2023年新课标高考全国Ⅱ卷21题探析

摘 要：圆锥曲线中的定直线问题较为复杂，且运算量较大，文章从2023年的一道高考题入手，对这一问题再研究.

关键词：圆锥曲线；过定直线；高考题

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0015-05

圆锥曲线综合题中的定直线问题较为复杂，其解题方法也是多种多样.求动点坐标证明动点在定直线上，运算量较大，属于一类难度较大的问题. 本文从2023年的一道高考题入手，对这一问题再研究.

1 试题再现

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点-4，0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.

这是一道直线与圆锥曲线综合题，考查了计算能力、转化能力和综合应用能力，考查了数学抽象、数学推理、数学运算等核心素养.（1）由题意求得a，b的值即可确定双曲线方程；（2）双曲线方程中的定直线问题，根据设而不求的思想， 可用韦达定理法、非对称结构韦达定理转化法、点乘双根法、定比点差法、交轨法探析.

2 追根溯源

以极点与极线理论为背景，如果把点P作为该双曲线的极点，那么它对应的极线必然过-4，0，根据极点极线的对偶性质，极线共点，则极点必共线，故点P必在一条定直线上，这条直线即点-4，0的极线x=-1.

3 解法探析

下面对（2）进行解法探析.

解法1 （ 韦达定理法）由（1）可得

A1-2，0，A22，0，设Mx1，y1，Nx2，y2，则

x1<-2且x2<-2.

显然直线的斜率不为0.

所以设直线MN的方程为

4m2-1y2-32my+48=0，

且△=64（4m2+3）>0.

即xP=-1.

据此可得点P在定直线x=-1上运动.

评注 联立直线方程与圆锥曲线方程，得到一元二次方程，利用根与系数的关系同位置关系相结合来求解，是通解通法［1］.

解法2 （非对称结构韦达定理转化法）由（1）可得A1-2，0，A22，0.

设Mx1，y1，Nx2，y2，则

x1<-2且x2<-2.

显然直线的斜率不为0.

所以设直线MN的方程为

4m2-1y2-32my+48=0，

且△=64（4m2+3）>0.

所以2my1y2=3（y1+y2）.

即xP=-1.

據此可得点P在定直线x=-1上运动.

评注 遇到非对称结构表达式时，可以通过x1+x2，x1x2整体关系，得出x1x2=λx1+x2+μ，和积转换成对称结构的形式，应用韦达定理处理 .本题亦可由

解法3 （点乘双根法）由（1）可得A1-2，0，A22，0，设Mx1，y1，Nx2，y2，则

x1<-2且x2<-2.

两边平方，得

即xP=-1.

若过点-4，0的直线的斜率存在，不妨设直线MN的方程为y=kx+4，

4-k2x2-8k2x-16k2-16=0.

因为x1，x2是方程4-k2x2-8k2x-16k2-16=0的两个根，

所以4-k2x2-8k2x-16k2-16=4-k2（x1-x）（x2-x）.（*）

在（*）式中令x=-2，得

4-k24+16k2-16k2-16=4-k2（x1+2）·（x2+2）.

即-4k2=4-k2（x1+2）（x2+2）.

在（*）式中令x=2，得

4-k24-16k2-16k2-16=4-k2（x1-2）·（x2-2）.

即-36k2=4-k2（x1-2）（x2-2）.

可得x=-1.

即xP=-1.

据此可得点P在定直线x=-1上运动.

二次函数的双根式y=ax2+bx+c=a（x-x1）·（x-x2），通过双根式来解决解析几何中涉及（x-x1）（x-x2）的问题，可以减少计算量［2］.

即x1+λx2=-4（1+λ），y1+λy2=0.

因为M，N在双曲线上，

两式相减，得

所以-x1-λx2=1-λ.

又x1+λx2=-4（1+λ），

所以x=-1.

即xP=-1.

据此可得点P在定直线x=-1上运动.

解法5 （交轨法）由（1）可得A1-2，0，A22，0，设Mx1，y1，Nx2，y2，T-4，0 ，则

x1<-2且x2<-2.

直线MA1的方程为x=my-2，

直线NA2的方程为x=ny+2，

4m2-1y2-16my=0.

显然4m2-1≠0，

4n2-1y2+16my=0.

显然4n2-1≠0，

由题意，M，T，N三点共线.

当MN⊥x轴时，A1A2=2A1T，所以A1是△A2MN的重心，从而P是线段A2N的中点，P的横坐标为-1.

当MN不垂直x轴时，kMN=kMT，即

即（4m2-1）（3m+n）=0.

所以3m+n=0.

由x=my-2，x=ny+2，得

3x+x=（3m+n）y-4.

所以x=-1.

即xP=-1.

据此可得点P在定直线x=-1上运动.

评注 求两条直线交点的轨迹常用交轨法，先写出两条直线的方程，然后寻求它们之间的关系.

4 结束语

圆锥曲线综合问题是考查学生数学运算能力的有效载体，充分考查了学生灵活应用代数方法解决几何问题的能力.纵观2023年Ⅱ卷的解析几何试题，运算量比较大，而且直线MA1，NA2的交点P的横坐标表达式形式不对称，直接代入计算将无法求解，需要对根与系数关系进行局部转换，构造对称的形式进行化简求解.由于解析几何解答题综合性强，代数推理要求高，解题过程中复杂冗长的运算不可避免，在复习备考中，要引导学生关注代数的本质———结构特征，多想少算，培养学生严谨、耐心细致的运算习惯，从而提高运算求解能力，发展数学运算素养.

参考文献：

［1］胡贵平.点乘双根法解决一类直线与圆锥曲线相交弦问题［J］.数理化解题研究，2019（31）：2-4.

[2] 胡贵平.例谈圆锥曲线中的定比点差法［J］.数理化学习，2022（05）：22-24.