初中阶段发展学生空间观念的五种路径*

⦿ 广东省中山市坦洲实验中学 何晓华

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出“空间观念”主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识.具体包括:(1)能够根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;(2)想象并表达出物体的空间方位和相互之间的位置关系;(3)感知并描述图形的运动和变化规律.概括地说,空间观念就是在实际物体、几何图形与特征描述之间建立起可逆的联系.理解空间观念的内涵及其主要表现,对于培养和发展学生的空间观念具有重要的指导意义.

图形与几何内容是发展学生空间观念的主要载体,但是在课程实施的过程中,发展学生的空间观念,往往处于一种无意识的状态,主要表现在素养导向不强、学情诊断不明、学科育人的价值没有得到充分的体现等方面.下面结合教学实践,谈谈发展学生空间观念的五种主要路径.

1 “画”出空间观念

初中学生画图(包括作图)能力比较薄弱,具体表现为:(1)照着画,画不准.比如,照着课本把图形画在作业本上,图形就出现了变化,把直角画成锐角、锐角画成钝角、等腰三角形画成不等腰三角形;(2)根据语言描述画图,有困难.比如,利用三角板画三角形的高,部分学生不知道三角板怎么摆放;(3)对于有多种位置关系的图形,画不全.这些现象的出现,是由学生思维的直观性决定的,直观性体现于认识图形属性时的选择性层面.初中阶段的学生,对强刺激成分(比如图形整体的形象)有比较强的感知,对弱刺激成分(比如两条线相交的角度、两条边相等)等细节关注较少,他们很少关注图形各要素之间的具体关系,很少从“数”的角度去刻画位置关系.难以根据图形语言或符号语言建立图形的直观表象.

画图的过程实际上是对几何语言深入理解的过程,是对图形整体和局部的深入感知,以及对图形各要素关系的思考过程,也是对画图步骤的调整过程.画出图形后,学生会不自觉地将画出的图形与看到或想到的图形进行比较,在思考“像”与“不像”之间、在修正图形和反思画图原理的过程中,学生的空间观念得到发展.

教师在思想上要认识到画图对培养学生空间观念的重要性,让学生感受到图形作为一种形象直观的语言对解决问题的辅助作用.教学行为上要做好画图示范,加强画法指导,重视画图训练,包括平时作业时强调学生自己画图.

2 “想”出空间观念

在《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出的空间观念的几个表现中,提到了抽象和想象,在实际物体与图形的相互转换中,充满观察、分析、比较、想象、推理等活动,其中想象是主要的思维活动.空间观念的发展离不开想象,没有想象,很难谈到对现实世界的了解与把握,很难谈到发明与创造,因此,在教学中要为学生提供足够的时间和空间去观察和想象.

学生对二维图形和三维图形的相互转换是有困难的,困难在于转换过程中,很难想象图形的各个要素之间位置关系的变化方式和变化效果.下面两幅图是人教版七年级上册的课本习题:

如图1,这些图形都是正方体的展开图吗?如果不能确定,折一折,试一试,你还能再画出一些正方体的展开图吗?

图1

如图2,左面的图形可能是右面哪些几何体的展开图?

图2

这两道题学生解答有困难,教师也很难讲清楚.动手操作、动画演示可以将图形的变化过程展现出来,借助动作直观和视觉直观展开教学是很好的方式,但不宜单一采用这种方式,否则,学生就失去了想象的机会,不利于其空间观念的发展.

比较好的做法是:先让学生观察、想象,得出初步判断,然后通过操作或演示得到确认,最后还需要反复观察操作和演示的过程,体会在图形转换过程中,同一条棱、相邻的面等相关几何元素在展开与折叠的过程中是如何变化的,让图形的变化过程在头脑中形成清晰的动态画面,从而总结规律、积累经验,发展空间观念.

简单几何体的展开与折叠只是发展学生空间观念的载体,而学生今后面对的是变化万千的图形,教师应该摒弃直奔结果的“口诀式”教学,着眼于学生核心素养的发展.

3 “说”出空间观念

语言是思维的载体.描述图形的位置和变化、依据语言的描述画出图形是空间观念发展的重要标志.在日常生活中,我们经常需要向别人描述某个图形或者根据别人的描述建立空间形象,能否准确地描述或者准确地构图就很重要.描述与画图实际上是进行文字语言、符号语言与图形语言的相互转换,这种互译转换的过程包含了大脑对图形关系进行分析与操作的过程.学生在头脑中是否感知了图形的位置与变化,以及感知的程度如何,是看不见、摸不着的.语言描述可以将思维内容显现出来,同时,语言描述和画图对思维的内容具有修正、定型的作用,会使大脑对图形的感知更加明晰.

描述图形的位置和变化,包括描述图形特征、叙述变换过程、表示图形关系、用坐标表示位置等多个方面.规范的几何语言可以帮助学生准确理解图形位置及其关系,在教学过程中,教师要重视学生几何语言的表述,纠正不规范、不准确的语言,不失时机地让学生使用清晰准确的语言描述图形的位置、特征与变化.比如,在证明三角形全等之后,让学生描述两个三角形经过怎样的变换后互相重合,这样可以帮助学生准确地理解全等三角形的对应关系,发展学生的空间观念.

4 “算”出空间观念

对图形的认识是一个从定性描述到定量刻画的过程,学生往往更多关注图形的形状和位置,而对图形各元素之间的数量关系不敏感.比如,在数轴上表示不等式组的解集,需要在数轴上描出两个点,而这两个点到原点的距离往往被学生忽视;在画三视图时,视图的长宽比例往往不协调;在研究图形性质时,学生很难体会图形各元素之间位置关系与数量关系的互相制约,数形结合的思想比较淡漠.图形与几何中有大量内容是关于几何计算的,长度、角度、面积、体积从“定量”的角度刻画了图形的大小,对各种几何量的计算是发展学生空间观念的有效途径.

5 “证”出空间观念

小学生对图形的形状、大小及其相互位置关系的认识主要依赖直观表象和实验操作,对图形特征的描述也多采用生活化语言.到了初一年级,学生对图形的识别仍然带有明显的“想当然”成分,缺乏利用概念去判断、用推理去思考图形特征的经验.在学习了逻辑证明之后,学生对图形的感知能力逐渐加入了理性的成分,他们逐步学会利用图形的概念和性质对图形各要素及其关系进行识别和确认.随着学习的深入,学生的逻辑推理能力和空间观念相互促进,相得益彰.

例1如图3,在正方形网格中,A,B,C是格点,求∠ABC的度数.

图3

例2如图4,A,B,C是正方体的三个顶点,求∠ABC的度数.

图4

如果没有全等三角形、等腰直角三角形、等边三角形的逻辑基础,学生很难确定角度的大小.逻辑推理论证了图形的性质,图形的性质为空间观念的发展提供了直观基础,从这个意义上可以说逻辑推理为空间观念的发展插上了理性的翅膀.反过来,空间观念的发展为逻辑推理能力的提高提供了直观表象.

空间观念的发展是有章可循、有法可教的.充分思考、审视教学内容对发展学生空间观念的作用,把握学生空间观念发展的阶段性特征,从学生的直观体验出发,让学生在观察、比较、操作、想象、计算、描述、推理等活动中积累经验,是发展学生空间观念的有效途径.Z