渗透数学思想方法 提升学生数学素养——以“圆周角定理的证明”为例

⦿ 江苏省泰兴市济川初级中学 张菲菲

圆周角、圆周角定理及其推论是解决圆内有关角的问题的基础,并为后续学习圆的内接四边形的角的关系提供前提,是初中数学的重要内容之一.在学习本课内容前,学生已经理解并掌握了圆的基本概念,本课是对圆周角的度数及其所对弧的度数关系的深入探究.在本课教学中,教师从学生已有知识和已有经验出发,为学生搭建平等、和谐的自主探究环境,并在“有形”的定理证明中渗透“无形”的数学思想方法,让学生充分感知数学思想方法的价值,提升学生数学综合素养.笔者结合教学片断进行说明,以期在教学中重视挖掘和渗透数学思想方法.

1 教学片断

学习了圆周角的定义后,教师以学生最近发展区为起点,启发学生自主研究圆周角与圆心角(弧的度数)之间的关系.过程如下:

问题如图1,在圆O上任取两点A,B.过圆心O作圆的直径BC,连接BA,OA,圆心角∠AOC的度数与它所对的弧AC的度数相等.根据这一结论,试探究圆周角∠ABC的度数与它所对的弧存在怎样的数量关系.

图1

师:弧AC所对的圆周角有几个?

生齐声答:无数个.

师:图1所示的圆周角∠ABC的两边具有怎样的特点?

生1:其中一条边BC经过圆心,是圆的直径.

师:很好,∠ABC的两边还有其他情况吗?

生2:它的两条边可能都不经过圆心.

师:大家动手画一画,若∠ABC的两边都不经过圆心可以怎么画?

学生动手画,教师巡视,然后组织学生互动交流,进一步分类.

生3:圆周角∠ABC的两边不过圆心时,可以分为两种情况,即圆心在圆周角∠ABC的内部(如图2)和圆心在圆周角∠ABC的外部(如图3).

图2

图3

师:很好,大家观察得非常仔细.这两种情况下,圆周角∠ABC与弧AC的度数存在怎样的关系?上述结论是否依然成立?(生沉思.)

师:能否将以上两种情况转化为其中一边过直径的情况呢?

在教师的启发和指导下,学生积极思考,很快找到了解决问题的方案.

生4:对于图2,连接BO并延长,使其交圆O于点D,如图4.这样圆周角∠ABC被分解成两个角,分别为∠ABD和∠CBD,这样就将问题转化为图1所示的情况,即圆周角的一边过圆心.

图4

师:非常棒,这样通过添加辅助线,将问题转化为我们熟悉的问题.现在你能否得到与图1相同的结论呢?

师:非常好!对于图3呢?它是否也可以转化为图1的形式,并得到与图1相同的结论呢?

与图2的探究方法相类比,学生很快找到了解决问题的方法.

图5

至此,通过特殊化思想、分类讨论思想等数学思想方法的渗透,学生顺利得到了结论,促进了知识的深化和思维能力的发展.

2 教学思考

数学教学不仅是知识的讲授过程,也是学生能力提升的过程.在日常教学中,为了追求成绩,部分教师常常通过讲授的方式直接将相关的概念、结论、公式等基础知识告知学生,让学生记忆,然后通过大量的练习进行强化.这样“讲授+练习”的方式虽然可以在短时间内提高学生的数学成绩,但是不利于学生的长远发展,有悖于教育的初衷.因此,在日常教学中,教师要创造条件让学生进行独立思考和合作交流,引导学生共同探究数学知识背后蕴含的数学思想方法,以此提升学生的学习品质,发展学生数学能力.在圆周角定理的证明中,教师从学生最近发展区出发,重视数学思想方法的渗透,促进了学生学习能力的提升.现将其中所蕴含的思想方法进行梳理,以期引发共鸣.

2.1 分类讨论思想

在遇到一些复杂的问题时,可以按照一定的标准把要研究的问题分为几类或几种情况进行讨论,以此化整为零,各个突破.

圆周角定理揭示的是一条弧所对的圆周角与圆心角的大小关系,而一条弧所对的圆周角与圆心存在三种不同的位置关系,分别为圆心在圆周角的一条边上,圆心在圆周角内部和圆心在圆周角外部,因此证明定理的过程中需要分三种情况讨论.对于该定理的证明,若仅有一种或两种情况成立并不能证明该结论成立,因此需要“分而治之”,逐一证明.

2.2 特殊化思想

所谓特殊化,就是先将一些不易于理解和接受的一般性问题转化为特殊问题,以此借助特殊情形找到解决问题的突破口,然后逐渐将问题推广至一般情况,进而发现一般规律,得到一般结论.

2.3 化归思想

数学问题是灵活多变的,但其中往往蕴含着一定的规律.在研究一些复杂、陌生的问题时,应引导学生将它们转化为简单、熟悉的问题,从而将新问题转化为已经学过的问题来解决,以此快速找到解决问题的突破口,提高解题效率.

例如,在研究图2和图3时,教师启发学生向已解决的图1的形式转化.这样在明确的目标指引下,学生通过添加辅助线,将圆心在圆周角内和圆心在圆周角外的两种情况转化为其中一条边过圆心的情况,进而利用已有经验解决问题.其实,化归思想在解题中是非常常见且应用非常广泛,如在解决方程问题时,有时候需要将多元化为一元,将高次化为低次.在日常教学中,教师不要急于给出结论,应尝试引导学生将陌生的、难以解决的问题向熟悉的、易于理解的问题转化,以此借助已有经验高效解决问题.

2.4 类比思想

在数学教学中,在研究一些相似或相关的问题时,可以有意识地引导学生将这些相似或相关的内容相类比,从而推测结论相似或解法相似,以此提升学生数学能力.

例如,在分析图3时,启发学生与探究图2的经验相类比,从而得到直径BF,借助解决图1和图2的经验解决问题.其实,许多结论的得出和问题的解决都需要运用类比思想.如,在研究平行四边形的判定和性质时,一般会与矩形、菱形、正方形的相关知识相类比;又如,在学习三角形相似的判定定理时,会与全等三角形的判定定理相类比.教学过程中,教师要有意识地引导学生根据已有结论去推测相似的未知结论,以此拓宽学生视野,培养学生创新意识.

总之,在数学教学中,教师要重视引导挖掘知识背后的数学思想方法,充分发挥教育的育人功能,提高学生的认知能力,发展学生数学素养.Z