2024年新高考数学模拟卷（三）

李春林

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章編号：1008-0333（2024）07-0096-10

（河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西）

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

A.［-1，+∞） B.R

C.（-3，+∞）D.（-∞，-5］∪［-1，+∞）

3．为了解某班学生数学学习的情况，连续进行了六次考试，甲同学与乙同学的考试成绩情况见表1，则以下叙述正确的是（  ）.

A.甲同学成绩的极差低于乙同学成绩的极差

B.甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩

C.甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为122

D.甲同学成绩的波动幅度低于乙同学成绩的波动幅度

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，顶点为O，点M（x0，y0）在抛物线C上，若|MF|=3，则下列选项正确的是（  ）.

A.x0=2

B.以MF为直径的圆与y轴相切

11．已知函数f（x）=x（ex+1），g（x）=（x+1）·lnx，则（  ）.

A.函数f（x）在R上无极值点

B.函数g（x）在（0，+∞）上存在极值点

C.若f（1）=e，则x=1为f（x）的极值点

D.若f（1）

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

14．如图2，三棱锥S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：

①异面直线SB与AC所成的角为90°

②直线SB⊥平面ABC

③平面SBC⊥平面SAC

其中正确结论的序号是.

15．设点P为直线2x+y-2=0上的点，过点P作圆C：x2+y2+2x+2y-2=0的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a=2，b=3c．

（2）若sinB+sinC=1，求△ABC的周长．

18．设数列an的前n项和为

Sn，若a1=1，Sn=an+1-1．

（1）求证：an是等比数列，并求数列an的通项公式；

19．近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况见表2：（单位：人）

（1）根据表中数据并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？

（2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.

（1）求点B到平面PAC的距离；

（2）设点E为线段PB的中点，求二面角A-CE-B的正弦值.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若M，N是C上异于A的任意两点，且△AMN的垂心为H，试问：点H是否在定曲线上？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．

（2）若函数g（x）=f（x）-ax在（0，π）上有且仅有一个零点，求a的取值范围．

参考答案

2．A=（-∞，0）∪（0，+∞），B=（-3，+∞），所以A∪B=R.

故选B.

3．对于选项A，甲同学成绩的极差为136-

104=32，乙同学成绩的极差为132-116=16，所以甲同学成绩的极差高于乙同学成绩的极差，所以A错误；

对于选项B，甲同学的平均成绩为

乙同学的平均成绩为

所以甲同学的平均成绩低于乙同学的平均成绩，所以B错误；

对于选项D，可以观察出甲同学成绩的波动幅度高于乙同学成绩的波动幅度，所以D错误．

故选C.

7．因为sinαtanα=cosα-5sinα，

化简并整理，得cos2α-sin2α=5sinαcosα.

又因为cos2α-sin2α=cos2α，2sinαcosα=sin2α，

8．由题意得

又显然SO⊥AC，可得SO=2.

所以SE+CE的最小值即为S1C.

10．依题意，抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1.

对于A，由MF=x0+1=3，得x0=2，A正确；

11．对于A，f（x）定义域为R，f ′（x）=ex+1+xex=（x+1）ex+1，令m（x）=f ′（x），则m′（x）=（x+2）ex.所以当x∈（-∞，-2）时，m′（x）<0；当x∈（-2，+∞）时，m′（x）>0.

即f ′（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上单调递增.

所以g′（x）≥g′（1）=2>0.所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点，B错误；

调递减.

对于D，若f（x1）=g（x2）=t（t>0），则

x1（ex1+1）=（x2+1）lnx2=t.

因为f（0）=0，g（1）=0，t>0，由AB知：f（x），g（x）均为定义域上的增函数，所以x1>0，x2>1.

由x1（ex1+1）=（x2+1）lnx2，得

x1（ex1+1）=（ex1+1）lnex1=（x2+1）lnx2.

所以x2=ex1，

令k=x1（ex1+1），则k>0.

所以当k∈（0，e）时，p′（k）>0；当k∈（e，+∞）时，p′（k）<0.

所以h（x）≥h（1）=e-f（1）.

故x=2为f（x）的极值点，B正确；

若f（1）=e，则h（x）≥0，即f ′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=1不是f（x）的极值点，C错误；

若f（1）0，即f ′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，D正确.故选ABD

如图7，取AB中点D，连接CD，由AC=BC，得

所以正确结论的序号是①②③.

因为S四边形PACB=2S△PCA，AC⊥AP，

所以S四边形PACB=AC·AP=2AP.

所以当CP为圆心C到直线2x+y-2=0的距离时，即直线CP与直线2x+y-2=0垂直时，AP取得最小值.

所以以CP为直径的圆的方程为

即直线AB方程为2x+y-1=0.

因为函数f（x）在区间（0，π）上恰有两个零点，

即b2+c2-bc=4.

（2）因为b=3c，所以sinB=3sinC.

18．（1）因为a1=1，Sn=an+1-1，

所以S1=a2-1，解得a2=2.

当n≥2时，Sn-1=an-1，所以

an=Sn-Sn-1=an+1-an.

19．（1）零假设：H0：喜欢跳舞与性别无关联.

由题意，得

依据小概率值α=0.05的独立性检验，可推断H0不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联.

所以X的分布列见表3：

所以BC2+PC2=PB2，故BC⊥PC.

故点B到平面PAC的距离为2.

取y1=1，则z1=-1，m=（0，1，-1）.

设平面BCE的法向量为n=（x2，y2，z2），

取x2=2，则z2=1，n=（2，0，1）.

记二面角A-CE-B的大小为θ，则

21.（1）由题意，双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，所以点A（1，0）到渐近线的距离为

解得a=b=1.

即C的标准方程为x2-y2=1.

（2）情形1：M，N中没有一点为（-1，0），且直线MN的斜率存在，如图9，

化简，得x2-y2=1.

即点H在定曲线x2-y2=1上.

若MN斜率不存在，则M，N两点关于x轴对称，即x1=x2，y1=-y2，如图10.

所以（x2-1）（x0-x1）-y1y2=0.

联立 x1=x2，y1=-y2，x21-y21=1，（x2-1）（x0-x1）-y1y2=0， 解得 （x0+1）（x1-1）=0.

因为x1≠1，所以x0=-1.

所以H（-1，0）在定曲x2-y2=1线上.

情形2：M，N中有一点即（-1，0），设H（x0，y0），不妨M（-1，0），设N（x1，y1），过点N作AM的垂线，则点H在该垂线上，如图11.

综上，曲线C的方程为x2-y2=1，点H总在曲线x2-y2=1上.

即4x+π2y-π2-4π=0．

令函数φ（x）=xcosx-sinx，则φ′（x）=-xsinx<0在（0，π）上恒成立.

則φ（x）在（0，π）上单调递减．

故当x∈（0，π）时，φ（x）<φ（0）=0.

从而h′（x）<0在（0，π）上恒成立，则h（x）在（0，π）上单调递减．

所以存在x∈（x0，π），使得h（x）=0.

又因为h（x）在（0，π）上单调递减，所以零点是唯一的，即g（x）在（0，π）上有且仅有一个零点.