知识进行分析和解决问题.这种思维方式培养了学生的逻辑推理能力、创造性思维能力和灵活思维能力，使他们能够更有效地解决数学问题［2］.四是深入理解数学知识，提高解题效率.数形结合思想能够帮助学生从图形的视角去理解数学知识，或者从数的方面去解释图形，促进学生对数学知识的深入理解和应用.通过观察图形的特点和关系，学生可以感受到数学的运用和意义，提高对数学原理和规律的把握和理解程度.

2 数形结合思想在初中数学中的实践

2.1 数形结合思想在几何中的运用

例1 如图1所示，在正△ABC中，边AB、BC、CA分别有点D、E、F，且满足DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，求点D在AB上的位置.

解析 根据题目给出的条件，我们要求点D在边AB上的位置.这里涉及线段关系，需要运用数形结合思想来解题.

先假设符合条件的点D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与线段之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.

解 设AB=1，AD=x.

由于△ABC为正三角形，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，根据直角三角形，30°角所对直角边等于斜边一半的定理，我们可以得到以下数量关系：

AF=2x，CF=1－2x，CE=2CF=2－4x，BE=1－CE=4x－1，BD=2BE=8x－2，

而AD+BD=AB，即x+（8x－2）=1.解这个方程可以得到x=13，即点D位于AB边上的13分点处.

通过解这个方程，我们可以得到AD的值，并进一步计算出BD的长度，最终确定点D位于AB边上的具体位置.

小结 通过该例题的讲解，我们可以看到数形结合思想的应用在解决复杂问题时具有很大的帮助.通过将几何图形和数量关系相结合，我们能够更清晰地理解题目的条件和要求，从而运用适当的推导和计算方法来解决问题.在初中数学教材中，通过类似的例题和练习题，可以帮助学生深入理解数形结合思想的应用，以数解形，并提高他们的解题能力和空间思维能力.在解决几何问题时，通过将几何中的形的关系转化为数的关系，可以更加直观地理解和解决问题.

2.2 数形结合思想在解决代数问题中的应用

在很多代数问题中，比如一些含有字母的绝对值的运算，公式的恒等变形，不等式的解的问题，图形与坐标，函数与方程组，函数与不等式等函数问题，我们经常会利用数轴、几何图形、图像等与数或点的坐标相结合来解决数学问题，从而形成数形结合思想.通过图形或者图像，我们可以直观地看到数的变化趋势、数的性质以及不等式的解集等，从而通过数形结合思想解决此类问题.

例2 文具店、书店、服装店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店的西边30m处，服装店在书店的东边80m处，小明从书店出来沿街先向西走了20m，接着又向东走了100m（见图2），则小明此时的位置在（  ）

（A）文具店处  （B）书店东100m处

（C）服装店处  （D）文具店东100m处

解析 将这条东西走向的大街视为数轴，以书店作为原点，并规定正东方向为正方向.每单位长度表示10m.根据题目描述，文具店位于书店西边30m处，服装店位于书店东边80m处.我们可以根据这些信息在数轴上标出文具店和服装店的位置.根据小明从书店起始位置开始，先向西走了20m，再向东走了100m的过程，我们可以在数轴上找到小明此时的位置.由于小明从书店（起点）向西走了20m，所以他现在的位置应该是书店的位置减去20m.由于小明又向东走了100m，所以他的位置应该在书店向西走了20m的位置加上100m.将书店的位置设为原点，并根据数轴上的正、负和单位长度代表的距离来表示文具店和服装店的位置.根据计算，文具店的位置可以表示为-30，服装店的位置可以表示为+80，小明此时的位置可以用+80来表示，因此根据数形结合思想对数轴上的位置关系进行分析，可以确定小明此时的位置在服装店处，故选C.

小结 在给出的习题中，通过画数轴将文具店、书店和服装店的位置表示出来，将问题转化为数轴上点的位置关系.通过数形结合思想，将实际情境转化为数轴上的点的位置，学生通过图形的展示和数学模型的建立，更容易理解问题和进行推理.在这个习题中，学生可以通过观察数轴上的位置关系和加减运算的规律，确定小明此时的位置在服装店处.数形结合思想的应用使得抽象的数学问题具有更直观的形象性，激发学生对数学问题的兴趣和主动思考能力.通过解题过程，学生不仅掌握了具体问题的解法，还培养了几何形象思维和数学建模能力，提升了数学问题的解决能力和数学思维水平［3］.

因此，数形结合思想在解决很多代数问题，比如代数中不等式求解问题，函数增减性，交点，最值，大小比较，图形与坐标等问题，以及一些公式的证明问题中运用非常广泛，直观地帮助学生从形的角度解决了数的问题，帮助我们更好地理解代数问题的本质，提供了一种简便的解题方法.将抽象的数学问题和直观的图形结合起来，使我们更好地理解和解决数学问题.

2.3 对比使用传统解题方法和数形结合思想的差异和优劣点

传统解题方法和数形结合思想在初中数学解题中，存在着一些差异和各自的优劣点.

传统解题方法主要依赖于代数运算和符号表示，强调逻辑推理和符号运算的过程.通过列方程、列不等式、化简、代数计算等步骤来解决数学问题.该方法在一些抽象的运算与计算题目中具有一定优势，更加侧重于数学公式和规则的运用.然而，在几何图形的分析证明和应用问题中可能略显不足，较难从直观角度入手进行解题.

与传统解题方法相比，数形结合思想更加注重图形的观察和分析，将问题转化为图形的特征和关系进行推导和求解.通过图形的直观表达，能够激发学生的空间思维能力和直观感知能力.数形结合思想在许多问题中具有较大优势，能够提供更多的直观解释和启示.数形结合思想能够更清晰地展现几何的性质、关系、规律，使得问题的解答更加直观、具体和易于理解.然而，数形结合思想也存在一些局限性.对于一些复杂的数学问题，可能需要较高的空间直观能力和几何推理能力才能运用数形结合思想进行解题.

3 数形结合思想在习题中的应用与效果

3.1 设计一组相关习题，要求学生运用数形结合思想解题

这组习题的设计旨在培养学生将数学问题与几何图形相结合的能力，并通过具体的例题来引导学生运用数形结合思想解题.通过反复练习和实践，学生能够逐渐掌握数形结合思想的应用技巧，提高解题的准确性和效率.

例3 在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（-1，3），C（0，5），若△CAB与△DBA全等（见图3），求点D的坐标.

解析 此题需要根据题意建立适当的平面直角坐标系，在平面直角坐标系中描出点A，点B，点C，并连接AB，AC，BC，得到△ABC，再根据三角形全等的判定定理——边边边定理，在坐标系中画出与之全等的图形，因为AB边确定，根据全等三角形对应边高相等，可以得到与△CAB全等的△DAB有三个，进而求出点D的坐标有三個.

小结 数形结合思想在习题中的应用，能够帮助学生更直观地理解数学问题，并利用几何图形的特征和关系进行推导和计算.通过设计相关习题，要求学生运用数形结合思想解决问题，可以锻炼他们的观察和推理能力，提高解题的整体水平.另外，借助于图形与坐标，函数图象等解决数学问题，可以更直观地展示函数的性质和变化规律，便于学生理解和掌握.因此，教师在教学中应适时引入能够运用数形结合思想的习题，激发学生的学习兴趣，并有效培养他们运用代数知识与几何知识的综合思维能力.

3.2 学生习题表现和解题策略

学生在习题表现和解题策略上的差异是个体之间的正常现象.有些学生可能能够迅速理解和解决数形结合问题，准确地应用数学知识和几何规律.另一些学生可能需要更多时间和练习，以提升他们的数形结合能力和解题技巧.还有一些学生可能遇到困难，难以将数学概念和几何形状相结合，解释和应用数学规律.

有些学生可能善于使用图形分析和推理，通过观察几何形状的特征和关系来解决问题.另一些学生可能更倾向于代数思维，将几何问题转化为代数方程或表达式进行求解.还有一些学生可能采用试错法或反复尝试不同方法，以找到正确的解决途径.教师在教学中应关注学生的习题表现和解题策略，以便更好地指导和支持学生.这可以通过观察学生的作业、与学生的交流或小组讨论等方式来了解学生的习题表现和解题思路.针对学生的差异性，教师可以根据学生的需求进行个别辅导和指导，提供适当的教学资源和策略，以帮助学生更好地理解和应用数形结合的知识和技巧.

3.3 数形结合思想在解题过程中的优势和帮助

数形结合思想在解题过程中具有许多优势和帮助.第一，可视化问题解决.数形结合思想能够帮助学生将抽象的数学概念与具体的图形相联系，使問题更加可视化.通过可视化，学生能够更直观地观察、分析和理解问题，从而提高解题的准确性和效率.第二，创造性思维培养.数形结合思想鼓励学生发展创造性思维，从不同角度思考问题，并尝试找到不同的解决方法.学生可以尝试各种组合、变换和创新，以通过自己的探索来解决问题.第三，综合能力提升.数形结合思想让学生综合运用数学知识，使代数知识与几何知识融会贯通，从而提升他们的综合解题能力.学生需要将数学知识转化为几何图形或图像，然后利用这些图形或图像来进行分析、推理和解答问题.第四，规律发现和应用.通过数形结合思想，学生能够更容易地发现数学问题中的规律和关系，并将其应用到其他类似的情境中.例如，通过观察几何图形的对称性、比例关系或角度关系，学生可以推断出数学规律，然后将这些规律应用到其他几何问题中.第五，扩展解题思路.数形结合思想能够帮助学生扩展他们的解题思路.它能够鼓励学生尝试不同的方法和策略，以求得更全面和深入的解决方案.通过数形结合，学生可以突破传统的解题思维模式，从多个角度思考问题，找到更多的解决途径.

4 结语

综上所述，通过深度学习视角下数形结合思想在初中数学解题中的应用研究，我们可以得出以下结论：数形结合思想是一种有效的解题方法，能够帮助学生提升空间思维能力和解题技巧.在初中数学教材中实践数形结合思想可以丰富教学内容，提高学生的学习兴趣和理解能力.数形结合思想在解题过程中能够促进学生对数学知识的深入理解，并培养他们的观察和推理能力.然而，在实践中仍需注意教学方法的灵活运用和个性化教学的重要性.未来研究可以进一步探索数形结合思想在其他数学领域中的应用，并结合创新教育技术共同推动数学教学的发展.

参考文献：

［1］香钦源.数形结合思想在初中数学解题中的应用［J］.数理天地：初中版，2023（17）：20-21.

［2］崔文东.数形结合思想在初中数学解题中的应用研究［J］.数理天地：初中版，2023（13）：33-34.

［3］周建荣.数形结合在初中数学教学中的运用［J］.信息周刊，2022（5）：55-57.