浅谈2023年新高考全国Ⅰ卷第21题的教学启示

作者简介：宋桃富（1986～），男，汉族，广东梅州人，广东省佛山市顺德区乐从中学，中学一级教师，研究方向：高中数学。

摘  要：文章对2023年新高考全国Ⅰ卷的第21题进行探究，分析了试题的背景探究和试题变式，并对试题进行溯源，梳理了同一知识点衍生出的模拟题，最后给出了一些教学建议。

关键词：概率；马尔可夫链；命题背景；溯源；教学启示

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1673-8918（2024）12-0009-04

一、 试题呈现与解法探究

试题（2023年新高考全国Ⅰ卷第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8。由抽签确定第1次投篮的人選，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5。

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且 P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，则 E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi。记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）。

本试题是概率统计问题，以投篮的现实生活情境为背景，并与数列递推关系相结合，考查了积事件概率、全概率公式、数列构造、数列分组求和、等比数列的通项及等比数列求和、随机变量求期望等。关键能力的考查，主要有数学建模、数学运算能力和逻辑推理能力。试题的思维过程和运算过程均体现了能力立意的思想，很好地考查了概率统计的核心内容和基本思想方法，与数列知识点相结合，体现了综合性和应用性。本题对考生运用数学知识，寻找合理的解题策略以及推理论证和运算能力有较高的要求。

解析：（1）记“第i次投篮的人是甲”“第i次投篮的人是乙”为事件Ai、Bi，则P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2｜A1）+P（B1）P（B2｜B1）=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6。

（2）设P（Ai）=pi，依题可知，P（Bi）=1-pi，则P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）P（Ai+1｜Ai）+P（Bi）P（Ai+1｜Bi），

所以，pi+1=0.6pi+（1-0.8）×（1-pi）=0.4pi+0.2，

构造数列｛pi+λ｝，设pi+1+λ=25（pi+λ），解得λ=-13，则pi+1-13=25pi-13，

又p1=12，p1-13=16，所以pi-13是首项为16，公比为25的等比数列，

即pi-13=16×25i-1，pi=16×25i-1+13。

（3）若第i次是甲投篮则记Yi=1，第i次是乙投篮则记Yi=0，则Yi服从两点分布，且

P（Yi=1）=1-P（Yi=0）=Pi，

则E（Y）=E∑ni=1Yi=∑ni=1qi，因为pi=16×25i-1+13，i=1，2，…，n，

所以当n∈N*时，E（Y）=p1+p2+…+pn=16×1-25n1-25+n3=5181-25n+n3，

又因为当n=0时，E（Y）=0，也满足上式，

所以，E（Y）=5181-25n+n3。n∈N

解法分析：本题第（1）问直接考查全概率公式，将投篮情境转化为数学必备知识和符号的表达是问题（1）的难点。第（2）问切入点是根据题意找到“第i次投篮的人是甲”的概率递推式，然后应用数列构造方法求解。第（3）问根据题设条件Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，则E∑ni=1Xi=∑ni=1qi，直接代入转化为数列求和。

二、 试题的背景探析

本题的知识背景是随机过程的马尔可夫链（Markov Chain），马尔可夫链是俄国数学家安德烈·马尔可夫提出的一个用数学方法来解释自然变化的一般规律模型。马尔可夫链为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆性”，即下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。假设我们的序列状态是…Xi-1，Xi-1，Xi，Xi+1…，那么在i+1时刻的状态Xi+1的条件概率仅依赖于前一刻的状态Xi，即：P（Xi+1｜…Xi-1，Xi-1，Xi）=P（Xi+1｜Xi），由于某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态，所以解决问题时我们只需求出系统中任意两个状态之间的转换概率，这样马尔可夫链的模型就可以确定下来。

试题中“第i次投篮的人是甲”的概率pi，则“第i次投篮的人是乙”为1-pi，第i次投篮的人命中与否的状态决定第i+1次投篮的人是甲还是乙。这本质上表达了马尔可夫链的传递规律，从pi传递到pi+1，以此类推。这个传递的关系式由全概率公式可得，从而得到递推关系，结合数列知识可以解决问题（2），试题设计以具体的生活情境为背景，重视对现实问题的解决。马尔可夫链是概率论中重要的一类问题，应用非常广泛，教师在平时教学中要引起重视。

三、 试题变式及模拟题探究

变式1：把问题（2）中“求第i次投篮的人是甲的概率”改为“比较第i次投篮的人是甲的概率大还是乙的概率大，并说明理由。”

变式2：把题设“甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8”改为“甲每次投篮的命中率均为α，乙每次投篮的命中率均为β”，设问不变。

变式3：把问题（3）中“已知：若随机变量Xi服从两点分布，且

P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n则E∑ni=1Xi=∑ni=1qi。”这个条件去掉，设问不变。让考生探索并推导公式E∑ni=1Xi=∑ni=1qi。

模拟题1（2023年1月佛山一模第20题）近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱。在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个，已知各盒含0或1个烂果的概率分别为0.8和0.2。

（1）顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃。求甲购买一盒猕猴桃的概率；

（2）顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率。

模拟题2（2023年4月佛山二模第16题）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是    ，从第n个盒子中取到白球的概率是    。

模拟题3（2023年4月茂名二模第22题）马尔可夫链因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1，n-2，n-3，…次状态是“没有任何关系的”。现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球，从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n（n∈N*）次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn。

（1）求X1的分布列；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）求Xn的期望。

四、 追本溯源

题源1：（教材人教A版《选择性必修第三册》第50页例题4）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐。如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8。计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。

解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”，则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得

P（A1）=P（B1）=0.5，P（A2｜A1）=0.6，P（A2｜B1）=0.8。

由全概率公式，得

P（A2）=P（A1）P（A2｜A1）+P（B1）P（A2｜B1）=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7。

因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为 0.7。

题源2：（教材人教A版《选择性必修第三册》第91页复习参考题第10题）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率。

解：记An表示事件“经过n次传球后，球在甲的手中”，n次传球后球在甲手中的概率为pn，n=1，2，3，…，n，则有p1=0，An+1=An·An+1+An·An+1，

则pn+1=P（An·An+1+An·An+1）=P（An·An+1）+P（An·An+1）=P（An）·P（An+1｜An）+P（An）·P（An+1｜An）=（1-pn）·12+pn·0=12（1-pn），

即pn+1=-12pn+12，n=1，2，3，…，

所以，pn+1-13=-12pn-13，且p1-13=-13，

所以，數列pn-13表示以-13为首项，-12为公比的等比数列，

所以，pn-13=-13×-12n-1，pn=-13×-12n-1+13=131-（-1）n·12n-1。

即n次传球后球在甲手中的概率是131-（-1）n·12n-1。

题源3：（2019年新课标1卷理科第21题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）。假设α=0.5，β=0.8。

（ⅰ）证明：｛pi+1-pi｝（i=0，1，2，…，7）为等比数列；

（ⅱ）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性。

本题是近几年高考中第一次出现的概率统计取代导数题目，是全国Ⅰ卷的压轴题，也是概率统计问题与其他知识相结合的加强考查题型。

从往年高考真题和新教材都能找到今年考题的“同源题”。而且教材人教A版《选择性必修第三册》第91页复习参考题第10题和2019年新课标Ⅰ卷理科第21题两个问题和今年高考考查内容是一致的，只是2019年旧教材没有全概率公式内容，题设直接给出了概率的递推关系pi=api-1+bpi+cpi+1，降低了难度，2023年学生学习了全概率公式，考生要自己运用全概率公式推导概率的递推关系。这种延续同一知识考点，但又加入不同生活背景的问题体现了经典传承，又进行了适度创新，这些都说明命题专家很重视回归教材和传承经典题型，教师平时的教学应回归教材，深入研究高考真题。

五、 教学建议

1. “条件概率与全概率公式”是新教材人教A版2019版《选择性必修三》7.1的内容，2022年新高考Ⅰ卷第20题考查了条件概率公式的转换推导，问题并不难，但从改卷反馈来看得分并不理想，对条件概率公式很多同学只会简单代入数据运算，对公式之间的转换和逻辑运算并不熟练。2023年新高考Ⅰ卷第21题考查了全概率公式的应用，并以压轴题的形式出现。教师应对新教材调整的内容进行高度重视。特别是像条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等知识，在平时生活、人工智能、统计决策等方面应用非常广泛。条件概率和全概率公式利用已知信息使问题化繁为简，提供了解决复杂事件概率问题的有效途径，既是概率论中最基本的公式之一，也是进行统计决策的强有力工具，教学和高三复习都应足够重视。不管是新课教学还是高三复习，教师都要站在单元整体教学设计的角度，结合古典概型的具体问题，提供经典的模型帮助学生借助树状图、列表等直观化的方法分析问题，帮助学生直观了解事件概率之间的关系，建立条件概率和全概率公式的关联和应用。

2. 教学回归数学本质，注重数学学习过程，提高学生的数学思维水平。首先，概率知识模块概念较多，相对零散。在数学概念、公式等教学过程中，应注重对知识的理解和思维水平的培养，比如，在教学全概率公式時，要引导学生理解全概率公式就是概率的加权平均。高三复习备考不能被辅导用书牵着走，导致“舍本求末”，应该引导学生回归教材，回归基本概念、定理，回归知识的本源。同时，借助思维导图，形成从知识点到知识之间的关联，再到架构知识体系。其次，在问题解决中，应引导学生深入思考情境中的数学关系，并用数学语言进行表述，应用转化与回归的思想将情境问题数学化，探索解决问题的方法。再次，在数学建模和探究中，要让学生经历“发现数学关联、提出数学问题、构建数学模型、得到数学结论、说明结论意义”的全过程。

3. 加强数学基础训练，培养学生关键能力。教育部在2022年和2023年高考数学全国卷的评析中均指出：要反套路、反刷题，强调考查关键能力和学科素养，强调实际应用，加强教考衔接。要让学生跳出题海，就得让学生在数学学习上多“体悟”，而不能停留在表面的方法传授，应加强学生对基本公式、基本原理的推导，加深学生对知识的联系与发生的认识。除了训练学生的数学基础知识和基本技能外，更要培养学生的基本数学思想，注重每个专题内容中的“通性通法”，提倡一解多题。

4. 关注高考数学改革，把握复习备考方向。在高考改革的新时期，我们要时刻了解政策的实质，认真学习相关的文件，从而把握高考复习备考的方向。从文章所分析的试题可以看出，高考命题紧紧围绕高考改革方向，注重传承经典，又适度创新；注重回归教材，又创设真实情景；不回避同一知识点的多年重复考查，也不回避各地模拟卷有相关知识的考查。同时，应加强数学核心素养的培养及数学思想方法的渗透。高考命题的趋势是以知识为载体，能力立意，考查数学核心素养为目标。从本试题及近几年概率统计的命题可以看出，概率统计命题兼顾基础性、综合性、应用性和创新性，结合生活情境，弘扬科学价值和人文价值。概率统计的情境包含面非常广泛，近几年的高考题对概率统计的考查要求有逐渐提高的趋势，背景与题型变化较多，也多次出现在压轴题的位置。因此，教学过程中，教师更加要重视基本原理，引导学生找到问题的本质。

参考文献：

［1］王兵.2023年新高考数学Ⅰ卷亮点试题评析［J］.中学数学杂志，2023（7）：55-59.

［2］林国红.细品方知题真味——2019年全国卷Ⅰ理科概率压轴题的探究［J］.教学考试，2019（47）：37-39.

［3］安学保.解析试题背景  探究数学本质——2019年全国Ⅰ卷理科概率统计压轴题的深度思考［J］.中学数学杂志，2019（11）：60-62.

［4］张欣.高考数学全国卷试题评析［N］.中国教育报，2023-6-7.