巧设变量求解一道2023年高考数学圆锥曲线题

摘 要：与圆锥曲线相关的解答题是高考数学必考的一道题目，该类题目考察的一个主要知识点是在某个约束条件下求解某个量的最大值或最小值。对于该类题目，通过设置合适的变量以及适当的变量代换建立约束条件和目标函数求解会达成很好的求解效果。本文以2023年全国高考数学甲卷中的一道圆锥曲线题为例给出解答与说明。

关键词：圆锥曲线；变量；变量代换

Set Variables to Solve a Coniccurve Problem Appearing in 2023

Liang Zuosong

College of Mathematics and Physics， Guangxi Minzu University GangxiNanning 530006

Abstract：The coniccurverelated  solvingproblem is one of the compulsory questions in the college entrance examination.One of the main knowledge points of this kind of problem is to solve the maximum or minimum value of a certain objective function under a certain constraint condition.For this kind of problem，it will achieve a good solution effect  by setting appropriate variables and appropriate variable substitution to establish constraints functions and  objective  functions.This paper takes a coniccurve solvingproblem appearing on  the college entrance examination paper in 2023 as an example to  give some explanations and descriptions.

Keywords：coniccurve;variable;variable substitution

1 概述

圓锥曲线是高中数学阶段需要学习的一类重要数学概念。借助圆锥曲线这一数学模型寻求某些量的最大值或最小值是高考中经常出现的题型。对于该类题型通过合理设置变量建立约束条件和目标函数是寻求解决该类问题的通性解法。在具体的解题过程中，通过设置合适的变量以及适当的变量代换建立约束条件和目标函数求解会达成很好的求解效果。下面我们以2023年一道高考数学题为例给出解答与说明。

2 巧设变量求解一道2023年高考数学题

2.1 题目陈述

2023年全国统一考试数学（理科）甲卷第20题如下：

直线x-2y+1=0与y2=2px（p>0）交于A，B两点，AB=415。

（1）求P的值；

（2）F为y2=2px的焦点，M，N为抛物线上的两点，MF·NF=0，求ΔMNF面积的最小值。

2.2 分析

我们只需对第二小问的解答思路进行分析。在第二小问中M，N为抛物线上的两个变点，因此可设置的变量有如下几种。我们常规的思考方法是设直线y=kx+b或者x=ky+b，通过代入抛物线得到M，N两点的坐标关系。该种方法需要利用韦达定理得到两个变量k和b之间的关系（即约束条件），计算量比较大。其实，仔细想一下，任意给定抛物线上的两点，就得到M，N所在的直线，因此可直接设M，N的坐标分别为（y122p，y1），（y222p，y2）即可。下面利用直接设点坐标的方法建立约束条件和目标函数并且通过巧妙的变量代换进行求解。

2.3 解答

解：（1）将直线方程化为x=2y-1代入y2=2px得：

y2-4py+2p=0

令A的坐标为（x1，y1），B的坐标为（x2，y2），则：

y1+y2=4p，y1y2=2p

从而：

AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=5y1-y2

=5（y1+y2）2-4y1y2

=415

整理得：

2p2-p-6=0

解得：

p=2或p=-32（舍去）

（2）由p=2得，抛物线焦点F坐标为（1，0）

设M，N的坐标分别为（y124，y1），（y224，y2）则：

MF=1-y124，-y1

NF=（1-y224，-y2）

由MF·NF=0得：

y124-1y224-1+y1y2=0

整理得：

y12y22+16y1y2+16=4y12+4y22

进一步整理得：

（y1y2+4）2=（2y1-2y2）2（1）

ΔMNF的面积可表示为：

=12FM×FN

=12ijk

0y124-1y1

0y224-1y2

=12y124-1y2-y224-1y1

我们注意到求解含有绝对值的最值问题不易处理，因此我们进一步转化为求ΔMNF面积的平方的最小值这一等价问题。

因此对上式两边平方进一步整理得：

S2ΔMFN=164y2-y12（y1y2+4）2（2）

题目做到这里，该问题转化为在约束条件（1）的基础上求解目标函数（2）的最小值问题。我們注意到直接求解以上问题也是有一定难度的。但仔细分析便会发现，（1）和（2）中都含有y1y2+4和y1-y2两个因式。于是可设变量替换y1y2+4=m；2y1-2y2=n，这样上述问题便转化为较简单的形式。下面，我们进一步给出后面的解答。

令y1y2+4=m；2y1-2y2=n

由（1）可得m=n或m=-n

若m=n，可得y1y2+4=m

2y1-2y2=m，将y1=m+2y22=y2+m2代入y1y2+4=m得

y22+m2y2+4-m=0

由：

Δ=m22-4×（4-m）0

得m82-8或m-82-8

此时S2ΔMFN=164×n24×m2=164×m24×m2=m4256

从而SΔMFN=m21612-82

若m=-n，可得y1y2+4=m

2y1-2y2=-m，将y1=-m+2y22=y2-m2代入y1y2+4=m得

y22-m2y2+4-m=0

由：

Δ=m22-4×（4-m）0

得m82-8或m-82-8

此时S2ΔMFN=164×n24×m2=164×m24×m2=m4256

从而SΔMFN=m21612-82

综上所述ΔMNF面积的最小值为12-82。

3 总结以及推广

运用变量代换能使一些结构复杂的数学问题变为简单、易于求解的问题，从而达到化难为易的效果。对于圆锥曲线类高考题设置合适的变量以及变量代换建立目标函数和约束条件求解会达成较好的求解效果。在具体的变量代换中我们要善于分析与观察，本着将表达式向简单易求解的方向进行转化。我们要特别注意的是，在变量代换过程中我们要求出新的变量的范围，这样才能确保变换后的问题和原问题等价，进而得到目标函数的最值。例如，对于双变量x和y，以及变量代换x=Rcosθ，y=Rsinθ，我们要及时地根据x，y的范围来确定R和θ的范围。当x和y的范围位于第一象限时，则x，y的范围相应地修改为θ∈0，π2以及R∈［0，+∞）。当x和y的范围满足x2+y2=1时，则x，y的范围相应地修改为θ∈［0，2π］以及R=1。下面我们给出双变量代换的定义以及在求解优化问题中的具体应用。

3.1 双变量代换的定义

设变量x和y以及（x，y）所处的范围D，若存在两个二元函数x=x（u，v），y=y（u，v）以及（u，v）∈D′，满足对任意的（x，y）∈D存在（u，v）∈D′使得（x，y）=（x（u，v），y（u，v））以及对任意的（u，v）∈D′存在（x，y）∈D使得（x，y）=（x（u，v），y（u，v））同时成立，我们称x=x（u，v），y=y（u，v）建立了从变量x，y到变量u，v的双变量代换。特别的，若上述代换满足对任意的（x，y）∈D存在唯一的（u，v）∈D′使得（x，y）=（x（u，v），y（u，v））以及对任意的（u，v）∈D′存在唯一的（x，y）∈D使得（x，y）=（x（u，v），y（u，v））同时成立，我们称变换x=x（u，v），y=y（u，v）建立了从D到D′的一一映射。一般来说，双变量代换都是建立了从D到D′的一一映射。

3.2 双变量代换的应用以及原则

双变量代换对于优化问题的转化计算方面具有很好的应用。设z=z（x，y），其中（x，y）∈D。当我们寻求表达式z=z（x，y）的最大值或最小值比较困难时，我们可以考虑引入恰当的双变量代换x=x（u，v），y=y（u，v）以及（u，v）∈D′。将关于表达式z=z（x，y）的最大值或最小值问题转化为z=z（x（u，v），y（u，v））的最大值或最小值问题。如果z=z（x（u，v），y（u，v））的表达式比较简单且在范围D′上的最值问题比较好求，则我们完成了从困难问题到简单问题的转化。

因此，如何引入恰當的双变量代换x=x（u，v），y=y（u，v）将困难问题转化为简单问题是一个技巧。从整体上来说，我们本着如下两个原则。

首先，通过对z=z（x，y）表达式的深入分析，设置双变量代换x=x（u，v），y=y（u，v）后z=z（x（u，v），y（u，v））的表达式简单易求。例如，在上述高考题中，S2ΔMFN=164y2-y12（y1y2+4）2的面积可通过令y1y2+4=m；2y1-2y2=n化为S2ΔMFN=1256m2n2。

其次，要容易通过（x，y）所处的范围D求出（u，v）所处的范围D′。例如，在上述高考题中，（y1，y2）所处的范围D应该被表述为{（y1，y2）|（y1y2+4）2=（2y1-2y2）2}。通过变量代换后得到变量m和n应满足的关系是m=±n。这里，我们一定注意到{（m，n）|m=±n}并不是m和n的范围。因为任意给定的m=±n，满足y1y2+4=m；2y1-2y2=n的y1和y2不一定存在。因此我们要进一步确定变量m和n的范围如下。若m=n，可得y1y2+4=m

2y1-2y2=m，将y1=m+2y22=y2+m2代入y1y2+4=m得y22+m2y2+4-m=0，由Δ=（m2）2-4×（4-m）0得m82-8或m-82-8。

若m=-n，可得：

y1y2+4=m

2y1-2y2=-m

将y1=-m+2y22=y2-m2代入y1y2+4=m得：

y22-m2y2+4-m=0

由：

Δ=m22-4×（4-m）0

得m82-8或m-82-8。

综上可得，m和n的确切范围为{（m，n）|m=±n，m82-8或m-82-8}。因此，确定通过（x，y）所处的范围D求出（u，v）所处的范围D′是借助双变量代换x=x（u，v），y=y（u，v）将困难问题转化为简单问题的一个关键。

总之，在数学解题中变量代换是一种常用的重要的数学方法，变量代换的实质是实施数学中的转化思想。这样就可以起到化繁为简、化难为易的效果，从而优化解题过程。我们需要注意的是，在进行变换时一定要确保等价，即准确确定新变量的范围。

参考文献：

［1］同济大学数学系编.高等数学第七版［M］.北京：高等教育出版社，2022.

［2］华东师范大学数学科学学院编.数学分析第五版［M］.北京：高等教育出版社，2022.

项目：本论文受国家自然科学基金（12361067）以及校级教改项目“青年教师高等数学教学风格的形成机制及其实践研究”资助

作者简介：梁作松（1981— ），男，汉族，山东肥城人，博士，副教授，主要从事数学分析、高等数学等学科的教学与研究工作。