二次函数综合性题目的解题方法研究

⦿ 广东省开平市港口中学 梁玉芳

二次函数是初中数学知识体系的重要构成,依托于数学知识之间的内在联系,二次函数可以与方程、不等式、二次根式、平面几何、三角函数等重要的数学知识点融合起来,形成综合题.同时,由于函数的核心含义是反映两个变量在某个变化中相互依存的关系,因此也常常与有关动点的分类讨论问题相结合,对学生的数学能力、数学思维进行全面、综合的考查.因此,研究二次函数综合性题目的解题方法,对于帮助学生掌握解题技巧、培养数学核心素养、提升数学整体理解能力和问题解决能力具有积极的现实意义.

1 二次函数综合题中交点问题的解法

交点问题通常以二次函数与一次函数,以及二次函数与坐标轴的交点形式出现,交点可能是二次函数与坐标轴、一次函数以及平行于坐标轴的直线的交点.

所以,抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

因为C是抛物线与y轴的交点,所以点C的坐标为(0,-3).

综上,点A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,-3),抛物线解析式为y=x2-2x-3.

例1以二次函数为载体,考查二次函数与坐标轴的交点以及二次函数性质,运用待定系数法,结合韦达定理、抛物线的对称性质以及数形结合思想,即可确定交点坐标和抛物线的解析式.

2 二次函数综合题中线段和差最值问题的解法

线段和差最值问题的关键是二次函数的“动点”问题,“化折为直”是解决此类题型的通用方法[1].线段和差最值问题的题型主要分为单一线段最值问题、两条线段求和取最小值问题、两条线段作差取最大值问题、三角形周长最小问题四大类型.

2.1 单一线段最值问题

在单一线段最值问题中,一般会存在两个动点(点M和点N),分别位于二次函数图象和一次函数图象上(如图1所示),解题的关键在于利用函数解析式表示动点的坐标,通过数形结合,判定动点的位置[2].

图1

2.2 两条线段求和取最小值问题

两条线段求和取最小值问题,就是求动点到两定点距离和的最小值.如图2所示,在定直线l上找到一点P,使得点P与定点A和定点B的距离之和最小.解决此类问题,可以通过“化折为直”的数学思想方法,借助对称点,将PA+PB的最小值转化为线段A′B的长度.

图2

2.3 两条线段作差取最大值问题

在两条线段作差取最大值的问题中,题型通常为求定点与两动点距离之差的最大值.如图3所示,在定直线l上找到一点P,使得点P与定点A和定点B的距离PA和PB的差最小.若A,B两点位于直线l的异侧,则需要通过对称点,将两定点转化到直线l的同侧,将PA-PB转化为PA-PB′.当A,B′,P三点不共线时,PA-PB′

图3

2.4 三角形周长最小问题

三角形周长最小问题是“将军饮马”类题型的变形,如图4,在射线m和n上分别选取动点M和动点N,使之与定点P组成△PMN,使得△PMN的周长最小.此类问题的解法与上述二次函数的综合性问题的解题方法基本一致,也是通过对称点转化后利用“化折为直”的数学思想方法,求三角形周长的最小值[4].

图4

3 二次函数综合题中最值问题的解法

最值问题是函数的重要问题,在解决二次函数的最值等综合性问题时,可以利用数形结合、线性规划、基本不等式、单调性等知识点简化问题.

本题属于变量较多的最值形式,可以从已知条件出发进行变量替换[5].

解析1：通过换元,替换变量b,结合基本不等式进行最值计算.

解析2：通过替换变量c,实现消元的目的,进而使用基本不等式求解最值.

解析3：从所求问题出发进行等价变形,通过对所求式子赋予变量,利用等式替换变量c.

4 结语

二次函数是初中数学知识体系的重要构成,以二次函数为载体的综合性题目具有知识面广、灵活性强的特点,考查学生对数学知识的整合和综合应用能力.解决此类问题需要根据题意,利用二次函数的相关性质和数学思想,选择适宜的解题方法.在解决与交点相关的二次函数综合性题目时,可以与方程建立联系,利用判别式、根与系数的关系等知识点,将函数问题转化为方程问题;在解决与线段和差的最值相关的二次函数综合性题目时,可以运用“化折为直”的数学思想,通过轴对称变换、旋转变换、平移变换、构建特殊图形等方式将“折”转化为“直”,进而解决数学问题;在解决二次函数综合性题目中的最值问题时,可以运用数形结合思想和换元法,整合线性规划、基本不等式、单调性等知识简化问题.因此,教师在日常教学中,不仅需要向学生传授知识,还应有计划地结合教学内容和学生实际情况,总结解题规律,向学生传授解决数学问题的方法,以此提高学生的解题效率.