多法并举解决一道图形变换问题

何宇豪　巴桑

【摘要】图形变换问题是初中数学中平面几何的重要内容，解决此类问题不仅需要学生能够有较好的图形想象能力，还要有较好的作图能力.同时因为其综合性，往往解题方法众多，但是学生却难以下手.本文以一道图形变换问题的典型例题为例，探究多种解法，以拓宽解题思路，供读者参考.

【关键词】初中数学；平面几何；图形变换

图形变换问题一般涉及平移、轴对称、旋转等变换，通过这些操作可以使图形中的已知条件与结论的关系能够清楚、充分地变现出来，从而将某些角或者线段进行位置上的变换，而不改变其大小.解决此类问题，图形的平移变换、对称变换、旋转变换是同学们应该掌握的解题技巧.

题目 如图1所示，以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC和△AEG面积之间的关系，并说明理由.

方法1 作三角形底边的高，利用面积公式直接证明.

解 如图2所示，过点C作CM⊥AB于点M，过点G作GN⊥EA交EA的延长线于点N，

则∠AMC=∠ANG= 90°.

因为四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，

所以∠BAE=∠CAG=90°，

AB=AE，AC=AG.

所以∠BAC+∠EAG=180°.

因為∠EAG+∠GAN=180°，

所以∠GAN=∠BAC，△ACM≌△AGN.

所以CM=GN.

因为S△ABC=1/2AB·CM，S△AEG=1/2AE·GN，

所以S△ABC=S△AEG.

评析 因为是与面积∽有关的三角形问题，所以可以从基础的三角形面积公式入手，作出三角形底边的高，从而将三角形的面积公式表示出来.同时，在过程中还可以利用所作图象的性质，如三角形全等来得到更多的条件，从而证明关系.

方法2 构造面积相等的三角形.

解 如图3所示，延长GA到点H，使AH=AG，连接EH，

则S△AEH=S△AEG.

因为∠CAG=90°，

所以∠CAH=90°，∠EAB=∠CAH，

∠EAH=∠CAB.

因为AB=AE，AC=AG=AH，

所以△AEH≌△ABC，

S△AEH=S△ABC.

所以S△ABC=S△AEG.

评析 构造面积相等的三角形是解决面积类图形变换问题的一大重要方法.将构造出的三角形的面积作为一个中间量，从而通过几何作图和全等或者相似三角形的判定条件得到此中间量与结论相关的两个三角形之间的关系，即可得到答案.

方法3 对三角形面积分割.

解 如图4所示，作△ABC的边BC上的高AN，分别过点E，G作EP⊥AN，

GQ⊥AN，垂足为P，Q.

因为∠CAG=90°，

所以∠1=180°-∠GAC-∠2=∠3.

因为AC=GA，

所以易证Rt△ACN≌Rt△GAQ，

所以AN=GQ.

同理可证

Rt△ABN≌Rt△EAP.

所以EP=AN，EP=GQ.

又因为∠EPM=∠GQM=90°，

∠EMP=∠GMQ，

所以易证Rt△EPM≌Rt△GQM.

所以S△ACN=S△GAQ，S△ABN=S△AEP.

所以S△ABC=S△CAN+S△ABN=S△GAQ+S△EAP

=S△GAQ+S△EPM+S△EAM

=S△GAQ+S△GQM+S△EAM=S△AEG，

所以S△ABC=S△AEG.

评析 对三角形的面积进行分割是解决图形变换类问题的又一重要方法.如果大三角形的面积不好表示，或者无法容易地找到与另一三角形之间的关系.可以通过将大三角形变为不同的小三角形来建立联系，从而得到问题的答案.在某些情况下，还可以通过补形的方式来证明.

结语

在求解一些不规则图形的面积时，常用到图形变换将不规则图形转化为简单的规则图形.所以在解答有关图形变换的问题时，也可以利用同样的思路，尝试通过对称，选择等方式将图形变为简单的、直观的规则图形，或是将条件变为易于求解的特殊情况，即可得到问题的答案.