运用对称美视角，寻求巧妙解题思路

杨娥

【摘要】对称思想是一种重要的数学思想，若能巧妙运用其对称性解题，便能化繁为简，迅速求解.本文以几何中形的对称和代数中量的对称为例，为解决数学问题提供新的思路和方向.教师应强化对称美解题的思想方法，提高学生的解题能力.

【关键词】初中数学；对称；解题技巧

对称思想不仅是数学体系七大数学思想中特殊与一般思想的具体应用，还具有很强的审美价值.这种形式美一则可以提升学生审美水平，丰富学生学习数学的情感体验，二则可以启发学生组织数学化信息，从而易于发现解决数学问题的思路［1］.本文从对称美的视角出发，粗略探讨其在解题中的运用.

1  几何图形中的对称美

1.1  巧妙利用中心对称

例1  以下（如图1所示）摆放着五个半径相等的圆，下面一排最左边圆的圆心是点O，如何作一条过点O的直线，将五个圆的面积平均分成两部分？

图1

图2

解析  方法1  圆是轴对称图形，做这道题时要考虑它的对称特点.可以在右上角补一个圆心为P的同样大小的圆，六个圆就构成了一个中心对称的图形，如图2所示.连接直线OP，就将这个图形分成了同样大小的两部分.

方法2  如果不另外补充圆，只在原有图形的基础上考虑，可以尝试在本来的图形中找到对称点.左边的圆形是轴对称图形，解题的关键就是找到右边四个圆形的对称中心：沿着四个圆相切的点，作两条相交的线，交点为P，连接OP即可达到题目要求如图3所示.

图3

图4

1.2  掌握对称思想方法

例2  “今有圆材，埋在壁中，不知其大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？［2］”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：有一个直径为CD的圆，CD垂直弦AB于点E.已知CE=1寸，AB=10寸，直径CD的长是多少？

解析  “圆材埋璧”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题.本题综合考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法.因为圆是轴对称图形，教师可以指导学生根据垂径定理来证明，解题中让学生体会圆的对称性质.根据垂径定理可知AE的长度.在Rt△AOE中，运用勾股定理可将圆的半径求出，进而可求出直径CD的长.

因为弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，

所以AE=5，OE=OA－1，

在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2，

即OA2=（OA－1）2+52，

解得OA=13，所以直径CD=2OA=26寸.

解题的关键步骤就是关注问题中所体现出来的轴对称，运用对称思想来审题，寻找其中的对称性，抓住数学问题的本质属性，将复杂问题简单化，便可得到较为巧妙的解题思想.

2  数式结构中的对称美

2.1  以数列为载体

例3  由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成所有可能没有重复的四位数，它们的和是多少？

解析  本题容易让人产生用列举法解题的念头，但是由于合乎要求的四位数多达（9×8×7×6）=3024个，显然这种想法是行不通的.这列数从小到大依次是：1234，1235，1236，……1239，1243，……9874，9875，9876.观察容易发现，此列数（非等差数列）具有一定的对称性：1234+9876=1235+9875=……=1243+9876=11110.显然，所有四位数的和就可以轻易求出来，即（3024÷2）×11110=16798320.

2.2  以函数为载体

例4  若抛物线M：y=x2+（3m－1）x－5与抛物线M′：y=x2－6x－n+1关于直线x=1对称，则m，n的值分别为（  ）

（A）m=113，n=－2.  （B）m=－13，n=－2.

（C）m=13，n=－2.   （D）m=1，n=－2.

解析  本题主要考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，轴对称图形的性质，熟练掌握和运用轴对称图形的性质是解决本题的关键.首先可分别求得抛物线M及M′的对称轴，再根据轴对称图形的性质，即可求得m的值；根据抛物线M与y轴的交点坐标，即可求得交点关于直线x=1对称的点的坐标，再根据该点在抛物线M′上，据此即可求解.

由抛物线M：y=x2+（3m－1）x－5可知，抛物线M的对称轴为直线x=-3m－12，交轴于点（0，－5），

抛物线M′：y=x2－6x－n+1的对称轴为直线x=-－62=3，

因为抛物线M：y=x2+（3m－1）x－5与抛物线M′：y=x2－6x－n+1关于直线x=1对称，

所以12-3m－12+3=1，

解得m=1，

所以点（0，－5）关于直线x=1对称的点（2，－5）

在抛物线M′：y=x2－6x－n+1上，

所以把点（2，－5）代入得－5=4－12-n+1，

解得n=-2，故（D）正确.

2.3  以應用为载体

例5  剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，－n），其关于y轴对称的点F的坐标（3－n，－m+1），则（m－n）2022的值为（  ）

图5

（A）32022.   （B）-1.   （C）1.   （D）0.

解析  本题考查坐标与图形变化——轴对称，解二元一次方程组，解题的关键是掌握轴对称图形的性质.关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此求出m和n，再代入求值.

因为E（2m，－n）与F（3－n，－m+1）关于y轴对称，

所以2m=－（3－n），－n=－m+1，

解得m=－4，n=-5.

所以（m－n）2022=－4－（－5）2022=12022=1.

故选（C）.

3  结语

对称美是美学的一个基本概念，是数学美最重要的特征.教师在引导学生欣赏对称美的同时，也要使学生有意识地运用对称思想去思考问题，帮助学生在解题时找到简洁的解法，加深对数学的理解.

参考文献：

［1］张昆.数学解题教学设计的创新实践研究——基于“美学”的视点［J］.数学教育学报，2015，24（05）：41-45.

［2］肖灿，朱汉民.勾股新证——岳麓书院藏秦简《数》的相关研究［J］.自然科学史研究，2010，29（03）：313-318.