基于初中数学变式教学的研究

郭全生

［摘  要］ 文章从变式的概念、类型以及对变式教学的理解出发，以“三角形三边关系”的教学为例，具体从“课堂引入，激发兴趣”“自主探索，主动获取”“变式训练，深化理解”三个方面展开教学，着重讲述变式教学如何设计与实施，并从“横向变式，多角度理解知识本质”“纵向变式，多层次揭露知识属性”“正反变式，多维度完善认知结构”三个角度谈几点思考.

［关键词］ 变式教学；思维；结构

弗赖登塔尔提出：“再创造”是数学教育的核心，并一再强调“数学学习唯一正确的方法就是知识的再创造”［1］. 变式教学能引导学生自主发现并提出问题，让学生主动将所学的知识从实践中创造出来. 将变式教学应用在初中数学课堂教学中，不仅能起到“减负增效”的教学成效，还能从一定意义上促进学生思维的发展，为核心素养的形成奠定基础.

变式概述

变式教学的意图在于带领学生从多层次、多视角与多维度来理解教学内容、提炼数学思想方法、丰富并建构知识的表象、完善学生的认知结构，为形成良好的数学体系奠定基础. 究竟什么是变式呢？

（一）变式的概念

变式是指改变同一类事物的非本质表现形式与特征，让观察者从新的角度去观察与分析事物的本质，以凸显事物本质特征的一种方法，学习者常在变式中思维. 从心理学的角度出发，数学变式就是从不同的层面、维度与角度来改变数学事物的条件与结论（非本质属性），以揭露事物本质的过程.

换一个角度理解，我们也可以将数学变式理解为一种范式，即对数学教材中所呈现的典型问题、具体知识或思维模式的变形，通过对问题情境、条件、结论等的变换，更改学生思维的角度，整个过程保持事物本质不变. 也就是当数学事物的非本质属性不断发生变化、迁移，其本质属性依然不发生任何变化.

（二）变式的类型

数学变式教学主要存在于如下两类活动中：①陈述性知识的教学，如概念类；②程序性知识教学（过程性教学）.

第一种陈述性教学属于静态的教学模式，第二种程序性教学属于动态的教学模式. 将静止的概念性的变式教学模式应用到程序性知识教学中，无法推进教学发展，因此对这两类教学模式教师应辨别清楚. 不过人们在应用的过程中发现了过程性变式，也就是说变式存在概念性变式与过程性变式两大类.

概念性变式一般是指借助概念与非概念的变式来揭露数学概念的内涵与外延，让学生从多个角度对概念产生深刻理解，从而建构完整的概念体系；过程性变式以变式的方式来凸显数学知识的发生、发展过程，让学生对数学知识的来龙去脉产生深刻理解，形成完整的知识网络.

（三）变式教学

所谓变式教学是指通过对数学概念的非本质属性的更换、对典型例题中条件与结论的变换、对问题形式或内容的变化等，教师应有计划、有目的地带领学生从各种形式的“变换”中发现其恒定“不变”的本质，并从这种不变的本质中探索出可以产生变化规律的教学过程.

新课标背景下的变式教学，应将目光锁定在“变”字上，引导学生明确“变”的价值与精髓，搞清楚“为什么要变”“变的意义是什么”“应该往哪里变”等，如此则能从真正意义上发展学生的“四基”与“四能”，提升学生的“三会”能力.

教学过程设计

加里宁认为，数学是思维的体操. 数学解题的起源、认识与理解等方面蕴含着严谨的推理过程，因此解题属于一项智力活动，需要通过对一个个问题的解决达成目标. 在此，笔者以“三角形三边关系”的教学为例，来说明应用变式教学激活学生思维的具体方法，让学生体验“数学地思维”带来的乐趣.

（一）课前分析

本节课教学的重点与难点在于如何推理三角形三边关系，此过程不仅需要學生明确三角形三边关系的大小，还要学生判断组成一个三角形三边应具备怎样的标准.

教学经验告诉我们，学生在本章节容易出现的问题有以下几类：①按照边对三角形分类时，不少学生容易将等边三角形与等腰三角形划分成两大类，导致解题出现失误；②在利用三角形三边关系的定理解决实际问题时，有些学生对于“两边之和大于第三边”的理解不够透彻，解题中出现以偏概全的现象；③解题过程中的分类讨论也是学生的难点之一.

（二）教学过程

1. 课堂引入，激发兴趣

课堂起始阶段，要求学生根据教师所提供的导学案阅读教材，并思考教师所设计的问题，让学生从根本上理解“什么是按照边分类”，确保分类过程不重复、不遗漏，着重强化等边三角形属于等腰三角形的特例，从属于等腰三角形.

阅读指导时，引导学生从定义出发提出自己的疑虑，对于教材所提供的文字、符号与图形语言要做到“一一对应”的理解，将抽象的数学语言内化成自身的理解，提高学生的自主学习能力与数学语言水平，为接下来的变式教学夯实理论基础.

2. 自主探索，主动获取

要求基础较好的学生将之前学过的与三角形三边关系定理相关的公理与证明说一说，以勾起全体学生的回忆，让学生从原有的认知信息库中提取这部分知识，为本节课的学习奠定基础.

从定理的理解中获得“判断三条线段构建三角形的方法具体有哪些”后，学生很快就能得到相应的“推论”，此刻则能顺理成章地实施推论的探索与研究.

3. 变式训练，深化理解

适当的例题教学与课堂小练能深化学生对定理及推论的理解，让学生从中体会到数学的魅力. 尤其是变式的应用，能引导学生从不同的角度去思维与分析问题，训练学生思维的敏捷度、灵活性、发散性与深度等. 在此过程中，教师需适当地提出：本节课涉及的定理与推论不仅为“三条线段”能否构建成一个三角形提供依据，还为后续“字母取值”问题的研究做铺垫.

例题已知△ABC为等腰三角形，其中AB=AC=5，BC=6，求该三角形的周长.

對初中学生而言，这道题的起点相当低，学生很快就能给出“周长为16”的结论. 此问仅仅作为教学的门槛，让所有学生都能够开开心心地迈进来. 接下来，教师则将主动权交给学生，要求学生变更概念非本质特征，提出相应的变式.

变式1已知△ABC为等腰三角形，其中腰AB=5，周长为16，求底边BC的长度.

师：如果将问题中的腰长与底边长进行置换，可以获得怎样的变式？

变式2已知△ABC为等腰三角形，其中一条边的长为5，还有一条边的长为6，求△ABC的周长.

此变式看似简单，实则将问题变得复杂了很多，此时若不加思考地直接给出“周长为16”的结论，显然回答是不够完整的. 一些思维比较灵活的学生很快就反应过来，此题存在两种情况，即腰分别为5或者6，那么周长存在两种情况：16或17.

变式3已知△ABC为等腰三角形，其中两条边的边长分别为5和16，求该三角形的周长.

随着变式3的落地，不少学生马上联想到变式2中存在两种情况，思量着本题和上一题只有一个数据的差别，或许处理问题的方法也类似. 若这么想，则掉入了本题的“坑”里，从三角形三边关系来看，本题只能存在一种情况，即腰长为16.

巡视发现，大部分学生在解决这个变式时思考得比较周全，教师充分肯定了学生的思维，并趁热打铁，要求学生尝试转变问题的内容与形式，看看能获得怎样的变式并解决之.

在教师的肯定与鼓励下，学生很快又提供了新的变式：

变式4已知△ABC为等腰三角形，其中腰的长度为x，则底边的长y的取值范围是多少？

观察这个变式，可见学生的思维越来越深刻，此时的问题已经转化成稍有难度的函数关系问题，拓展问题的外延，解题难度自然增加，对学生的思维要求也越来越高. 基于以上变式，结合已有的知识结构，学生亦能独立解决本题. 为了进一步彰显变式教学的作用，激活学生的思维，让课堂充满智慧与活力，教师提出如下变式：

变式5已知△ABC是一个腰长为x，底边长为y，周长为16的等腰三角形，尝试写出x，y的函数关系式，并在平面直角坐标系内画出此函数图象.

原本很简单的一个问题，通过几个变式的应用，直指初中阶段重要的教学内容——函数，并要求学生将问题与平面直角坐标系关联思考，使得数形结合思想得以进一步强化.

纵观整个教学过程，学生在教师的引导与点拨下，主动地参与教学活动，开动脑筋、积极探索与交流，并在跌宕起伏的氛围中逐步深化对问题的理解与认识. 学生的思维随着变式的发展而逐渐深刻、通透，学生也在愉悦的教学氛围中有效发展学习能力.

几点思考

（一）横向变式，多角度理解知识本质

数学学科具有系统性特征，想要把握它的结构，就要分辨它与其他事物是如何关联的. 想让学生从真正意义上理解并掌握知识本质，就需要带领学生从诸多关联性的元素中实施意义建构. 横向变式就是在具有典型特征或类型的基础上，改变问题的外在形式，但本质却不发生变化. 简而言之，学生要从不同角度对材料进行类比分析，以更好地理解知识的内涵.

当然，横向变式的问题可以源自教师设计的问题、课堂生成的问题、学生提出的问题等. 本节课在变式教学环节的初始阶段，教师明确要求学生“变更概念非本质特征，提出相应的变式”. 学生的思维局限于这个条件，所提出的变式符合教学要求，学生也从中体验到自主变式、探索与解题带来的乐趣. 随着变式问题的解决，学生对“三角形三边关系”的本质有了更深层次的理解.

（二）纵向变式，多层次揭露知识属性

不同形式的材料或问题能进一步阐明知识的本质属性，改变知识的非本质特征可凸显其本质特征，让学生深层次理解知识的内涵. 皮亚杰提出，所有的数学知识都可以从结构建立的角度来考虑，这种建构是开放的，可以通过“更强的结构”来结构化它［2］.

初中数学教学中，结构化的元素关联一般体现在知识结构的形成与发展的基础上，对教学内容进行重组与分析，通过对其表征形式的变化，促使知识的纵向关联，为意义建构奠定基础. 本节课的变式教学，在教师循循善诱的引导与启发下，学生的思维随着问题的难度拾级而上，不仅从多层次揭露了“三角形三边关系”定理的属性，还进一步加强了学生对知识结构的认识.

（三）正反变式，多维度完善认知结构

奥苏贝尔认为，当学材存在逻辑意义，且学生具备相应的知识基础，那么这一类学材对学生而言就具有潜在意义. 当我们为学生提供的学材具有一定的结构性与逻辑意义，且与学生的认知水平相匹配时，那么学生的认知便能跟学材形成连结，让学生由内而外地理解知识的内涵.

正反变式是指正例变式与反例变式两类，当学生较好地掌握了某个知识点后，教师可通过正反变式来强化学生的认知，让学生在“由反得正”中进一步巩固、深化知识结构.

总之，不论是纵向、横向，还是正反变式教学，其目的都是为了让学生通过不同的视角来分析问题，对知识形成全方位的认识，实现知识的“再建构”. 事实告诉我们，变式教学不仅利于学生对知识的自主建构，让学生更好地理解知识的本质与内涵，还能促进学生数学思维能力的螺旋式上升，从真正意义上发展学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学［M］. 陈昌平，唐瑞芬，译. 上海：上海教育出版社，1995.

［2］皮亚杰. 结构主义［M］. 倪连生，王琳，译. 北京：商务印书馆，2011.