考查基本能力，重视核心素养

黄章海 汪帆

摘要：近几年的武汉中考试题板块之间相对保持稳定，适当创新，非常契合新课程标准理念.2023年的中考试题关注到了对学生基本能力的全面考查，充分重视数学核心素养的考查.本文中摘选了2023年中考试卷中的几道典型试题进行赏析.

关键词：基本能力;核心素养;试题赏析

1 考查理解能力，重视数学抽象

试题1  （试卷第10题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N＋12L－1，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（  ）.

A．266

B．270

C．271

D．285

赏析：本题是一道数形结合的找规律问题，有两种思考方法.如图1，直接根据题目的条件去求△ABO内部的格点个数.先求出直线OB和直线AB的解析式，然后依次取x=1，2，3，……，19，找到格点的个数分别为28，26，25，23，22，20，19，……，2，1，总个数為（1+4+……+28）+（2+5+……+26）=145+126=271.还有一种思考方法是从题目所给的皮克定理出发，先求出△ABO的面积是300，然后求出边界上的格点数为30+10+20=60，最后代入皮克定理即可得出△ABO内部的格点个数是271.作为选择题的压轴题，如果直接去求稍微有点难度，本题中介绍了皮克定理，命题人的本意是侧重于考查学生对“新定理”的理解能力，将寻求内部格点个数的问题抽象成皮克定理模型，转化为求较为简单的面积和边界上的格点个数问题.

2 考查几何变换，重视逻辑推理

试题2  （试卷第21题）如图2是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

（1）在图2（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°；

（2）在图2（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD.

赏析：本题是以正方形网格为背景，利用无刻度直尺完成作图的题.此题将旋转、翻折、平移这三大几何变换都考查到位，实现了几何变换考点的全覆盖.如第（1）问中涉及到旋转和翻折变换，第（2）问中暗含平移变换等.

本题不仅要求学生有较强的动手能力和空间想象能力，还需要有一定的几何逻辑推理能力.

如第（1）问中要画点G使∠GBE=45°，就可以通过等腰三角形“三线合一”的性质，将其转化为画EF的中点（如图3）.

第（2）问中要画点M关于BD的对称点N，可以根据正方形的轴对称性和翻折全等的几何推理去转化.画点H的方法较多，如果能利用所学的几何逻辑推理转化为平行会比较容易处理，图4中利用“A字形”相似可推导得BN∥MH，图5中利用构造平行四边形得到BM∥NH，再利用轴对称性可得四边形BNHM为菱形，从而∠BHM=∠MBD.

3 考查应用能力，重视数学建模

试题3  （试卷第22题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞行，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表1.

探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述，直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）.

问题解决：如图6，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题：

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.

赏析：本题是以学生比较感兴趣的航模飞行为背景，以一次函数和二次函数为载体的综合性应用题，是对学生实际应用能力的全面考查.“探究发现”直接考查用待定系数法求两个函数的解析式，问题解决的第（1）问是根据题意列出一元二次方程，并求解方程，再代入到一次函数中求出飞机落到安全线时飞行的水平距离；第（2）问则是将实际问题转化成不等式组来求解.本题全面考查了学生的读题、审题能力，要求能够在理解题意的基础上建立数学模型，并用所学的方程和函数以及不等式的相关知识解决实际生活中的问题.

4 考查主干知识，重视数学运算

试题4  （试卷第24题）抛物线C1：y＝x2－2x－8交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C.

（1）直接写出A，B，C三点的坐标.

（2）如图7（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴、线段BC、抛物线C1于D，E，F三点，连接CF．若△BDE与△CEF相似，求t的值.

（3）如图7（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点，直线y＝2x与抛物线C2交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P，问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由.

赏析：本题主要考查一次函数与二次函数的综合运用能力，所设计的三个问题将函数的核心主干知识都一一考查到位，涉及到解一元二次方程、简单的代数求值、利用相似比列方程求解、含字母参数的综合计算等，重视数学运算的考查.第（1）问考查解方程和代数求值；第（2）问利用分类讨论思想，通过“铅垂线”，将相似三角形的问题转化为线段之间的关系，然后列方程求解，如图8（1），8（2），这都是函数中常考的主干知识；第（3）问是含字母参数的运算，先求出点H的坐标（1，2），接着设点M的坐标为（m，m2），点N的坐标为（n，n2），通过直线MN经过点H，可得m+n=mn+2，然后表示出直线MO和直线GN的解析式，求得交点P为2nn－m+2，2m+2n－4n－m+2，最后确定点P所在直线为y=2x-2.

5 考查函数图象，重视直观想象

试题5  （试卷第14题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图9是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是.

赏析：本题主要考查一次函数图象的实际应用.它是一道关于行程问题的应用题，条件用古文和一次函數的图象来表达，既直观又简洁，相得益彰.本题解法众多，既可以用一次函数解析式来解决，设善行者行100步的时间为“单位1”，然后分别求出两个一次函数的解析式，再联立求出交点P的纵坐标；还可以利用方程组求解，设善行者走x步才能追上不善行者，此时不善行者走了y步，依据题意，可以列出方程组x－y=100，x=10060y，解得x=250，

图10

进而得到交点P的纵坐标为250；甚至也可以利用几何图形中的相似关系迅速得解，

如图10所示，由△PAB∽△PFO和△OBC∽△OPQ，可得60100－60=yP－100100，解得yP=250.这道题是数与形完美结合的典范.

6 考查统计知识，重视数据分析

试题6  （试卷第14题）某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如表2不完整的统计表及如图11的统计图：

请根据以上信息解答下列问题：

（1）A组数据的众数是.

（2）本次调查的样本容量是，B组所在扇形的圆心角的大小是.

（3）若该校有1 200名学生，估计该校学生劳动时间超过1 h的人数.

赏析：本题是一道数据分析与统计的综合性试题.2023年将统计方面的试题进行了整合，将求数据的众数放到了第19题中考查，整体分值减少了3分.本题以统计学生劳动时间为载体，以频数分布表和扇形统计图的形式，考查了众数、样本容量、扇形圆心角的度数、样本估计总体等基本常规考点.其实近几年中考中这些内容都保持了相对的稳定，难度不高，是对学生基础知识的考查.

一套好的中考试题应该能对数学教学起到较好的导向作用，既能全面考查初中阶段学生所需掌握的基础知识和基本能力，又能促使更多的学生参与数学思考，有利于不同层次的学生考出真实水平，最终以达到立意于能力、落实于素养的根本目的.