优化运算策略 培养运算能力

周玉宝 潘竹树

课题信息：教育部福建师范大学基础教育课程研究中心2023年度开放课题“新课程背景下初中数学课前教学质量评价研究”，课题编号为KCA2023340；福建省教育科学“十四五”规划2022年度课题“新课程背景下初中数学课堂教学质量评价研究”，课题编号为FJJKZX22-439.

摘要：挖掘图形特征是解几何题的关键，选择合理的运算策略，能够促进学生几何直观、抽象能力和推理能力的发展，是培养学生数学关键能力的重要途径.

关键词：运算能力；推理能力；关键能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：运算能力的内涵包括能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题，能够通过运算促进数学推理能力的发展［1］.数形结合优化解题策略，是培养学生运算求解能力这一数学关键能力的重要途径.

章建跃博士指出，用几何眼光观察，分析清楚几何图形的要素及有关几何关系，再用代数的语言来表达，在代数运算中时刻注意利用它们来简化运算，这就是解析几何运算的特点，是几何背景下的代数运算［2］.初中阶段数学虽然没有达到解析几何的高度，但是要为学生将来学习解析几何奠定基础.本文中以优化运算策略为例，阐述如何培养学生的数学关键能力.

1 典型几何案例

如图1，已知点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，1），直线BC平行于x轴交y轴于点C，点D在线段BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，求点D的坐标.

对于此题，根据题意，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AO－CO=3，BC=4，由勾股定理得，AB=32+42=5.

2 数形结合，优化运算策略求解几何问题

2.1 出现直角三角形，运用勾股定理

算法是一种经过压缩的一般化的解题程序；算法是有目标指向的，而且是高效的［3］.图形中出现直角三角形，利用勾股定理能解决问题.

如图2，设CD=a，点B关于直线AD的对称点为E，则DE=DB=4－a.因为CD2+CE2=DE2，即a2+22=（4－a）2，解得a=32，所以D32，1.

2.2 发现轴对称特征，运用相似三角形

轴对称图形中对称点的连线段被对称轴垂直平分，利用这一特征能够换一种思路解决问题.

如图3，连接BE，则BE⊥AD.因为∠1=∠2=90°，所以∠3=∠4，则∠3=∠5.因为△ACD∽△BCE，所以CDCE=ACBC，即CD2=34，

解得CD=32，故D32，1.

2.3 发现图形中的等角，利用三角函数

观察图形，发现在两个直角三角形中，存在相等的角.

如图3，在Rt△ACD和Rt△BCE中，因为∠3=∠4，tan∠3=CDAC，tan∠4=CEBC=24，所以CD3=24，即CD=32.故D32，1.

2.4 发现图形中存在高线，利用面积法

CD可以看作是Rt△ACD的高，从而联想到利用面积法解决问题.

如图4，易得∠1=∠2，即AD平分∠BAC.过点D作DG⊥AB于点G，则DG=CD.利用面积法，设CD=a，由S△ACD+S△ABD=S△ABC，得12×3a+12×5a=12×3×4，解得a=32.故D32，1.

通过运用不同的视角探索解题的途径、优化运算的过程来提升和发展学生的运算素养是我们在教学中需要着力解决的问题［2］.审视如上几何题，从多个角度进行运算，能够实现一题多解、多解归一，从中概括解决几何运算的一般路径，掌握几何运算的基本方法，通过挖掘图形的特征，优化解题策略.

3 优化运算策略，培养关键能力的几点思考

几何运算是一种工具，更是一种思维.运算是解决几何问题的基本工具.运算求解过程中，要求学生根据图形特征，挖掘图形中线段、角等元素之间的特殊关系，再通过这些元素之间特殊的位置、数量关系解决数学问题，从而提高分析问题、解决问题的能力.

3.1 用几何的眼光审视图形特征，优化运算策略

如果不注重数形结合，就很难让学生通过理解知识的本质去分析问题和解决问题［4］.

用几何的眼光审视数学问题，结合图形特征通常能优化运算策略.重视数形结合，从中识别出基本图形、基本模型，运用基本原理，实现一题多解、多题一解.作辅助线等方法，为解决更复杂的问题提供了思维的通道与路径.初中階段，几何运算常用的方法包括勾股定理、相似三角形、三角函数和面积法，数形结合能帮助学生优化运算策略.

3.2 用几何的眼光审视几何直观，培养抽象能力

几何直观和抽象能力相互依托，几何直观本质上是依托图形展开想象的抽象思维.学生以几何图形为介质，“学会”分析与综合、关系推理和质疑，提升了批判性思维；“学会”联系迁移、类比化归，搭建起从直观到抽象的桥梁，提升了创造性思维；“学会”主动反醒，优化策略，提升了元认识能力［5］.

数学思想方法的灵活运用，离不开学生熟练掌握数学基本知识与基本技能，实现数与形的转化，能够帮助学生积累数学基本活动经验.抽象能力的形成，离不开数学思想方法的渗透，如化归思想、分类讨论思想、整体思想和数形结合思想等.学生数学思想方法一旦形成，就意味学生的抽象能力得到了提升.

3.3 用几何的眼光审视运算求解，培养推理能力

数学运算的本质是数学推理，是“算”与“思”的有机统一.

推理能力的形成是一个螺旋上升的过程，为几何的运算求解提供了良好的媒介.静态几何学习，需要学生根据图形的特征，找出已知条件的联系进行解题，从而提升推理能力.动态几何的基本运动包括平移、轴对称和旋转，这些基本运动的特征比较复杂，需要学生从中挖掘出对应线段、对应角和对应点所连线段的特征，并准确应用这些特征解决问题，从而培养学生的推理能力.运算求解过程，有助于学生更深刻地理解几何的本质，拓展思维，在运算能力提升的同时实现思维品质的飞跃，学生的推理意识、推理能力日益得到发展.

4 结语

在初中数学教学过程中，培养学生的运算能力是评估教学质量的关键要素之一.为了提升这一能力，教师需将运算教学与课程内容深度融合，确保学生能够熟练掌握并应用基本的数学运算策略.通过优化运算策略，可以显著增强学生的数学运算能力，进而提升整体的数学教学效果.因此，教师应重视运算教学，不断关注和评估学生运算能力的发展，以优化教学方法，为学生营造一个更加高效和有利于数学学习的环境.

通过对几何元素的深入剖析，引导学生理解运算的对象和意义.通过对图形特征的挖掘，多角度分析问题，选择合理的运算策略解决问题.优化运算策略有利于学生理解数学学科本质，发展几何直观、抽象能力和推理能力，从而培养数学关键能力.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］刘国祥.用几何眼光观察问题 有效提升运算素养［J］.数学通报，2019（11）：52-55.

［3］鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之二：运算能力［J］.中国数学教育，2022（11）：3-8.

［4］丁杭缨.给学生一个立体的“数学”——例谈“数形结合”［J］.人民教育，2010（7）：39-42.

［5］潘竹树.借助几何直观 培养关键能力——以2022年中考几何直观试题为例［J］.中学数学月刊，2023（4）：66-69.