初中数学综合性难题的解题方法分析

孙至斌

【摘要】初中学生在数学学习中，需要不断提高解题能力，尤其是对于综合性难题，降低解题失误，纠正差错，从而提升学生的综合能力.掌握正确的解题技巧，能够触类旁通、举一反三，并且可以培养学生的分析及解决问题的能力，发展学生的思维能力及数学素养，对学生学习有重要的意义.

【关键词】初中数学；综合性难题；解题技巧

综合题的题型新颖，并且富于变化，集许多数学知识点为一体，对学生来说有一定的难度.但综合题能够考查学生的分析、观察、概括能力，考查学生对数学知识的掌握程度，鼓励学生探索.综合运用数学知识的能力，也体现了学生的数学素养.因此，在新课程背景下，要关注和发掘学生的建构性、探索性、主体性，总结综合性难题的解题方法，指导学生提高解题能力，实现素质教育的目标.

1  方程思想

在初中数学综合性难题的解题中，需要考虑方程思想的应用.方程思想，在研究函数性质、解析式、综合解题中，都是不可或缺的.根据已知条件，通过列出方程组，或者有关方程，就可以解答出题目.在解决初中数学综合性难题中，要有方程求解的思想，利用方程解题.

例1  A地区在募捐物资的过程中，共获得粮食100吨，食品54吨.为了运输所有的物资，租用了甲、乙两种货车共8辆，其中一辆甲货车可以运输粮食20吨、食品6吨.一辆乙货车可以运输粮食8吨、食品8吨.如果一次性运输解决所有的货物，租用方案有哪些？如果租用甲货车和乙货车的费用分别为1300元、1000元，采取哪种方式可使运输总费用最低.

解题思路  对于第一个问题，有多少种租用方案，有两种解题方式.

其一，假设租用甲货车x辆，列出不等式为（20+6）x+（8+8）（8-x）≥100+54，解不等式结果为x≥135.根据题目可知，总共选取8辆货车，共有六种租用方案.租用甲货车分别为3辆、4辆、5辆、6辆、7辆、8辆，由此可获得相应的乙货车数量.

其二，假设租用甲货车x辆，乙货车（8-x）辆，列出不等式组：20x+（88-x）≥1006x+（88-x）≥54，求解，获得x的取值.

对于第二个问题，列出关于运费s的方程，1300x＋10008-x=300x＋8000.要使运费最少，取x值为3.

2  数形结合思想

初中数学许多综合性难题与坐标系密切相关，数形结合思想也是解决初中数学综合性难题的一种思路.通过坐标系，建立数字和点的联系.通过坐标之间的对应关系，利用几何的直观性，能够获得代数问题的答案.对于几何图形的性质，也可以采用代数的方法进行解决.数形结合思想可以應用于数学教学中，从而加深学生的理解，提高学生的认知.利用数形结合思想，解决综合性难题，同时培养学生解决问题的能力和数学思维.

例2  一次函数y=32x＋m与y=-12x＋n的图象都经过点A（-2，0），且与y轴分别交于B，C两点，求△ABC的面积.

解题思路  函数图象交点问题，借助图形更加简单，可以将题目转化为方程组进行求解.

画出图象：

根据两条直线的图象都经过点A（-2，0），

代入y=32x＋m与y=-12x＋n，

可得m=3n=-1.

由此获得函数的关系式：y=32x＋3与y=-12x-1，所以

点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（0，-1）.

可得△ABC的面积为12×OA×BC=4.

3  分类讨论思想

在初中数学综合性难题的解题中，可以采用分类讨论的思想.分类讨论考查学生的数学思维和能力，通常这类综合性问题结论具有不确定性，条件具有多变性.由此对学生的严密性、准确性进行考查，如果不注意分情况讨论，容易出现漏解或者错解的情况.随着近年来中考题型的变化，分类讨论在综合题中的应用逐渐增多.对于综合性难题的解决，通过分类讨论，实现化繁为简、化难为易，将大难题转化为一个个小问题，从而有效解题.在分类讨论解题的过程中，也可以培养学生的全面思维能力.

例3  平面直角坐标系中，点C关于原点O的对称点为点A（5，0），在第一象限内有点B，∠OBA=∠OAB.点B关于原点O的对称点为点D.四边形ABCD是矩形.现有从B点出发的一点P，沿着路线B-A-D向D点移动，速度为每秒1个单位长度.从A点出发的动点Q，沿着AC方向向C点运动，速度为每秒0.4个单位长度.其中一个点到达终点时，另一点也停止运动.假设P、Q的运动时间为t秒，AB=6在运动过程，当动点Q，在以PA为直径的圆上时，求t的值.

解题思路  画图进行分情况讨论，解题更加容易，如图所示.

因为四边形ABCD为矩形，AB=6，所以∠ADC=∠CBA=90°，

AB=CD=6，

又因为A（5，0），所以AC=10.

根据勾股定理，有AD=BC=8.

则6＋81=14，

100.4=25.

由此0≤t≤14.分情况讨论：

（1）当0≤t≤6时，点P在AB上，连接PQ，∠PQA=90°.

图2

有△PAQ∽△CAB，可得6-t10=0.4t6，

解得t=3.6.

（2）当6＜t≤14时，点P在AD上，连接PQ，∠PQA=90°.

有△PAQ∽△CAD，可得t-610=0.4t8，

解得t=12.

因此，t值可能为12s或者3.6s.

4  结语

综合性难题是对学生数学思维和能力的考查，学生要掌握综合性难题的阅读技巧，总结解题方法和技巧，充分应用数形结合、分类讨论等方式，学会解决常用题型，锻炼和培养自己的解题能力，高效解答综合性难题，提高初中数学的学习效果.

参考文献：

［1］吕明娟.应用解题技巧优化初中数学难题［J］.数理天地（初中版），2022（04）：8-9.

［2］彭菲.策略引领，让深度学习在初中数学课堂中深化［J］.数理天地（初中版），2023（03）：57-59.

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［4］崔文东.数形结合思想在初中数学解题中的应用研究［J］.数理天地（初中版），2023（13）：33-34.

［5］张双喜.转化思想在初中数学解题教学中的应用［J］.数理化解题研究，2023（11）：11-13.