对一道征解题解答的质疑与探究

王志国

文［1］中，作者给出了第2604号问题的解答.该问题形式优美，引起笔者的兴趣，也对此进行探究，并发现文［1］对于问题（2）的解答有误，并得到问题的一个结论及猜想，故此成文，与大家分享.

一、第2604号问题及原解答的呈现

为了说明原解答的错误，先将文［1］中的第2604号问题及其问题（2）的解答过程摘录如下：

题目已知a，b，c>0，且abc=1.

（1）证明1a+1b+1c+3a+b+c≥4；

（2）使不等式1a+1b+1c+λa+b+c≥3+λ3恒成立的正常数λ的最大值是多少？

解证：（2）由于abc=1，所以a，b，c必有不大于1者，不妨设0

记f（a）=1a+1b+1c+λa+b+c，t=1+b+c，则f（a）是减函数.

所以有f（a）≥1+1b+1c+λ1+b+c，当且仅当a=1取等号，此时bc=1，t=1+b+c=1+b+1b≥3，1+1b+1c=1+b+c=t.所以f（a）≥t+λt，而t+λt在t=λ时取最小值，所以，欲使t+λt在t=3时取小值，应有λ≤3，即λ≤9.而当λ>9时，λ>3，有t+λt≥2λ，从而f（a）≥2λ.

综上所述，使不等式1a+1b+1c+λa+b+c≥3+λ3恒成立的λ的最大值为9，当且仅当a=b=c=1时取到最大值；当λ>9时，不等式1a+1b+1c+λa+b+c≥2λ成立，取等号的充要条件是a=1，bc=1，b+c=λ－1.

二、对解答的质疑

上述解答所得的结论是错误的，显然当a=b=c=1时，1a+1b+1c+λa+b+c=3+λ3≥3+λ3必恒成立，此时λ∈R，λ没有最大值.

也可举反例验证：

①对于1a+1b+1c+λa+b+c≥3+λ3，取a=b=34，c=169，可得λ≤64980=8.1125，所以原結论是不对的.

②对于1a+1b+1c+λa+b+c≥2λ，取a=b=920，c=40081，λ=16，可得1a+1b+1c+λa+b+c=12576744117024400≈7.3875，而2λ=8，所以原结论也是不对的.

综上可知，问题（2）的解答有误！

此外，文［2］中的解题擂台（141）比问题2604的问题（2）更具一般性，已知a，b，c>0，且abc=1，λ是正常数，求1a+1b+1c+λa+b+c的最小值.

三、一个结论及证明

笔者对问题2604的问题（2）进行探究，得到一个结论：

结论已知a，b，c>0，且abc=1，则使不等式1a+1b+1c+λa+b+c≥3+λ3恒成立的正常数λ的最大值为λ0（其中λ0是方程16y3+567y2－3402y－18225=0的正实根，λ0≈8.1086）.

证明：由于abc=1，λ>0，于是1a=bc，1b=ca，1c=ab，从而1a+1b+1c+λa+b+c≥3+λ3可以写成ab+bc+ca+λa+b+c≥3+λ3，即λ（13－1a+b+c）≤ab+bc+ca－3.由均值不等式，有ab+bc+ca≥33（abc）2=3.

（1）若a=b=c=1时，则a+b+c=3，ab+bc+ca=3，因此不等式λ（13－1a+b+c）≤ab+bc+ca－3的左边恒为0，右边恒为0，所以不等式恒成立，故λ>0.

（2）若a，b，c不全相等，则a+b+c≥33abc=3，所以不等式λ（13－1a+b+c）≤ab+bc+ca－3可变为λ≤ab+bc+ca－313－1a+b+c.

令f（a，b，c）=ab+bc+ca－313－1a+b+c，不妨设0

于是f（a，b，c）=ab+bc+ca－313－1a+b+c=1c+cs－313－1c+s，令h（s）=1c+cs－313－1c+s，则h′（s）=3［c2s2+2（c－3）c2s+c4－3c3+9c－3］c（c+s－3）2，又设φ（s）=c2s2+2（c－3）c2s+c4－3c3+9c－3，则二次函数φ（s）中关于s的判别式Δ=－12（c－1）3c2≤0，从而φ（s）≥0，即得h′（s）≥0，故h（s）为递增函数，所以当a=b时，h（s）有最小值，此时c=1a2.所以h（s）=f（a，b，c）≥f（a，a，1a2）.记f（a，a，1a2）=a2+1a+1a－313－1a+a+1a2=3（a+2）（2a3+1）a（2a+1）=g（a），由于lima→+0g（a）=lima→+∞g（a）=+∞，且g（a）在（0，+∞）上是连续函数，g′（a）=6（a2+a+1）（4a3+3a2－3a－1）a2（2a+1）2.

若g（t）=g（a）min，则t是方程g′（a）=0的根，即是方程4a3+3a2－3a－1=0的根.

令y=g（t）=3（t+2）（2t3+1）t（2t+1），则有6t4+12t3－2yt2+（3－y）t+6=0，

4t3+3t2－3t－1=0. 于是8［6t4+12t3－2yt2+（3－y）t+6］－（12t+15）（4t3+3t2－3t－1）=0，即－（16y+9）t2+（81－8y）t+63=0，则有－（16y+9）t2+（81－8y）t+63=0，

4t3+3t2－3t－1=0.

于是（16y+9）2（4t3+3t2－3t－1）+（64yt+52y+351）［－（16y+9）t2+（81－8y）t+63］=0，即（－896y2+1656y+30456）t－256y2+720y+22032=0，化简得（112y2－207y－3807）t+32y2－90y－2754=0，则有－（16y+9）t2+（81－8y）t+63=0，

（112y2－207y－3807）t+32y2－90y－2754=0. 从而有－（16y+9）（－32y2+90y+2754112y2－207y－3807）2+（81－8y）（－32y2+90y+2754112y2－207y－3807）+63=0，化简得（16y+9）2（16y3+567y2－3402y－18225）（112y2－207y－3807）2=0.

于是g（a）min是方程16y3+567y2－3402y－18225=0的根，由三次方程的知识（或借助数学软件），可知此方程只有一个正实根y≈8.1086.从而可得y=g（t）=g（a）min≈8.1086，所以λ的最大值约为8.1086.

综合（1），（2），可知使不等式1a+1b+1c+λa+b+c≥3+λ3恒成立的正常數λ的最大值约为8.1086.

评注：由结论并结合擂题（141），可知当a，b，c>0，abc=1，且0<λ≤λ0（λ0≈8.1086）时，1a+1b+1c+λa+b+c的最小值为3+λ3.

四、一个猜想

在擂题（141）的条件下，当λ>λ0（λ0≈81086）时，1a+1b+1c+λa+b+c的最小值是多少？经探究，得到以下猜想：

猜想当a，b，c>0，abc=1，且λ>λ0（λ0≈8.1086）时，1a+1b+1c+λa+b+c的最小值为332（λ2+20λ－8－λ（λ－8）3）4.

该猜想在数学软件中验证是正确的，但还没有成熟的证明，期待大家的进一步讨论与解决.

最后给出几道类似的题目供大家作为练习之用：

题1已知a，b，c>0，已知abc=1.求1a+1b+1c+3a+b+c的最小值.（答案：4）

题2已知a，b，c>0，已知abc=1.求1a+1b+1c+6a+b+c的最小值.（答案：5）

题3已知a，b，c>0，已知abc=1.求1a+1b+1c+9a+b+c的最小值.（答案：15344）

参考文献

［1］ 杨先义.数学问题解答［J］.数学通报，2021，60（6）：64-65.

［2］ 于洪翔，卢尧，郭要红.关于一个条件对称不等式的研讨［J］.中学数学教学，2022（3）：78-79.