基于数学核心素养的高中数学概念教学——以“函数单调性”概念教学为例

⦿ 浙江省绍兴市上虞区城南中学 方镇军

数学概念课是最重要的,也是最难上的.之所以说数学概念课重要,是因为数学概念是构成数学知识体系的基本要素,是学好数学的基础;之所以说数学概念课难上,是因为数学概念具有高度的抽象性,不易于理解和接受.在传统教学中,概念教学以教师讲授为主,教师讲得津津有味,学生却感觉索然无味,学生对概念的理解停留在浅层的认知上,直接影响对数学内容的后续学习.因此,在概念课教学中,教师要改变以往单调枯燥的教学方法,重视学生主体性的激发,让学生主动参与到概念学习中来,通过自主探究和合作交流加深对数学概念的理解.教师要认真研究教学内容、认真研究学生,基于学生现有认知水平创设有效的数学活动,引导学生亲历概念的生成过程,在加深概念理解的同时,潜移默化地提高学生的数学学科素养.笔者以单调性概念教学为例,谈谈对概念教学的一点粗浅认识,若有不足,请指正.

1 教学实录

1.1 创设情境,引入课题

师:图1是某市某天24小时内气温变化曲线图.观察图1,说说你的发现.

图1

教师引导学生观察,启发学生思考,捕捉有价值的信息.几分钟后,学生有了许多发现.

生1:结合图1可知当天的最高气温、最低气温.

生2:还能知道在某时刻的温度.(生2补充道)

生3:还能看出温度的变化趋势,如4～14时,温度逐渐升高;14～24时,温度逐渐下降.

师:大家都说得非常好.生活中,我们要学会用数学的眼光去观察和了解一些数据的变化规律,让数学更好地服务于生活.在实际生活中,你还了解其他的数据变化情况吗?

教师预留时间让学生思考、联想.

生4:降雨量曲线图.我们可以根据最近几年的降雨情况,预估当年的降雨量.

生5:历年出生人口统计表.我们国家可以根据相应数据来完善人口发展战略和政策体系.

生6:股票价格.

…………

师:如果从函数观点来刻画,你会如何刻画呢?

生7:随着自变量的变化,函数值也随之变化.

师:自变量变化时,函数值是变大还是变小,称为函数的单调性,这是我们本课重点研究的内容.对于函数的单调性我们并不陌生,在初中阶段就有了一定的认识,不过在初中阶段并没有给出严格的定义,今天我们重点研究函数单调性的严格定义.

设计意图：从学生熟悉的生活情境出发,让学生体会一个量随着另一个量的变化而变大或变小,自然引出本课研究的主题.此环节,教师鼓励学生列举一些其他生活实例,以此丰富学生的感性认识,激发学生数学学习兴趣和探索新知的热情.

1.2 借助直观,丰富认知

师:分别画出如下函数图象,并说一说自变量变化时,函数值的变化规律.(教师PPT出示函数.)

教师预留时间让学生动手画、开口说,通过交流让学生体会函数单调性是对于某个区间而言的,引导学生提炼概念的本质属性,培养学生数学抽象素养.

师:结合以上分析,请大家谈谈对增函数和减函数的理解.

(教师预留时间让学生思考并交流,然后点名让学生说说自己的理解.)

生8:对于函数f(x),在某个区间内,若y随着自变量x的增大而增大,则函数f(x)在该区间上为增函数;反之,若y随着自变量x的增大而减小,则函数f(x)在该区间上为减函数.

设计意图：基于学生已有知识和经验创设数学实践活动,让学生通过动手操作直观感知函数单调性,激发学生学习兴趣.同时在此过程中,充分发挥学生的主体价值,鼓励学生主动参与数学实践活动,提升学生数学学习能力和数学素养.

1.3 归纳概括,形成概念

图2

生9:似乎单看还不行,找不到确切临界值,需要结合解析式进一步分析.

设计意图：结合具体实例让学生体会,函数图象虽然直观,但是不够严谨,必须结合函数解析式,同时体会研究函数单调性的严格定义的必要性,以此让学生主动参与新知的探索中.

师:你能从函数解析式的角度证明f(x)=x2在[0,+∞)上为增函数吗?

生10:在[0,+∞)上任意取两个数,如取3和4,显然32<42,所以说f(x)=x2在[0,+∞)上为增函数.

生11:取两个值有点少,可以多取几组值,若通过多组值验证均能满足,则可以说明f(x)=x2在[0,+∞)上为增函数.

师:是吗?[0,+∞)区间内有无数个x,能否将所有x都取完呢?取特殊值法来验证真的行得通吗?

师:非常好,这样化特殊为一般,证明了以上问题.

设计意图：通过以上探究过程,学生体会在给定区间内任意取两个数x1,x2的重要性.同时,通过经历由特殊到一般的探究,学生对单调性的认知由感性上升到理性,为接下来抽象函数单调性严格的定义做铺垫.

师:结合以上探究过程,你能给增函数下定义吗?

在教师的启发下,学生主动思考、积极交流,得出增函数的严格定义.在此基础上,引导学生类比增函数的严格定义,给出减函数的严格定义.定义给出后,教师没有急于给出具体练习帮助学生巩固、强化,而是引导学生对概念进行深度辨析,由此加深对函数单调性的理解.在教师的指导下,学生明白:(1)单调性是相对某个区间而言的,是函数的局部性质,若抛开相应区间,单调性也就无从谈起;(2)并不是所有函数都有单调区间,如常函数;(3)若函数在定义域内两个区间A,B上都是增(减)函数,一般不可以说该函数在A∪B上是增(减)函数.

设计意图：教学中,教师提供机会让学生由特殊到一般归纳单调性的定义,以此培养归纳概括能力,提升数学抽象素养.生成概念后,教师预留时间让学生对概念辨析,以此加深概念的理解,从而为后期的应用打下坚实的基础.

1.4 学以致用,理解概念

例1下列说法是否正确?说说你的理由.

(1)设函数f(x)的定义域为[a,+∞),对任意x>a,都有f(x)>f(a),则f(x)在区间[a,+∞)上为增函数;

设计意图：巧借实例引导学生进行概念辨析,以此进一步完善和加深对函数单调性的理解.

1.5 课堂练习,课堂小结(略)

2 教学思考

2.1 关注生成过程

单调性概念是一个比较抽象的概念,若直接将概念呈现出来让学生识记,学生很难对单调性的概念形成深刻的理解,进而影响学习效果.因此,在概念教学中,教师应重视呈现概念的生成过程,创造机会让学生去探索、去抽象、去感悟,以此让学生全面且深刻地理解概念.

2.2 落实核心素养

数学核心素养的形成是一个长期的过程,它是无法依赖于教师的讲授达成的,而是需要学生主动参与课堂实践活动中,通过经历思考、探索、感悟等数学活动,不断积累活动经验,培养可持续学习的必备品格和关键能力,进而提升数学学科素养.

总之,在高中数学概念教学中,教师切勿急于求成,应注重概念形成过程,通过创设教学情境诱发学生思考与探究,让学生理解概念本质,有效提升概念教学质量,发展学生的学习力,落实数学学科素养.