初中数学中的二次函数应用题解法研究

丁小玲

【摘要】二次函数是初中数学中的重要内容之一，在实际生活中有着广泛的应用.本文以二次函数应用题解法研究为主题，探讨了二次函数在实际问题中的应用方法和解题技巧，介绍了二次函数的基本形式和性质，包括二次函数的标准形式、顶点形式和因式分解形式，以及二次函数的对称轴、顶点、开口方向等重要概念，总结了二次函数应用题常见题型以及解法的一般步骤和解题技巧，包括确定问题的关键信息、建立二次函数模型、求解关键点和解释结果等.通过系统的解题方法，帮助学生更好地理解和应用二次函数，提高数学解题能力.

【关键词】初中数学；二次函数；应用题；解题技巧

1 引言

二次函数是初中数学中的重要内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用.通过研究二次函数的应用题解法，可以更好地理解和掌握二次函数的性质和特点，进而应用于解决实际问题.本文将以初中数学中的二次函数应用题解法为研究对象，探讨如何通过建立二次函数模型、求解方程和分析问题等方法来解决实际问题.通过具体的例子和详细的解题步骤，帮助学生理解和掌握二次函数应用题的解题思路和方法.

2 二次函数应用题常用解法

2.1 列出二次函数表达式

例1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=－x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点，求此二次函数的表达式.

解析 为了解决这个问题，我们需要根据题目中的条件，求出直线y=x+3交x轴于A点的坐标，交y轴于B点的坐标.b、c是常数，需要求解.

根据一次函数y=x+3，可以求出该一次函数与x轴和y轴的交点，A（-3，0），B（0，3），根据求出的A（-3，0）和B（0，3），将其代入二次函数y=－x2+bx+c，可以求出常数b为-2，常数c为3，即y=－x2－2x+3.

2.2 利用数形转换

二次函数应用题常用解法是进行数形转换.首先，将问题中的条件和要求用数学符号表示出来，然后将其转化为二次函数的形式.接着，可以通过求解二次函数的顶点、判别式等方法来得到问题的解.

例2 中国女排队员平时刻苦训练，掌握了成熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训.已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m.排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a（x－h）2+k（a＜0）.若某队员第一次在0处正上方2m发球，当排球运行至离0的水平距离为6m时，到达最大高度为2.8m.问：这次发球是否能过网？

解析 首先，将问题转化为数学符号进行表示：根据题意可知顶点为（6，2.8）和与y轴的交点（0，2），代入表达式y=a（x－h）2+k，求出常数a为－145，常数h为6，常数k为2.8.即y=－145（x－6）2+2.8.接下来，可以通过求解二次函数的点坐标来得到排球是否过网.

已知球网与球员的距离为9m，即x=9，将其代入二次函数中，求得y为2.6.因此，排球经过球网上方时距离地面的高度为2.6m，而已知球网高度为2.24m，2.6＞2.24代表着球可以过网.

通过数形转换，将二次函数应用题转化为了数学问题，并通过求解二次函数的顶点来得到问题的解.这种解法可以帮助学生更好地理解和解决二次函数应用题.

2.3 利用几何知识

例3 如图3，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积.

解析 我们需要利用已知的A、B、C三点的坐标求出该二次函数，利用该四边形完全被二次函数曲线覆盖来解决求四边形ABDC面积的问题.

根据题意可知二次函数与x轴和y轴的交点分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，3），代入表达式y=ax2+bx+c，可以求出常数a为-1，常数b为2，常数c为3，即y=－x2+2x+3.

由于D点为二次函数的顶点，将y=－x2+2x+3转换为y=－（x－1）2+4，可知D点的坐标为（1，4）.

由于四边形ABDC的图形不是规范的图形，为求其面积可将四边形ABDC划分为其他图形，由D点向下垂直作一条直线，其与AB的交点为E（1，0）.所以四边形ABDC的面积为三角形AOC、梯形OCDE以及三角形BDE的面积之和.

即S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE=12×1×3+1×（3+4）2+12×2×4=9.

在解题过程中，我们需要注意二次函数的性质和几何图形之间的关系，以便能够正确地求解题目中的问题.同时，也要注意实际问题中的限制条件和影响因素，以确保解题的准确性和完整性.此外，这道题目也说明了二次函数和几何图形之间的联系，提醒我们在学习和应用二次函数时，要善于利用几何知识来解决问题.

利用几何知识来解决二次函数应用题可以帮助学生更直观地理解问题，并且能够提供简洁而有效的解决方法.通过将二次函数的图像与几何图形进行对应，可以更好地理解问题的本质，并得到准确的解答.

3 结语

二次函数应用题解法的关键在于确定函数的表达式和解题思路.通过观察题目中的条件和要求，可以建立二次函数表达式，并利用函数的性质进行推导和計算.解题过程中需要注意对函数图像的分析和理解.通过绘制函数图像，可以直观地了解函数的特点，如顶点、开口方向等，从而更好地解决问题.此外，解题过程中还需要灵活运用二次函数的性质和相关知识，如平方差公式、配方法等，以便更快地求解问题.解题过程中需要注意思维的灵活性和创造性.有时候，需要通过转化问题、引入辅助变量等方法来简化问题，从而更好地解决.

参考文献：

［1］赵生初，赵树源，谭雪等.一道北京中考二次函数综合题的解法探究［J］.中小学数学：初中版，2023（1）：3.

［2］王微.初中数学二次函数动点问题教学模式分析［J］.数理天地：初中版，2023（9）：46-48.

［3］杨周荣麟.初中数学二次函数动点问题教学模式分析［J］.新课程教学：电子版，2022（6）：44-45.

［4］赵福.苏教版初中数学“二次函数”教学方法解读［J］.数学大世界：上旬，2018（8）：1.

［5］季峰.例谈初中数学二次函数综合性题目的解题技巧［J］.数理天地：初中版，2022（10）：11-12.