基于问题链的单元复习教学策略研究*

⦿ 安微省合肥市第四十八中学 陶兴高 丁永愿

⦿浙江省杭州市海辰中学 程龙军

1 单元复习教学现状

复习课的主要功能是将学过的知识进行系统梳理,提高学生的综合能力,发展学生的思维品质.但复习课也是典型的“三无”课型,即没有明确的教学目标,没有具体的教学内容,没有固定的教学策略,给复习课的设计带来了挑战.目前复习课的设计存在以下问题:忽视教学目标,重难点不突出;复习内容单调,基本上都是“知识+习题”,导致了知识的碎片化,不利于知识认知的整体构建;复习方法以讲练为主,机械重复,学生丧失复习主动性.

2 问题链的相关概念

2.1 问题链的内涵与特征

“问题链”就是教师为实现教学目标,根据学生的已有经验和认知障碍,将教材知识深化整合,推广综合,逐渐转化为具有层次性和系统性的问题序列[1].问题链具备以下特征:①有序性.问题链的有序性是知识有序和认知有序的整合,问题遵循从易到难、从简单到复杂的原则循序渐进依次展开.②指引性.问题链中的每一个问题都是一个“脚手架”,引导学生积极思考、主动表达,促进教学目标的达成.③灵活性.由于课堂教学是一个动态的过程,这就要求问题链中的问题不能一成不变地呈现给学生,其呈现的跨度、方式及内容等要因情施策.

2.2 基于问题链的单元复习设计路径与原则

以建构主义理论和最近发展区理论为支持,构建基于问题链的学习活动路径,如图1所示.

图1

2.2.1 教学目标的高阶性和指向性

教学目标是问题链的目的地,也是问题链的导航仪,在教学目标的追求上,问题链的教学不仅要关注基本知识、基本技能的掌握,也要关注思想方法的领悟、基本活动经验的积累.在教学目标的制定上,教师要明晰知识结构、调研学生认知障碍,以课标为参考,确保后续的每个问题都有明确的指向性,避免“问无实质”“随意提问”的现象,使得问题链有计划、有步骤、有目的地依次展开.

2.2.2 问题链设计的逻辑性和启发性

问题链的逻辑性包括知识逻辑和认知逻辑.一方面,问题链应体现“低起点、分层次、高落点”,实现从简单到复杂、从低级到高级的过渡.另一方面,教师在设计问题链时应顺应数学知识的展开规律和学生的认知顺序,确保问题间有顺序地衔接,有逻辑地渐进,使问题链成为促进学生思维发展的有效阶梯.问题链的启发性就是要求教师根据学生的差异性,在学生的思维障碍处或兴趣点处搭建“脚手架”,设计符合学生最近发展区的预设问题,尽可能地对原有问题进行拓展、延伸.

2.2.3 评价分析的伴随性

评价分析包括问题功能和学生反馈两个维度,一是在教师设计完问题链之后,分析每个主干问题完成了哪些教学目标,在教学过程中教师及时记录出现的预设问题,优化问题链.二是问题链的教学是一个不断提出问题、解决问题的过程,在教学过程中教师可以不断评估学生的学习状况,诊断出学生的知识盲区,以便及时指导.

3 “直线与圆的位置关系”单元复习设计实施

3.1 “直线与圆的位置关系”复习目标

“直线与圆的位置关系”单元包括沪科版第24章的第4,5两个小节,是在圆的基本性质学习的基础上进一步延续和发展.本单元内容包括直线与圆的位置关系,切线的性质与判定,切线长定理,内切圆等知识.从教材的脉络来看,首先分类讨论直线与圆的三种位置关系,突出特殊的位置关系——相切,探究切线的性质和判定定理,再利用尺规作图作已知圆的切线,引出切线长定理,最后学习三角形的内切圆(即切线长的应用与延续).因此,切线是贯穿单元内容的主线,以切线的条数逐步增加作为横向脉络,以相应的图形结论作为纵向脉络,形成了如图2的知识结构网络图.

图2

直线与圆的位置关系是初中几何知识的综合运用,常与垂径定理、圆周角、勾股定理、平行线、相似三角形等知识结合.本单元对发展学生分类讨论、数形结合、几何直观、演绎推理、实践操作能力有着重要的意义.

基于课标要求,制定如下教学目标:

(1)回顾直线与圆的三种位置关系,体会用距离刻画直线与圆的位置关系的数形结合思想;

(2)掌握切线的性质和判定定理,发展几何直观、演绎推理能力;

(3)了解切线长定理、三角形内切圆等知识,在尺规作图的过程中积累基本活动经验;

(4)在解决具体问题的过程中提高分析问题、解决问题以及综合运用的能力.

3.2 “直线与圆的位置关系”问题链设计分析

3.2.1 问题链1:开放作图,理清知识脉络

问题1如图3,⊙O外有一点P,过P作直线l,直线l与⊙O有哪些位置关系的?

图3

问题1-1你是如何判断直线与圆的位置关系的?

问题2如图4,已知直线PA是⊙O的一条切线,切点为A,请用尺规过点P作⊙O的另外一条切线PB,并说明理由.

图4

问题2-1你是怎么想到该作法的?

问题2-2所得到的图形有什么结构特征?

问题3如图5,PA,PB与⊙O分别相切于A,B两点,C是⊙O上一点.过C作⊙O切线,请你画出图形.

图5

问题3-1你还能画出其他图形吗?

问题3-2根据所画出的图形,你有什么结论?

教学预设:

问题2的具体作法有如下几种情况:

思路一：如图6,以OP为直径作⊙N,交⊙O于点B,则直线PB即为所作.

图6

思路二：如图7,以P为圆心,PA为半径作弧交⊙O于点B,则直线PB即为所作.

图7

思路三：如图8,作直线PM,使得∠OPM=∠OPA,则直线PM即为所作.

图8

思路四：如图9,过点A作PO的垂线段交⊙O于点B,则直线PB即为所作.

图9

问题3所得到的图形如图10～12所示.

图10

功能分析：问题1从数形两个不同的角度复习回顾判断直线与圆的位置关系的方法,渗透数形结合思想.对于问题2,学生已经具备了教材的作法经验,思路一较易想到,但该法并未用到已知切线PA这一条件.可引导学生结合切线长定理的内容(过圆外一点作圆的两条切线,两条切线相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角)联想构图,形成思路二、三.对于这几种作法的证明,思路一、二、四应用了切线的判定方法,即连半径,证垂直;思路三应用了切线的判定方法,即作垂直,证半径.特别指出,思路三在教学过程中有学生用△PAO≌△PBO证明PM是⊙O的切线,通过对比彰显运用角平分线性质证明的简洁性.本活动在作图中复习切线定理、切线长定理的同时,综合运用了垂径定理、全等三角形、圆周角、角平分线的性质等相关几何知识,提高了学生的直观想象和逻辑推理能力.

问题3根据点C的位置分为图10～12的三种情况,培养了学生分类讨论能力.在图10中复习三角形内心的定义、性质和求三角形内切圆半径的一般方法,在图11中可证四边形ACMP是直角梯形且PM=MC+PA,在图12中可向学生补充旁切圆等知识.在教学过程中可继续追问学生:“如果再增加一条切线,你可以得到什么图形?有什么结论?”该环节是切线长定理运用的延续与拓展,使得知识整理的过程变得有序和完整,也为后续学习正多边形与圆的关系埋下伏笔.

图11

图12

问题链1是知识梳理的过程,与机械式的复述回忆不同,该环节通过设计连续的作图活动,从一条切线到两条切线,再到三条切线,将其中的概念、定理以及内在的联系串联形成知识结构体系.让学生在经历尺规作图的过程中,增强动手能力,理解尺规作图的基本原理与方法,发展空间观念、几何直观、逻辑推理等核心素养.

3.2.2 问题链2:问题探究,提高综合能力

问题4如图13,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm.点O在边BC上,以OC为半径作⊙O,⊙O与边AB相切于点D,交边BC于点E,求⊙O的半径.

图13

问题4-1：如图14,连接DE,CD,求线段DE,CD的值.

图14

问题4-2：如图15,连接OA交CD于点F,连接EF,判断四边形ADEF是不是平行四边形.

图15

问题5如图16所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在边BC上,以OC为半径作⊙O,⊙O与边AB相切于点D,交边BC于点E,连接OA交CD于点F,连接EF,要使四边形ADEF是平行四边形,则Rt△ABC的三边需要满足什么条件?

图16

教学预设:

问题4求半径的一般思路:

图17

思路二：如图17,连接OD,在Rt△BDO中,由BD2+OD2=OB2,得42+r2=(8-r)2,解得r=3.

图18

问题4-1求线段长的一般思路:

图19

问题4-2的判断思路:

思路二：F是CD的中点,E不是CB的中点,显然EF和AB不平行.

问题5的求解思路:

已知ED∥AF,要使四边形ADEF是平行四边形,还需要ED=AF或AD∥EF.

图20

功能分析：该环节以直角三角形和圆的综合为背景设置问题链,将切线定理与相似三角形、平行线、勾股定理、平行四边形等知识联系起来,学生通过该题组掌握了求圆中线段长度的一般方法,提高了分析问题、解决问题的能力.其中,问题5是问题4-2的逆向论证,从已知四边形的形状探究Rt△ABC的三边关系,从有具体的数值到无数值,论证的过程更加抽象,使学生对图形的位置关系、数量关系的认识更加深刻.该环节通过一题多问、一题多解的方式使得课堂内容从冗长走向简约,增强学生思维的连贯性、综合性.

4 基于问题链的单元复习教学反思

问题链的教学模式可为教师提供一种复习课的教学方法,能够引导学生树立整体观念,提高课堂参与度,发展核心素养.

4.1 理清脉络,树立整体观念

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出,要注重教学内容的结构化,整体分析数学内容本质和学生认知规律,帮助学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题.问题链作为一个整体序列,问题与问题之间具有一定层次结构、逻辑关系,让学生有机会借助逻辑思考建构起知识体系.在本案例中,问题链1以切线的条数不断增加作为主线,纵向将单元内容串联起来,使得知识梳理过程变得有序;问题链2横向将切线内容与勾股定理、相似三角形、直角三角形等知识相结合,明晰本单元与其他知识的综合应用.

4.2 以生为本,提高课堂参与度

唐恒钧[2]教授指出:教师在设计问题链时应激发学生解决问题的积极性;对于挑战性问题,要在全体学生的认知范围内,让每一位学生参与到其中,锻炼学生解决问题的能力.在本案例中几乎每个问题都有多种解法.其中,问题2方法的开放性让学生更全面地掌握切线定理和切线长定理,更深刻地认识双切图的对称性;问题3结论的开放性也会给学生带来了“意外“内容,拓展旁切圆等知识;问题4题组探究过程的多样性培养了学生的发散思维和创造思维.开放性的问题让不同层次的学生都能参与,也使得知识方法的使用更加全面.

4.3 问题驱动,发展思维品质

问题链教学将陈述性知识转化为程序性知识去理解和认识,让学生在做数学的过程中实现知识的建构.问题链教学驱动学生思维的发展,表现在两个方面:一是在内容上给学生提供了充足的冷静思考与自主探究的空间,让学生在问题的驱动下独立探索,利于学生数学思维的发展;二是问题链间的关联能揭示学习过程与思想方法,驱动学生的思维发展经历“问题—方法—方法论”的数学化全过程,发展学生的核心素养.