从三角形面积公式到正余弦定理和三角恒等式

黄婧文

本文将通过三角形的面积公式导出正余弦定理和三角恒等式，过程中并不需要其他新知识作为铺垫，不但能够将初中平面三角形和高中三角知识有效的衔接，也能使得后置的正余弦定理和三角恒等式更早更自然的进入学生视野，以便后期学生学习相关内容时能够有更深入的认识.

1.正弦定理

若给定ΔABC，∠A、∠B、∠C对边边长分别为a、b、c，则asinA=bsinB=csinC.

證明：由S△ABC=12b·csinA=12c·asinB=12a·bsinC，可得sinAa=sinBb=sinCc.

2.余弦定理

若给定ΔABC，∠A、∠B、∠C对边边长分别为a、b、c，则c2=a2+b2－2abcosC.

证明：如图1所示，不妨设C为三个角中的最大角，作∠ACD等于∠B，∠BCE等于∠A，则ΔABC相似于ΔACD和ΔCBE，那么ADAC=ACAB=DCCB，BEBC=BCBA=ECCA.

即ADb=bc=DCa，BEa=ac=ECb，

则AD=b2c，DC=abc，BE=a2c，EC=abc.

显然，SΔABC=SΔACD+SΔDCE+SΔECB，则S△ABC=12absinC=12b2cabcsinC+12abc·abcsin（π－2π－C）+12a2cabcsinC，

等式两边同乘以c212absinC，并用诱导公式可得c2=a2+b2－absin2CsinC=a2+b2－2abcosC.

3.三角恒等式

设α、β是两个角，则sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ.

下面仅证此公式，因为根据此公式和诱导公式可以推导出其他和角公式、差角公式.

证明：

如图2，设α、β是两个角，把α、β两个角的一边拼在一起，顶点为O，过点B作OB的垂线，交α另一边于B，交β另一边于C，则SΔAOC=SΔAOB+SΔBOC.

即12|OA|·|OC|sin（α+β）=12|OA||OB|sinα+12|OB|·|OC|sinβ.

而|OB|=|OA|cosα=|OC|cosβ，代入上式得|OA||OC|sin（α+β）=|OA|·|OC|cosβsinα+|OA|cosα|OC|sinβ.

等式两边同乘以1|OA|·|OC|得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

下面再举一例，直接从面积关系得出三角函数的和差化积公式.如图3所示，设α、β是两个角，把α、β两个角的一边拼在一起，顶点为O，作等腰ΔAOC，顶角∠O=α+β，OA=OC，OD⊥AC.显然SΔAOC=SΔAOB+SΔBOC=12OAOBsinα+12OBOCsinβ=12|OA||OB|（sinα+sinβ），

另一方面SΔAOC=12ACOD=122ADOD=ADOD=OAsinα+β2OBcos（α+β2－β）=OA·sinα+β2OBcos（α－β2），

则12OAOB（sinα+sinβ）=OAsinα+β2OBcos（α－β2），等式两边同乘以21OAOB，即得sinα+sinβ=2sinα+β2cosα－β2.

在诱导公式、正余弦和角、差角公式的基础上，其他诸如积化和差、和差化积、半角公式、万能公式等三角恒等式均可通过简单的代数运算和换角得到，亦可如上考虑其直观的面积证法.通过直观的三角形面积法来证明正余弦定理和三角恒等式，学生不仅能够更快的接触并熟悉和记忆这些公式，而且能够融汇贯通初高中的三角相关知识.