一题多解强能力，一题多变提素养，多题归一探本质

1 一题多解强能力

解题就是对提出的问题进行解答的过程，是一种将未知问题化为已知问题的过程.这个过程需要针对学过的知识点进行归纳整理转化，将复杂问题转化为简单问题，将难懂问题转化为已把握问题，这更需要进行数与形之间的转换，也需要在宏观与微观之间进行等价变化.解题能力是学生数学素养中表现最为突出的一种能力，数学思想的运用更是能力的一种着重体现.对有些问题，如果能采用多种方法进行渗透解答，于学生而言是一种强能力的体现.

例题1如图1所示，已知∠MON=120°，P，A分别为射线OM和射线ON上的动点，将射线PA绕着点P逆时针旋转30°交射线ON于点B，试求OAAB的最大值.

解法1：考虑到问题情境中只有两个已知角度∠MON和∠BPA，此时根据对所学知识点的把握和经验了解到可以用圆的知识来解答，故考虑利用“隐圆”来突破，如图2.

以PB为底作等腰三角形BDP且PD＝BD，过点B作BH⊥射线PD于点H，过点O作OC⊥PD于点C，可得∠BPA＝∠PBD＝30°，求得∠BDP＝120°，∠BDH＝60°，推出点P，O，D，B在以点E为圆心的圆上，当OE⊥PD时，OC的值最大.根据相似三角形的性质，得OAAB=OCBH.根据等腰三角形的性质，得∠EPB＝∠EBP＝30°，求得PD＝2PC，得到OC＝OE-EC＝PD-32PD，则BH＝BD[J]5sin∠BDH＝32BD＝32PD，于是得到OAAB的最大值为233-1.

解法2：根据问题情境，考虑到求OAAB的比值问题，此时可以联想相似三角形的对应边比值问题，故可构造相似三角形进行解答.

要使OAAB最大，只要ABOA最小，则可以得到ABOA+1最小，即OBOA的值就最小，若OB为定值，则OA最大即可满足要求.

根据∠BPA=30°，可以利用“一线三等角”模型构造相似三角形.如图3，在射线OM上作OC=OB，再作AF⊥OB于点A，根据条件可得∠AFO=30°，

则可以得到△BCP∽△PFA，

此时可令OC=OB=1，再设AO=a（0＜a＜1），CP=b，则可得到BC=3，OP=1-b，OF=2a，AF=3a.根据BCPF=CPFA，得到31－b+2a=b3a，建立关于b的一元二次方程，因有解，可利用Δ≥0解得a≤1－32，得到OA的最大值，即得OAAB的最大值为233-1.

解法3：如果我们转化解题思路，将题干中的动点P，B固定，让点O运动，则点A也随之运动，点E为定点，作BC⊥PA，垂足为点C，可知BC长度始终不变，此时∠BOP=120°也始终不变，

故可作△POB的外接圆Q，如图4，作OD⊥AP，垂足为点D，此时设PQ=BQ=2m，则PB=23m，可得BC=3m，根据△OAD∽△BAC，得到OAAB=ODCB=OD3m.当O运动到PE的中点时，OD最大，此时值为2m－3m，可得答案.

2 一题多变提素养

题海无边，我们对数学问题的把控，不能纯粹通过做题去达成，这样也根本达不成我们学习数学的目的.但是如果借助一种题的学习，通过变通，不断变换问题的模型，或通过改变条件或结论进行一题多变，从而挖掘问题的本质，以此来培养学生问题变通能力，追本溯源，可以培养学生触类旁通、举一反三的解题能力，真正提升学生的数学核心素养.

例题2如图5，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与一次函数y＝mx+c（m为常数，且m≠0）的图象分别相交于点C（0，3）和E，直线CE与x轴交于点D（4，0）.

显然，根据题意可以直接求得二次函数的解析式及其对称轴；再根据上述条件将问题进行变式设计，编制出更多种类型的问题：

变式1若P是该抛物线对称轴上一动点，则连接AC，PA，PC，△PAC的周长能否取得最小值？若能，试求点P的坐标；若不能，请说明理由.

变式2若Q是该抛物线对称轴上一动点，则连接QC，QE，△QCE的面积能否取得最大值？若能，试求点Q的坐标，并求出面积的最大值；若不能，请说明理由.

变式3若M是平面直角坐标系中任一点，且与点A，C两点组成等腰三角形，试求点M的坐标.

变式4若N是平面直角坐标系上任一点，且与点A，C，E三点构成平行四边形，试求点N的坐标.

变式5若G是第一象限内抛物线上一点，是否存在∠GCE=∠ACO？若存在，试求点G的坐标；若不存在，请说明理由.

这样我们可以结合某一道试题的背景，展开综合性的变式训练，让学生能够在一题多变中寻求突破的方法与思想，轻松把握问题的解答思路，从而在数学素养上得到提升.

3 多题归一探本质

在数学问题探究过程中，真正让学生通过训练，寻求一种简单模型，进而通过模型的把握，掌握一系列问题的通解，把握知识的系统化与大框架思路，能更好地引导思维走向深刻、能力更加创新发展，甚至通过模型的初步类比迁移，提炼“归一”，能够以不变应万变，让问题真正在归一的道路上扎根发芽，这样才能引导学生走上数学王国的宝殿.

例如下面的几种类型问题，我们在解答过程中发现都涉及到了一种模型，模型一旦建立，问题便迎刃而解.

问题1如图6，一次函数y＝-2x+2的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点.将直线AB绕点A逆时针旋转45°，得到直线l，求直线l对应的函数表达式.

点拨：我们发现题目中有45°特殊角，如何利用这个特殊角度是解题的关键.此时可过点B作BH垂直直线l，再利用点A，H分别作坐标轴的垂线，构造矩形AMNO，如图7所示，问题就变得容易突破.

问题2如图8，请你用无刻度直尺作出△ABC的高BF.

点拨：问题要求过点B作一条直线垂直AC即可，但是如何找到点F有一定难度，且还需要说明理由.根据AC所在的位置，可以构造一个3×4的直角三角形，此时利用“一线三等角”，在BC下方也构造一个直角三角形，从而形成“一线三直角”，问题得解，如图9.

问题3如图10，A，C分别是等边三角形DEF边上的两个动点，且满足CD=12AE，连接AC，再以AC为边在△DEF内部作等边三角形ABC，连接BF，点A在线段ED（不与点D重合）上运动的过程中，试判断∠CFB的度数变化情况？并说明理由.

点拨：如图11，在CF上取一点N，使得FN＝DC.证明△ADC≌△CNB（SAS），推出BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，可得∠CFB＝30°为定值.

当然，相关数学问题的研究不只这几种类型，更多的是从本文中获得一种数学能力提高、素养提升的方式，让学生在解题过程中多思考，多研究，共探究，让数学问题最终“归一”，突破瓶颈，回到问题本质上来.