无序、有序、良序

吴功尧

【摘要】序言课可以帮助学生勾勒蓝图，激发学生对新课的向往.本教学设计采用重构式再现数列、等差数列、等比数列等概念的形成过程，采用附加式讲述数列的演变历史，采用复制式或顺应式改造斐波那契数列、提丢斯的发现、芝诺悖论、惠施命题等史料.让学生经历知识“再创造”的过程，体会数学之美、数列之奇，最终达成落实数学核心素养的目的.

【关键词】HPM；数列；序言课；核心素养

1 引言

数列序言课是指数列内容正式开始前的一节课，旨在让学生明确即将学习的对象、目的以及方法.一堂好的序言课可以帮助学生抓住主线、勾勒全局，可以启迪思想、渗透方法，还可以吸引学生眼球、激发学习兴趣.本教学设计将从数学史的视角，以“从无序到有序，从有序到良序，从良序到模型，从模型到应用，从应用到历史”为主线来组织教学，为学生营造敢于质疑、善于思考、勤于动手、乐于探究的教学环境，让学生在知识“再创造”的过程中深刻理解数列的核心和本质.

2 教学设计与实施

2.1 从无序到有序

师：为何要将数字进行排列，如何排列，排列好后又将研究什么内容？请同学们拿出课前发给你们的压花标本，数一数花瓣的数量.

师：花瓣的数量看起来很随机，大家能不能找到这些数字的内在规律？

生：第一个数和第二个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数之和.

师：我们用an表示数列，首项是a1，第二项是a2，依次地，第n项记为an.请同学们写一写斐波那契数列的符号表示.

生：a1=a2=1，an+2=an+an+1， n∈N*.

花瓣的數量大致满足斐波那契数列的规律.在“花瓣的数量”这一情境中，设计数一数、找一找、说一说等环节，让学生动手、动脑、动口，自己发现规律，体会数学之美.

2.2 从有序到良序

师：数学在天文学中的应用有很多，数学公式可以简单而有效地揭示天体运行规律，例如开普勒三大定律、牛顿万有引力定律等.采用顺应式改造“提丢斯的发现”这一史料，设计数据处理、数据分析、数据预测等环节，引导学生修正误差数据，补全残缺数据，让学生像天文学家那样去思考，体会数列之奇，结合实例，归纳概括出数列的定义.

2.3 从良序到模型

师：同学们可以先举一些体育中的数列的例子.

生1：举办奥运会的年份.

生2：中国历届奥运会的金牌数.

无论从应用的，数学的，还是历史的角度来看，等差和等比数列都是最基础、最重要的数列模型.围绕等差数列、等比数列的概念，设计举例、分类、建模等环节，重构知识发生、发展的历史，通过师生互动、生生互动，从应用的、数学的、历史的三个角度突出等差数列和等比数列的重要地位，培养学生的数学抽象和数学建模素养，让学生体会参与之乐.

2.4 从模型到应用

考古队在考察埃及胡夫金字塔时发现，136.5米高的金字塔顶上竟然有蜗牛.考古人员尚且要借助复杂的机械才能登上塔顶，小小的蜗牛是如何爬上去的呢？后来，考古人员在金字塔坡面上陆续发现了多处蜗牛爬行的痕迹.渐渐地，人们开始相信即便是蜗牛也能凭借毅力登上金字塔顶.那么，一只蜗牛想要爬上金字塔顶到底需要多少时间呢？已知胡夫金字塔侧面的高度为178.5米，假设蜗牛沿着侧高爬行，在第一个小时内爬行了10米.

（1）若蜗牛每小时的爬行距离都比上一个小时减少0.2米，试问蜗牛能否爬上金字塔顶？若能爬上塔顶，大约需要多少时间？

（2）若蜗牛每小时的爬行距离都比上一个小时减少一半，试问蜗牛能否爬上金字塔顶？若能爬上塔顶，大约需要多少时间？

（3）若蜗牛在第n个小时内爬行的距离是最初爬行距离的1/n倍，试问蜗牛能否爬上金字塔顶？若能爬上塔顶，大约需要多少时间？

师：对于问题（1），可以先列举一下各小时内的爬行距离.

生：10，9.8，9.6，9.4，9.2，…

师：按照这一规律，第n个小时爬行了多少？

生：an=－0.2n+10.2.

师：我们称之为通项公式.前n个小时共爬行了多少距离？

生：Sn=10+9.8+9.6+9.4+9.2+…+（10.2－0.2n）.

师：上述和式怎么求？

师：我们还是从特殊情形入手，先求前10项的和.

生：S10=10+9.8+9.6+9.4+9.2+9+8.8+8.6+8.4+8.2

=10+5×9+4×8+2×（0.8+0.6+0.4+0.2），

其中0.8+0.2=0.6+0.4=1，所以最终结果是91.

师：10个小时爬了一半多，小小的蜗牛原来有这么大的潜力，请再思考一下，原式能不能直接配对求和.

生：因为10+8.2=9.8+8.4=9.6+8.6=9.4+8.8=9.2+9=18.2，所以可以用首项加尾项乘以项数除以2得到结果.

师：推广到一般情形下呢？

生：也是如此，Sn=（10+10.2－0.2n）×n/2=（10.1－0.1n）n.

师：蜗牛能否爬上金字塔顶？若能，大约需要多少时间？

生：S22=173.8，S23=179.4，爬上塔顶大约需要23个小时.

师：至此等差数列求和公式呼之欲出.后面我们将系统学习等差数列求和公式的推导及其应用.若将条件改为“蜗牛每小时的爬行距离都比上一个小时减少一半”，又如何呢？

生1：第一个小时10米，第二个小时5米，第三个小时2.5米，第四个小时1.25米，……

生2：……

师：大家各有各的道理，到底能不能登顶，要算过才知道.类比第（1）问的思考过程，请同学们写出前n个小时爬行的总距离.

师：数列1， 1/2， 1/3， 1/4， … ， 1/n，称为调和数列.随着n的增大，调和数列的项越来越小，它的前n项和慢慢增大.法国数学家Oresme首次证明：随着n的增大，Hn会趋近于无穷大.因此，如果不考虑蜗牛的寿命，它定能登上金字塔顶.比较1+1/2+1/22+1/23+…+1/2n－1=2－1/2n－1和1+1/2+1/3+1/4+…+1/n→+ω发现，尽管和式都在增大，结果却有着天壤之别，前式趋于定值，后式则趋于无穷大.“无穷”概念，让人产生无限遐想.历史上，古人在认识“无穷”的过程中，也经历了很多次认知冲突.（稍作停顿）几百年来，数学家们对调和数列做了很多研究，至今没有给出它的求和公式.如果你能推导出它的求和公式，那么你将成为下一个轰动世界的数学家.柔弱的蜗牛，有着大大的梦想，创造了生命的奇迹.只要敢想敢拼，持之以恒，一切皆有可能.

设计意图 围绕等差数列求和、等比数列求和、数列极限等知识，借助芝诺悖论、惠施命题、形数理论、调和级数等数学史料，设计了三个由易到难、由浅入深的问题，引导学生借助类比、不完全归纳、以形助数等方法分析和解决问题，培养学生的逻辑推理和数学运算素养，让学生体会思维之趣.

2.5 从应用到历史

教师引导学生回顾所学知识和方法，并按知识的内在逻辑完成思维导图.

最后，播放“数列的演变史”微视频，让学生了解数列经历了萌芽、发展、兴盛和完善四个阶段.萌芽阶段的主要成就是泥版和纸草书上的数列问题，发展阶段的主要成就是古希腊、古印度以及中国古代数学文献中的数列问题，兴盛阶段的主要成就是斐波那契《算盘全书》和阿拉伯数学文献中的数列问题，完善阶段的主要成就是文艺复兴以后西方数学文献中的数列知识.

3 教学反思

3.1 序言课要突出所序数学分支的最核心、最本质的思想

解析几何的核心思想是坐标化，立体几何的核心思想是公理化.数列的核心思想是什么呢？数列有着悠久的历史，最早可以追溯到远古时期，Ishango骨具上的刻痕就是最好的佐证.古人在记录猎物的数目、星星的数量时便产生了数的序列.数列的产生源于人类描述事物时间、空间亦或是内在顺序的需要，所以数列的核心思想是有序性.内容的选择、情境的设计应始终围绕这一核心思想展开.

3.2 遴选所序内容，区分知识等级是序言课教学成功的关键

在设计数列序言课时，困扰笔者的主要问题是：哪些知识要讲，哪些可以直接跳过；哪些知识需要细讲，哪些可以一笔带过.我们可以参考三个维度遴选所序内容：一是“教学维度”，主要侧重于与传统的按教材分节教学对照；二是“学生维度”，侧重于考量学生已有的认知基础和存在的困难；三是“历史维度”，侧重于数学史的启迪及它所提供的帮助.然后利用思维导图呈现所序内容，区分知识的不同等级.一级为核心概念，是二级概念的上位概念，将对其创设情境、开展活动；二级概念需介绍其大致内容，目的为烘托一级概念，并带出三级概念；三级概念只介绍其名称，与前两级概念形成完整的板块知识图谱.在实际课堂教学中，教师可以在推進教学流程的同时，逐步引导学生完成知识图谱，建构知识框架.

3.3 设计兼具趣味性、层次性、可探究性的问题情境至关重要

在小学及初中阶段，学生接触过很多数列的例子.例如：小学一年级的孩子要求能够按规律写数字，小学六年级的教材提供了斐波那契数列的阅读材料.学生储备的这些知识为序言课教学既带来了方便，也带来了挑战.在序言课教学中，若是简单地举一些例子，归纳概括出数列、等差数列、等比数列的概念，一节课下来学生感觉收获不大，似乎都是些小学初中的知识.因此，我们需要优化知识的呈现方式，将知识重新包装，为学生创设兼具趣味性、层次性、可探究性的问题情境，让学生在探究中，完成知识的“再创造”，在过程中，建构知识框架，在思辨中，发展数学核心素养.

4 结语

“良好的开端是成功的一半”.序言课能够帮助学生完成知识框架的初步建构，为后续学习做好知识、方法和心理准备.用奥苏贝尔的理论来说，序言课可以架构起已有知识和新知识之间的桥梁，起到先行组织者的作用.

参考文献：

[1]张海强.基于HPM的《三角学序言课》教学设计[J].数学通报，2018，57（8）：23-26.

[2]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[3]宋莉莉.数学史带给中学数学教科书编写的启示——以“数列”的编写为例[J].中学数学教学参考，2018（31）：9-11.

[4]李响，黄继红.“单元统整”背景下序言课教学设计的思考与实践——以沪教版“7.1数列”为例[J].数学教学，2021（06）：13-16.

[5]黄庆锋.数列单元序言课的教学设计及思考[J].上海中学数学，2019（Z1）：48-50+71.