基于问题导向的深度学习案例实践与反思

赵庆准 冯莉琼

随着高中新课程改革的逐步推进，满堂灌的传统教学模式已经不再适用.但在实际教学中，很多教师的教学设计依旧比较随意、浅显、孤立，使得学生对新知识的学习浮于浅表，思维能力并未得到提升.以问题为中心，促进学生积极参与到学习中来，激发学生的学习兴趣，提高学生的知识迁移能力，引导学生走向深度学习，是促进学生数学思维的发展，提高核心素养与解决问题能力的关键所在.问题的设计要有计划性、要科学合理，既能激发学生学习的积极性，还能促进学生对知识的深度理解.在此，我们以“正弦函数、余弦函数的图象”一课为例，谈谈基于问题导向的深度学习案例的实践与反思.

一、课程内容与学情分析

1.教材内容分析

“正弦函数、余弦函数的图象”选自2019年人教版高中数学教材必修一第五章第四节.三角函数是基本初等函数里重要的一员，既有其他基本初等函数的共同特征，又具有自身性质（如周期性、对称性等）.三角函数既是刻画生活中周期现象问题的数学模型，又是后续学习三角函数性质的基础，在高中数学知识体系中具有承上启下的作用。

2.学情分析

本节课的主要内容是让学生学会用“五点（作图）法”刻画正弦、余弦函数的图象.学生在学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的图象与性质后，对利用“描点法”画函数图象、研究函数的一般思路已经有了进一步的认识;同时，基于对三角函数概念及诱导公式的学习，也从知识层面对本节课的学习做好了准备.但是，学生还可能在以下幾个方面存在困惑：

（1）学生对三角函数的定义与图象上任意一点之间的关系认识不到位，利用三角函数定义的几何意义绘制函数图象是一大难点，如怎样准确画出正弦函数图象上任意一点（x0，sinx0）等.

（2）学生对余弦函数图象与正弦函数图象之间的平移关系理解不到位，如作余弦函数图象时，不易联系诱导公式，利用图象变换得到余弦函数图象;画图缺乏流畅美，无法真正掌握“五点（作图）法”.

3.教学目标

（1）经历绘制正弦函数图象的过程，掌握绘制正弦函数图象的“五点（作图）法”;

（2）经历绘制余弦函数图象的过程，理解函数图象变换的思想;

（3）通过本节课的学习，体会数形结合思想，提升数学抽象、直观想象的核心素养与合作探究学习的能力.

4.教学重点及难点

（1）重点：正弦函数、余弦函数的图象.

（2）难点：如何得到正弦函数的图象.

二、教学过程与设计意图

课前教师让学生准备好本节课所需材料：塑料瓶、长方形白纸板、细线、细沙、支架.

活动1：小组合作完成该活动：请学生将塑料瓶的底部扎出一个小孔，使其成为一个漏斗，挂在架子上。这样一个简易的单摆就形成了（如图1所示）.在漏斗下方放一块白纸板，在纸板的中间画一条虚线代表坐标系的横轴.在漏斗中装入细沙并拉离平衡位置，让其自由摆动，同时匀速拉动白色纸板，在纸板上就会得到一条曲线.我们将这条曲线抽象出来，就可以得到如图2所示的图象，我们将它称之为“正弦曲线”或“余弦曲线”.

【设计意图】简谐运动实验的开展，对学生来说是一个比较新颖的探究过程，既可以让学生对正弦曲线、余弦曲线有直观形象的了解，激发学生探索新知的欲望，引出本节课的内容，还能加强学科之间的联系，让学生了解数学并不是“无用”的，数学来源于生活，服务于生活，提高学生的直观想象能力.

师：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，根据之前我们研究函数的思路，请同学们思考我们应该怎样研究三角函数？研究哪些问题？

生：研究一个新的函数，应从以下三个方面进行：函数的定义、函数的图象、函数的性质.

追问：（1）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？（2）绘制一个新函数图象的基本步骤是什么？

生：我们可以通过列表、描点、连线，先画出y=sinx在[0，2π]的图象，由诱导公式sin（α±2kπ）=sinα，cos（α±2kπ）=cosα可以发现，正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，最后通过平移得到y=sinx在整个定义域R上的图象.

【设计意图】教师提出问题，学生进行思考并回答，体现教师为主导，学生为主体的教育理念.

师：绘制正弦函数y=sinx的图象，我们需要精准地确定点的坐标，请同学们思考在[0，2π]上如何精准地刻画出任意一点T的坐标呢？

活动2：为解决“如何精准地刻画出任意一点T的坐标”这一问题，教师带领学生回顾三角函数的定义：在单位圆中，点T的横坐标x0实质就是指以OA为始边，以OB为终边的角，即[）][AOB]=x0，如图3所示.过点B向x轴作垂线，垂足为M，则线段MB的长即为|sinx0|，对于任意一个横坐标x0，其纵坐标我们可以用几何方法精准画出.

【设计意图】教师引导学生，根据正弦函数的定义确定一个点T（x0，sinx0）的位置，强化学生对点T（x0，sinx0）的理解，为后续刻画其他点做准备.这一环节以问题为导向，以活动任务为驱动，展开师生互动.这一环节的设计能帮助学生看到知识点之间的联系，引导学生对新知进行深度思考.

活动3：类比指数函数、对数函数图象的画法，如何画出函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象？

根据学生的完成情况，教师用几何画板展示上述两种绘图过程（多媒体展示，让学生欣赏作图过程，体会作图的精确性）.

【设计意图】本节课的重点是画正弦函数的图象，从抽象的概念到具体图象的形成，既培养了学生的动手操作能力，增强学生学习的主体意识，又促进了学生数学知识的建构与数学思想方法的形成，培养学生善于思考、乐于合作的良好学习习惯.通过课件演示，教师让学生直观感受正弦函数图象的形成过程，并让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合.

师生互动：教师引导学生观察图象.学生可以发现，在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0）五个点对正弦函数形状的确定起着关键性作用.在坐标系中描出这五个点，根据图象的走势，再用平滑的曲线将其连接起来即可得到函数图象.这种方法叫“五点（作图）法”.

【设计意图】教师通过引导学生观察图象，归纳得出“五点（作图）法”在画正弦函数图象中的作用.这是本节课的一大重点，也是后续画任意一个三角函数图象的基础.教师应重点强调三角函数的图象特征，培养学生的直观想象、数学抽象等核心素养.

师：根据函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，请同学们画出正弦函数y=sinx，x∈R的图象.

师生互动：学生画图，教师予以指导和点评.终边相同的角有相同的三角函数值，所以只要将函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象向左、右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx、x∈R的图象，让学生体会图象从部分到整体的变化过程，体会化复杂为简单的化归思想.

画出完整的图象以后，教师指出，正弦函数的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.

师：请同学们思考在研究完正弦函数图象后，如何研究余弦函数图象呢？

生：通过诱导公式cosx=sin（x+），可以实现两者之間的转化.

师：根据上述问题，思考正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象有什么关系？

生：根据诱导公式cosx=sin（x+），我们把正弦函数y=sinx的图象向左平移个单位以后，即可得到余弦函数y=cosx的图象.（教师用课件演示正弦曲线平移为余弦曲线的过程，如图4）

师：如图5，类比正弦函数图象的五个关键点，找出余弦函数y=cosx在区间[0，2π]上相应的五个关键点.

【设计意图】在学生熟悉图象特征后，教师引出余弦函数y=cosx在区间[0，2π]上相应的五个关键点：（0，1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，1），在精确度要求不太高时，只要画出这五个关键点，余弦函数的图象就基本确定了.

师：类似于用“五点（作图）法”画正弦函数的图象，你能找出余弦函数在区间[-π，π]上相应的五个关键点吗？可以画出y=cosx，x∈[-π，π]的简图吗？

【设计意图】通过正弦函数与余弦函数的相互关系，在类比的过程中，教师画出余弦函数的图象，引导学生体会数学知识间的联系和类比的数学思想.

追问：如何用“五点（作图）法”画出下列函数的简图？

（1）y=1+sinx，x∈[0，2π];

（2）y=-cosx，x∈[0，2π].

师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流.教师点评并给出规范的解答过程.

【设计意图】教师通过例题检验学生对“五点（作图）法”的掌握情况，巩固画图步骤.通过分析图象变换，教师深化学生对三角函数图象关系的理解，并为后续学习三角函数的性质作铺垫，培养学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养.

课堂小结：教师先让学生回忆本节课学习内容，让其自行总结归纳并回答，再补充完善.

【设计意图】对课堂知识和思想的总结，能加深学生对正弦函数、余弦函数的理解，提升学生的概括能力，养成学习-总结-学习的良好习惯，培养学生归纳总结和语言表达的能力，促使其自主构建知识体系.

作业布置：

（1）必做题：①课本34页练习1;②用“五点（作图）法”画出y=sin2x，x∈[0，π]的图象.

（2）思考题：用“五点（作图）法”画出y=sin（2x+），x∈[0，π]的图象并思考其可由y=sin2x，x∈[0，π]的图象如何变换而来？

【设计意图】作业的布置旨在增强学生对所学新知的迁移与应用.通过分层作业的布置，充分激发不同层次学生的潜能与积极性，促进学生的自主学习，注重学生的个体发展，使每个层次的学生都有所进步.

三、教学反思

1.以教学目标为指引，以问题为主线设计教学活动

整堂课以预设的学习目标为指引，以问题串的形式展开，小组合作探究完成具体的实践活动.学生在课堂上进行了深度思考、真正参与到课堂活动中来，无论是从思维层面，还是理论层面，都得到了提升，增强了分析问题和解决问题的能力，调动了学习的积极性和主动性.这堂课真正体现了“教师只是课堂活动的组织者和引导者，学生才是课堂的中心”这一基本理念.

2.以问题为导向，促进学生进行深度学习

通过以问题为导向的深度学习，学生才能真正进行深度思考与深度理解.在这个过程中，教师应强调学生的主体地位，要让学生学会主动学习.随着问题与活动的开展，教师应将学生的学习兴趣与自信心引到一个新的高度.精心设计的教学问题与实践活动，具有启发与指导作用.学生在学习的过程中，逐渐感受到数学的趣味性，体会数学研究的价值，从而提高学科核心素养.

为了促进学生进行深度学习，教师应当充分发挥学科特点，积极挖掘教材，精心设计教学问题.在教学实践中，教师可通过适当引导，唤起学生的已有认知，建立起新旧知识间的桥梁，从而使学生掌握知识的本质，在问题的解决中体会数学的价值，从而达到深度学习的要求.

【本文系2023年度曲靖市教育科学规划立项课题“基于深度学习的高中数学课堂教学策略研究”（课题编号：QJ2023YB26）的研究成果】