初中数学教学中本原性问题的设计

傅炤

摘   要： 本原性问题是凸显学科本质、关注认知规律的问题，是处于学生认知基础与学科观念的联结点上的问题，具有启发性、本原性、统领性的特征。初中数学教学要以复习课为载体，围绕知识梳理、知识重组、知识应用探讨本原性问题的设计策略，构建以“本原性问题”为组织中心的问题化学习课堂，以促进知识的联系与迁移，导向深度学习与理解，发展学生的高阶思维。

关键词： 本原性问题；问题设计；复习课；高阶思维

一、研究背景

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明確落实“立德树人”的根本任务，确定了核心素养导向的课程目标。在核心素养导向下，数学学习要求学生学以致用，在复杂真实的情境中运用数学知识解决问题。特别强调的是，数学教师要准确把握此次课程标准修订的重要理念，即课程内容的结构化。1 课程内容结构化指出，课程内容的结构化理念要求教师转变教学方式，从以学科知识为本转向以学生为本。在实际教学过程中，课程内容结构化要因地制宜，因校情和学情而异。

在新课学习中，学生学习过程是知识点逐步完善的过程。而调研发现，学生对于知识之间的联系理解并不深刻，知识的结构化程度较低，缺乏对一般观念的上位思考；同时缺乏系统的对数学思想方法的归纳与整理、对问题解决一般过程的概括与迁移，导致无法运用在复杂问题解决中。新课学习中的问题也促使笔者一直在思考：能否在复习课中提前解决这些问题？学生之所以对数学概念感到陌生，难以理解，是因为初中生通常对新课存在畏难心理，难以进入学习状态，导致学习效果不理想。如果能够结合初中生的思维发展规律，借助复习课，创设其熟悉的学习情境，设计本原性问题，那就可以引发他们的主动思考和学习兴趣。因为核心素养导向下的复习课是一种“温故而知新”的认知重构活动，其核心任务是：通过创设一系列综合性、开放性的问题情境，让学生经历比较、分析、整理等思维活动，建立具有一定层次的知识网络，纵向加深拓宽认知结构，横向联系达成深度理解，从而发展思维的丰富性与联系性；并在归纳和概括数学思想方法、解决问题的一般路径中，以反思与总结的方式循序渐进地建立数学思想方法体系，实现从“四基”向“四能”跨越，从而发展思维的迁移性。因此，在初中数学复习课中设计本原性问题，可以有效帮助学生发展数学核心素养。

二、本原性问题的内涵解读

《现代汉语词典》中对“本原”的解释为：“哲学上指一切事物的最初根源或构成世界的最根本实体。”1 将“本原”迁移到学科教学领域，主要是借鉴哲学对“本原”的理解和思维方法。“本原性问题”是指凸显学科本质、关注认知规律并处在学生认知基础与学科观念的联结点上的问题，它具有启发性、本原性、统领性的特征，能激发思考与探究、促进知识联系与迁移、导向深度学习与理解。

数学课堂教与学是一种“基于问题系统优化的学习”，学生在教师与同伴的帮助下持续提出问题，自主建构问题系统，在问题系统化、系统图式化、图式可视化中去建构知识体系，寻找学习路径，发展学科思维。本原性问题不仅涵盖从学科的角度揭示知识的本质问题，同时涵盖从认知和教学的角度来激发学生探究的兴趣，启发学生对知识的理解，从而帮助学生主动建构对知识的理解和认知。

站在课程的视角，深度分析单元或模块内容本质和学科观念设置“本原性问题”为统领的基本问题链，作为课堂组织的中心，架构认知过程和高阶的思维路径。其中，以“本原性问题”为统帅，预设的驱动性问题情境”“学生在问题解决过程生成的问题”“基于学生困与惑的教师引导性问题”，以及“解决问题的教与学的环境”成了高阶思维视角下本原性问题驱动学习的基本要素。

教师在课堂教学中如果能以学科思维和“本原性问题”为核心，围绕学生的困惑和教学目标，设计内在逻辑相连、环环相扣的问题链，能将学生引向高阶学习，帮助学生深度理解数学知识及其背后的逻辑结构、思想方法、研究视角，形成学科思维和观念，那么学习就从事实走向结构、原理和方法论的层面，进而外显为知识的应用、迁移和创造。

三、本原性问题的设计思路

“本原性问题”的设计，对教师提出了较大的挑战，要求教师能够基于学科视野整体把握整个课程知识的结构体系，以及这些结构体系背后的思想、方法和数学观念。教师还需要具备相应的教学法知识以及评价的意识和能力。为此，教师必须在整体把握大观念和单元核心问题的基础上，研究如何根据教学目标与学生特点，设计和开展本原性问题以驱动课堂教学。

那么，在核心素养导向下，初中数学有哪些可以激发学生思考力的本原性问题，体现出学习最为根源、真实、基本的观点。数学教师需要在教学中紧紧围绕核心素养导向下的核心任务，设计好一系列本原性问题，循序渐进，环环相扣，将学生导入深度学习中，进而有效地激发学生理解数学学习的本质和价值。下文将以初中数学复习课为例，剖析本原性问题的设计思路，包括构建复习课的教学模式，提炼课程内容结构的一般观念，以及明确本原性问题的核心价值。只有对学科的教学模式和体系架构等基本情况有所了解，教师才能提炼出反映学科本质的最有价值的本原性问题。

1.构建复习课“三阶段七环节”的教学模式

核心素养导向下的复习课要经历知识回顾、知识重组、知识运用等知识结构建构的过程。通过纵向回顾知识的学习过程，横向理解知识之间的联系，建立横纵相连的知识体系，实现知识结构的重构，感悟数学的一般观念，感受用数学的眼光观察与思考世界，夯实基本的思维与方法素养；通过对运用知识解决问题过程的反思与总结，将问题解决的基本步骤一般化、程序化，并用自己的语言表达操作要领、步骤方法和适用范围，学会用数学的语言表达，体会数学的工具性与严谨性，从而形成理性思维。基于复习课的基本特征，构建复习课“三阶段七环节”教学模式，如图1所示。

基于“三阶段七环节”教学模式，构建了以本原性问题为核心的教学路径（见图2），即基于知识内容提取一般观念，提炼本原性问题；设计学习情境，围绕学生的困惑和问题设计引导性问题，围绕教学目标设计推进型问题和延展性问题，构成学生学习活动中逻辑相连的问题链，把学生引向高阶学习，从而发展其高阶思维。

2.提炼教学内容结构化的一般观念

基于“三阶段七环节”教学模式和教学路径，我们从数学的“一般观念”着手，阐述如何用本原性问题来整体规划知识结构体系。“一般观念”是指与核心知识相关的研究问题的一般理念。它包括某一个具体知识领域内核心知识的研究思路、研究内容、研究方法等，是对知识发生、发展过程及其反映的数学思想方法的再概括。数学知识是对客观世界数量关系和空间形式的概括性认识，具有很强的系统性和逻辑性。数学知识的联系主要包括纵向和横向知识结构联系。纵向知识联系是指单元知识的研究过程或者结构相同的单元知识之间的关系，即“条状知识链”；数学知识的横向联系指的是结构类似的不同单元知识之间的联结，即“块状知识”。这些知识的组织形式、思想方法和问题提出与解决步骤的一致性都集中反映了数学学科的“一般观念”。

以“代数方程”模块为例，如图3，从纵向看方程的学习过程，都是从实际问题中抽象量以及量与量之间的等量关系，引入符号表达关系从而得到方程，基于方程的代数结构进行定义以及一般形式的表达，基于等式性质和代数式运算原理进行求解，最后运用方程解决实际问题。这样的过程对应“如何研究方程”这一本原性问题。从横向看，每一种方程的引入、定义、解法以及应用过程都是一致的，分别对应“为什么要研究方程”“如何定义方程”“如何求解方程”“如何应用方程解决实际问题”等本原性问题，从而体现了用本原性问题系统架构方程模块知识体系的过程。

3.明确本原性问题的核心价值

在复习课中，基于一般观念提炼本原性问题，深入思考对应的中观层面和微观层面的问题，以此整体架構知识体系的建构路径，其核心价值是：（1）知识体系的建构是有序的、进阶式的认知重构，在梳理知识的相互联系中深化对知识的理解，优化认知结构，建立层次分明、联系广泛的数学知识体系；（2）在分析知识的形成和发展过程中突出一般观念，让学生体会用相同方法学习不同的核心知识，从而为知识体系的建构方法提供可迁移的经验；（3）从知识到观念最后提炼成本原性问题体系，使复习活动变为有效学习的“问题化学习”活动，这对学生的自主复习、主动建构等学习方式的变革有突破性意义。

四、本原性问题的设计策略

在设计思路明确的前提下，本原性问题的设计要关注三个方面，即知识内容、学生认知和教师教学。教师要综合均衡这三个方面，设计进阶型本原性问题链，从而体现数学学科的整体性和一致性，培养学生运用所学知识解决实际问题的关键能力，提升其核心素养。

1.开放性问题：引导知识的有序回顾

复习课是对已有知识的再认识过程，回顾与提取相关知识是复习课的基础，学生的认知线索是关键。所谓认知线索，是指激活学生记忆、导向学生信息信息提取、启发学生思考的心理参照。在复习课中，结合学生认知线索创设开放性的情境，能够帮助学生直接指向相关核心知识，为后续知识重组提供框架，启发学生思考。

代数方程复习课：知识提取环节

问题情境：图4是2002年在中国北京召开的国际数学家大会的会标，是中国古代著名的“赵爽弦图”。四边形ABCD是正方形，它由4个全等的直角三角形拼成，中间的四边形EFGH也是正方形。如果正方形ABCD的面积为13，正方形EFGH的面积为1，求图中直角三角形的两条直角边长。

问题1：这个图形由哪些线段组成？它们之间有怎样的数量关系？

问题2：根据未知量的不同设法，你能列出哪些方程或方程组来解决这个问题？

以“代数方程”的复习课为例，创设如下情境：这个问题中直角三角形的两条直角边之间有三个等量关系：（1）它们的差为1；（2）它们的积为6；（3）它们的平方和为13。可以利用其中任意一个等量关系将未知量符号化，利用另一个等量关系将等量关系方程化，列出方程；也可以利用其中任意两个等量关系，分别列出方程，再联立得方程组即可。

通过问题1引导学生抽象数量关系，引入符号表达，采取不同方式设元，建立多种方程或方程组来解决问题，从而将方程知识的回顾孕育在问题解决过程中，为后续理解方程及各类方程之间的关系做好铺垫。

2.策略性问题：引导知识结构层次化的重组

在知识回顾之后就要将学生思维引向知识重组。知识重组是拓展认知结构、优化知识体系、建立知识联系、导向深度理解的重要认知活动。这需要在复习课中基于知识关联处设计策略性问题，引导学生在整理、归纳、反思过程中对知识进行有序的重组，才能促进学生理解数学学科一般观念，自主建构知识体系，实现思维的进阶。

以方程为例，“引入方程—方程的概念—方程的解法—方程的应用”是方程模块的“条状知识链”，也是“代数方程”复习课的顺序。在解决问题2之后，需要对比各类不同的方程，设计如下问题：

代数方程复习课：知识重组环节

问题3：上述这些方程如何进行分类？分类的标准是什么？

问题4：每一类方程是如何进行定义的？对此你有什么新的发现？

问题5：方程的分类与代数式的分类、数的分类之间有怎样的联系？

其中问题3引导学生回顾各类方程的概念，对方程进行有序分类。问题5通过对比每一类方程的定义，理解数学定义方程的方式方法，从而以“如何定义方程？”这一本原性问题聚合“代数方程的概念”这一“块状知识”，建立横向知识联系。各类方程的概念与代数式的概念紧密联系，代数式的概念又指向数的概念，因此自然引向问题，引导学生贯通数、代数式、方程三者之间的联系，从方程的局部知识走向整个代数领域的知识体系，从而凸显知识背后共同的思维方式，发展思维的关联性。

解方程的教学是数学高阶思维的培育，具体表现在三个方面：首先，解方程的过程体现了数式运算及其运算律在解方程过程中的一致性，体现了代数运算“知算理、明算法”的规则意识，指向了代数推理的能力；其次，解方程的过程就是不断地化繁为简的过程，降次和消元是基本策略，体现的是化归的数学思想方法；第三，解方程的过程蕴含算法思想，即“依据方程形式挖掘信息—定义、公式、法则的准确运用—选择合理的运算方法—简化运算”。在新课学习中，每一类方程或方程组的求解是单独展开的，学生对解方程背后蕴含的数学思想方法理解不深，因此，需要在复习课程中进行归纳。基于此，我们设计了以下问题：

問题6：如何求解上述方程？

问题7：这些方程求解过程分别运用了哪些数学知识？蕴含了怎样的数学思想方法？

问题8：这些方程的求解过程蕴含了哪些基本步骤？

通过这三个问题，帮助学生从整体上建立代数方程解法之间的联系，体会背后的数学思想方法，并进一步强化解方程的运算与数、代数式的运算之间的联系，为将来学习更复杂的方程解法积累经验。

3.归纳式问题：引导知识运用策略的概括与迁移

数学思想方法是数学的灵魂。在新课学习中，学生已经体会各种数学思想方法，但对于数学思想方法作用于问题解决的一般步骤以及如何归纳解释还缺乏经验，这就需要在复习课中，基于数学思想方法的抽象设计归纳式问题，引导学生对知识运用策略的一般过程进行概括与归纳，并通过情境变式迁移以帮助学生形成数学思想方法体系。

方程模块最重要的数学思想方法是运用方程解决实际问题。教师在“代数方程”复习课中设计了归纳式问题链。

代数方程复习课：数学思想方法概括环节

问题9：对于这个问题情境，为什么想到用方程求解？用方程解决实际问题的一般步骤是什么？

问题10：用方程解决实际问题的过程中有哪些核心要点？

问题11：比较列方程的过程与列代数式的过程，二者有哪些联系与区别？

教师通过这三个问题，逐步引导学生总结出列方程解决问题的一般步骤：“审、设、列、解、验、答”，并归纳出方程解决问题的一般思路，即将实际问题转化为方程问题，通过解方程解决实际问题（见图5），进而总结出方程建模的作用、步骤和要点。

4.反思性问题：引导知识体系建构过程的应用与创新

知识体系的建构过程逐步螺旋式上升，在经历了知识提取、知识重组、知识运用等活动后，通过反思性问题引导学生进行回顾与总结，帮助学生从单一维度的知识关联走向横纵贯通的知识体系建构，并且通过问题设计将视野从单元整体结构拓展到课程视野下整个数学体系，引导学生建立更广泛的知识联系，从而将“问题引导知识建构的建立”转向“运用结构自主学习”，实现学习方式的改变。

代数方程复习课：课堂小结环节

问题12：按照什么样的顺序来研究方程？

问题13：怎样引入方程？如何定义方程？如何求解方程？又是如何应用方程于实际生活中去解决实际问题？

问题14：你觉得用方程的这些研究方法还可以研究哪些数学知识？

问题12、14呼应了用本原性问题整体架构方程知识体系的建构，以问题情境形式能有效激发学生主观能动性，让学生自主建构知识体系。问题指向体系建立的核心价值之一，即在课程视野下寻找与方程研究思路、方法相类似的知识进行类比迁移。值得一提的是，课堂上学生都提出了用研究方程的方法研究不等式，从而建立如下学习方式类比途径（见图6）。

数学是思维的体操，培养高阶思维是初中数学的重要目标。在教学中设计本原性问题为统领的基本问题链驱动课堂教学，是促进高阶思维发展的有效手段。这种教学设计是从注重问题解决向注重问题驱动的转变，是从知识传递向体验生成的转变，从注重形式向注重实质的教学设计转变。在这种任务驱动式教学样态中，“预设的驱动性情境和问题”“学生问题解决中产生的问题”“教师的引导性问题”，以及“解决问题的学习环境”构成了高阶思维视角下本原性问题驱动学习的基本要素。

对于一线教师来说，要真正实施本原性问题驱动教学，需要专家和广大理论研究者一起提炼并形成可操作性的学科统领性观点，将其作为参照。这样教师更能接受这种教学方式，才能在有效的本原性问题基础上，把重点放在课堂进程中，给予学生的认知解惑、启发与点拨，最终促进知识的有意义理解与自主建构。

Design of Fundamental Questions in Middle School Mathematics Teaching

FU Zhao

（Shanghai World Foreign Language Academy，Shanghai，200233）

Abstract： Fundamental questions are those that highlight the essence of the subject and focus on cognitive laws at the connection point between studentscognitive foundation and subject concepts，featuring inspiration，primacy，and leadership. Mathematics teaching in junior middle schools should take review classes as a carrier and explore the design strategy of fundamental questions based on knowledge sorting，knowledge recombination，and knowledge application. It should construct a question-based learning classroom centering on“fundamental questions”to promote knowledge connection and transfer，offer a guide for deep learning and understanding，and develop studentshigher-order thinking.

Key words： fundamental questions，question design，review class，higher-order thinking