例谈初中数学几何最值问题的两种解题思路

胥凤霞

【摘要】初中数学的几何最值问题属于热门考查问题，主要针对几何图形的线段、周长、面积的最值进行提问，具有一定的难度.解答几何最值问题主要有两个不同角度，即几何图形角度和代数运算角度，每个角度对应的解题思路和知识点各不相同，都是学生需要关注和学习的内容.本文结合具体例题分别对几何定理解题思路和函数模型解题思路进行分析，以此丰富学生的解题思路和方法，帮助学生开拓思路，提高解题效率.

【关键词】初中数学；几何最值；解题技巧

1  几何定理法

几何图形解题思路主要是指凭借常见的几何定理得到最值情况对应的具体几何图形，从而对问题做出解答.常见的几何定理有：两点之间，线段最短；直线外一点到直线上所有点的线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等.灵活运用这些几何定理，能求得最值对应的具体图形，进而能对问题做出具体的解答.

例1  如图1，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点，则EC+ED的最小值为.

剖析  求两线段之和的最小值，可借助两点之间线段最短的几何定理求解.由于△ABC是等腰直角三角形，根据角平分线上的点到角两边距离相等，将C点等价转化为关于AB对称的C′点，其次最小值对应D、E、C′三点共线情况，运用勾股定理即可求得具体最小值.

解  作关于AB的对称点C′，

当D、E、C′三点共线时，如图2，

即EC+ED的最小值等于C′D，

因为∠CBA=∠ABC′=45°，

所以∠DBC′=90°，

在△DBC′中，

DC′=DB2+C′B2=12+22=5，

所以EC+ED的最小值为5.

变式  如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，点O为AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则点D在运动过程中，线段OE的最小值为.

剖析  求线段的最小值可考虑运用垂线段定理解题，首先根据已知条件找出一对全等三角形，将OE线段长度转化为便于求解的O′D线段长度，即求出垂直情况的O′E线段长度，即可得到问题所求最小值.

解  取AB中点O′，连接DO′，

因为∠DAO′=90°－∠DAC，

∠EAO=90°－∠DAC，

所以∠DAO′=∠EAO，

又因为O和O′分别是AC和AB的中点，

所以AO′=AO，

在△ADO′和△EAO中，

AE=AD∠DAO′=∠EAOAO′=AO，

所以△ADO′≌△AEOSAS，

所以DO′=EO，

当O′D⊥BC时，O′D最小，

因为△BDO′是等腰直角三角形，

所以O′D=22BO′，BO′=12AB=1，

所以O′D=22，

所以OE最小值为22.

2  函数模型法

代数运算解题思路主要是将问题所求用函数关系进行表达，以具体的函数解析式形式求解几何最值问题.函数模型方法的运用，在于假设动态值，建立问题所求与假设变量之间的关系，得到具体函数解析式，从而对问题做出具体解答.函数模型思路通过运算进行解题，也同样是学生需要掌握的一种解题思路.

例2  如图5所示，已知AB=10，点P是線段AB上任意一点，在AB同侧分别以AP、PB为边长做等边△APC和等边△BPD，则CD的最小值为.

剖析  借助问题所给条件构造直角三角形，即假设变量动线段AP，再构造与CD有关的函数解析式，根据勾股定理得到具体的解析式后，分析变量范围求函数的最小值，即可求得CD的最小值.

解析  如图6所示，作CC′⊥AB于点C′，DD′⊥AB于点D′，DQ⊥CC′于点Q，

假设AP=x，BP=10－x，

因为△APC、△BPD是等边三角形，

图6

所以CC′AP=cos30°=32，

DD′BP=cos30°=32，

所以CC′=32x，DD′=3210－x，

因为C′P=12AP，D′P=12PB，

所以QD=C′P+D′P=12AP+PB=5，

根据勾股定理，可得CD2=CQ2+DQ2，

因为CQ=CC′－C′Q=CC′－DD′

=322x－10，QD=5，

所以CD=CQ2+DQ2=3x－52+25，

当x=5时，CD有最小值，即最小值为5，

故CD的最小值为5.

3  结语

上述例题分别对几何图形和代数运算两种解题角度与思路进行分析与总结，一些常见的几何定理和函数模型都是解题的基础，需要学生熟悉与掌握.结合所给条件和几何图形选择合适的思路与方法解答问题，才能真正提高解题效率，开拓解题思路，提升个人综合素养与能力.

参考文献：

［1］丁力.初中数学几何最值问题探究——以“将军饮马”问题模型的解题策略为例［J］.数学教学通讯，2020（14）：79-80.

［2］兰春燕.初中数学常见“几何最值问题”探析［J］.福建基础教育研究，2019（08）：65-67.