例析目标意识在解题中的应用

⦿ 西华师范大学 姚山雪 李红梅(通讯作者)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出以素养为导向,落实“立德树人”的根本任务.波利亚在《怎样解题》中提出“中学数学首要的任务就是加强解题的训练”,因此培养数学核心素养的重要途径是培养学生的数学解题能力.

目标意识是指对目标重要性的认识,解题活动就是在目标意识的监控下进行的有目的的思维过程.但在应试教育的影响下,许多教师不能将解题的重点放在分析目标上,而是将大量时间花费在技巧归类、总结题型的套路上,导致学生解题能力得不到有效提升.下面以一道几何题为例,分析目标意识在解题中的应用.希望能引起教师对学生目标意识培养的重视.

1 例析目标意识在解题过程中的应用

俗话说“解题不在于多,而在于精”.解题教学中,若选用过多类型的例题来剖析,学生一方面要多解题,另一方面要体会目标意识的作用,则会手忙脚乱.笔者认为一题多解类题目更能帮助学生从整体直观地体会解题过程中目标意识所发挥的作用.同时,一题多解类题目也可培养学生从多角度思考问题的能力,是最能锻炼学生思维能力的题目类型.

“图形与几何”是初中数学的重要模块之一.然而对学生来讲,平面几何的学习是一个挑战.首先,几何概念的抽象加大了理解难度;其次,几何语言的表达难以规范;最后,复杂图形分析难度高.因此,平面几何可以很好地考查学生的综合解题能力.基于此,本文中将通过一道几何题的一题多解来分析目标意识是如何帮助我们解题的.

1.1 例题呈现

如图1,在△ABC中,AC=CB,∠ACB=120°,点D在AB边上,∠EDF=60°,当D为AB的中点且∠EDF的两边分别交线段AC,BC于点E,F时,求证:DE=DF.

图1

1.2 例题分析及解答

思路1：要证DE=DF,即证两条线段相等,根据已有经验要证明线段相等,可以通过证明三角形全等来实现.图1中DF与DE所在的三角形只有△ADE和△DFB,根据所给条件无法证明这两个三角形全等.此时可以通过添加辅助线来构造三角形,过点D作AC,BC的高线构造两个直角三角形即可证明.

目标意识分析：图中没有直角三角形,如何构造?思维遇到死角.当目标难以从正面接近,可逆向思考,将试题中的结论反置为条件,以结论为解题的抓手.如本题中将证明DE=DF转化为证明三角形全等(包含DE,DF边的两个三角形).要实现新目标,结合题设条件D为AB的中点,可过点D作高构造直角三角形.作高构造直角三角形在中学几何题目中是十分常见的方法,学生很容易想到.

证明：如图2,过点D作DM⊥AC,DN⊥BC,垂足分别为M,N,可得∠DMA=∠DNB=90°.由AC=CB,得∠A=∠B.再由D是AB的中点,得DA=DB.因此在△ADM与△BDN中,∠A=∠B,∠DMA=∠DNB、DA=DB,所以△ADM≌△BDN(AAS),则DM=DN.又∠ACB=120°,∠EDF=60°,所以∠DEC+∠DFN=180°.因为∠DEC+∠DEM=180°,所以∠DEM=∠DFN.在△DME与△DNF中,∠DME=∠DNF,∠DEM=∠DFN,DM=DN.所以△DME≌△DNF(AAS).证得DE=DF.

图2

思路2：主抓条件∠DEF=60°,联想60°通常在等边三角形中出现,考虑在底角为30°的等腰三角形ABC中构造等边三角形.

目标意识分析：抓住条件∠DEF=60°,确定解题目标为在底角为30°的等腰三角形ABC中构造等边三角形.考虑在BF边上取一点G,使得∠BDG=30°,则DG=GB.再根据等腰三角形三线合一性,CD是AB边的高线,所以△CDB是直角三角形.再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,发现G为BC中点.又∠DGF=∠DCG=60°,所以CG=DG,等边三角形DCG构造完成.

证明：如图3,连接DC,取BC的中点G,连接DG.又CD是AB边的高线,所以△CDB是直角三角形,则CG=DG=GB,于是∠B=∠BDG=30°,∠DGF=60°,所以△DCG为等边三角形,可知∠CDG=60°,DC=DG.由∠EDF=60°,知∠EDC+∠CDF=60°,又∠FDG+∠CDF=60°,所以∠EDC=∠FDG.又∠DCE=∠DGF=60°,所以△DEC≌△DFG(ASA).证得DE=DF.

图3

思路3：主抓条件∠A=∠B,AD=BD,出现边角重合,考虑可以通过构造折叠图形来证明全等.

目标意识分析：抓住已知条件∠A=∠B(角重合),D为AB的中点(边重合),因此,新目标为构造全等三角形.如BD边所在的三角形有△DFB,就可考虑将△DFB按照角进行折叠,在AC边取与BF相等的线段构造全等三角形,或者找AD边所在的三角形ADE,通过折叠,在BC边构造全等三角形.因此本题可以分为两种证法.(1)在AC上截取AH=BF.(2)在BC上截取BH=AE.

证明：如图4,在AC上截取AH=BF.因为D为AB的中点,所以AD=BD.在△ADH与△BDF中,AD=BD,∠A=∠B,AH=BF,所以△ADH≌△BDF(SAS),则DH=DF,∠AHD=∠BFD.因为∠ACB=120°,∠EDF=60°,所以∠DEC+∠CFD=180°.又∠DFB+∠CFD=180°,所以∠DEC=∠BFD,即∠AHD=∠DEC.所以∠EHD=∠DEH,从而证得DE=DF.

图4

思路4：因为∠ACB=120°,∠EDF=60°,可以引导学生发现D,E,C,F四点共圆.

目标意识分析：题设条件中∠ACB,∠EDF两角互补,发现D,E,C,F四点共圆.解题的目标转化为在圆中证明两条弦相等,把DE,DF两弦放在△DEF中,此时新的解题目标就成为证明∠DEF=∠DFE.

证明：因为∠ACB+∠EDF=180°,所以D,E,C,F四点共圆.如图5所示,在圆中,∠DEF=∠DCF,∠DFE=∠DCE.又因为在等腰三角形ABC中,CD平分∠ACB,所以∠DCF=∠DCE=60°,从而∠DEF=∠DFE,证得DE=DF.

图5

2 解题反思

2.1 加强目标意识培养,提升解题能力

目标意识与解题活动相辅相成.教师应在解题活动中,着力培养学生的目标意识,提升学生解题能力.

(1)引导学生重视目标导向性,明确解题目标

重视目标的导向性,有利于学生对问题的深刻剖析,在解题过程中,有些问题目标往往表达含蓄、难于把握.因此,应使目标“看得见”“摸得着”,进而找到解题的突破口.

例如在本题中,教师通过以下三方面培养学生的目标意识,帮助学生明确解题目标.

方面一:抓住已知条件,明确解题的目标.

“注重已知”是波利亚对解题的建议.在解题时,一定要抓住题设条件,思考是否有类似的结论或命题.可以进行大胆的猜想,考虑是否可以构造条件来与已知条件相辅,由一般到特殊,再从特殊到一般,一番思考后,解题思路将逐步清晰,解题目标也就随之形成.本题中主抓条件AC=CB,∠ACB=120°,容易得到△ABC为等腰三角形,∠A=∠B.再由条件D为AB的中点,得到AD=BD.根据∠A=∠B,AD=BD两条件发现边、角重合,明确解题目标为构造折叠图形证明全等(思路3).若主抓条件∠EDF=60°,将解题目标确定为构造等边三角形(思路2).

方面二:利用整体观点,明确解题目标.

在解题过程中,如果目标特征难以确定时,全局意识可帮助我们由条件导出整体结构,发现简便的解法,达到解题的目的.本题中,发现条件中∠ACB,∠EDF两角互补,看起来毫无关联,但当我们利用整体观点时,就会发现这两个角是四边形DECF的对角,根据圆的性质,得出四点是共圆的(思路4).此思路简约自然,最大限度地合理利用了已知条件.

方面三:借助反置思维,明确解题目标.

反置思维就是把试题中的结论反置为条件,以结论为解题的抓手,并与题设的部分(或整体)条件有机结合,通过转化,得出一个题设条件的“结论”,这个“结论”便是解题的目标.本题中,从题设入手无法快速确定解题目标,可将结论DE=DF当为条件,结合D为AB的中点,过点D作高构造直角三角形,通过转化得到解题目标为证明包含DE,DF边的三角形全等.

(2)引导学生评判解题的过程,优化思维结果

目标意识随时监控着思维活动,评价解题的过程.例如,所选方法能否成功解题,解题过程是否繁杂,是否存在最优解法,等等,这些都需要目标意识的调控.目标意识帮助我们避开弯路,寻找捷径,使解题过程更简洁优化.例如本例题中,首先,目标意识确保了我们所选的四种方法都“走得下去”;其次,当我们的解题步骤繁琐时,目标意识会驱使我们重新审题,检查是否漏了条件或过程错误;最后,在解题完成后,目标意识促使我们进行反思,还有没有其他的方法,最优解法是什么等,针对本题的目标,思路4是最优解题路径,证明过程最为简捷.

2.2 关注一题多解训练,培养发散思维

大部分的中考试题其实都源于教材上的例习题,这些题目往往蕴含着丰富的数学知识与思想.教师在解题教学中要认真研读课标、教材,要善于利用“一题多解”,对问题进行不同角度的剖析,拓宽学生思维的深度与广度.

同时,教师更要充分挖掘例题的功能和价值,让学生在有限的解题教学中“做一题,学一法,会一类,通一片”,发展数学关键能力,提升核心素养.