三角形内心与外心的区分及应用

摘要：三角形的内心和外心虽冠以“三角形”之名，但它是与圆有关的问题.三角形的内心与外心在初中几何部分也具有非常重要的地位，且从学生的解题情况来看，学生极易将二者的性质及作法混为一谈.本文中说明了有效区分三角形的内心与外心的方法，并帮助学生正确应用于解决问题中.

关键词：三角形；内心；外心

三角形的内心和外心是初中几何部分非常容易混淆的两个知识点，在解决几何问题时，学生也经常出现混用内心和外心的性质、作法等现象，这给学生学习与圆有关的知识带来了较大困惑.基于三角形的内心与外心在中考中的地位，同时兼顾学生在这方面的学习现状，本文中对如何有效区分三角形的内心与外心进行了研究.

1 理论明晰

要想有效区分三角形的内心和外心，首先应从二者的理论本质出发，再从多个方面对二者进行对比.所以，本文先介绍二者的理论内容.

1.1 三角形的内心

（1）概念

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

由此观之，分别作三角形三个内角的角平分线，它们会相交于一点，该点就是三角形的内心.

（2）性质

三角形的内心到三角形三边的距离相等.

需注意的是：首先，这一“距离”就是内切圆的半径长；其次，这一“距离”是点到边的距离.“距离”是点到边的距离，是有效区别于三角形的外心的重要方法.

（3）作法

根据三角形的内心的概念，作出一个三角形的内心，只需分别作三角形三个角的角平分线，它们会相交于一点.另外，由于一个三角形三个角的角平分线一定会相交于一个点，而两条相交直线确定一个点，所以只需作出两个角的角平分线即可.这是三角形的内心的简单作法，如图1所示.

1.2 三角形的外心

（1）概念

三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

由此观之，分别作三角形三条边的垂直平分线，它们会相交于一点，该点就是三角形的外心.

（2）性质

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.

需注意的是：首先，这一“距离”就是外接圆的半径长；其次，这一“距离”是点到顶点的距离，这是有效区别于三角形的内心的重要方法.

（3）作法

根据三角形的外心的概念，作出一个三角形的外心，只需分别作三角形三条边的垂直平分线，它们会相交于一点.另外，由于一个三角形三条边的垂直平分线一定会相交于一个点，而两条相交直线确定一个点，所以只需作出两条边的垂直平分线即可.这是三角形的外心的简单作法，如图2所示.

2 对比研究

上文从概念、性质和作法三个方面对三角形的内心、外心作了理论说明，下面通过一个表格（如表1）将二者进行对比.

从表1可看出，三角形的内心和外心最大的不同主要体现在作法和对“距离”的理解两个方面：

首先，三角形的内心是通过作三个角的角平分线获得，如图1.而三角形的外心是通过作三条边的垂直平分线获得，如图2.

其次，三角形的内心是到边的“距离”相等，而三角形的外心是到顶点的“距离”相等.

以上是有效区分三角形内心和外心的两个方面.为了让学生对二者的区别有更深刻的印象，笔者在实际教学中采用了“联想法”：

“内”字中的倒“丫”字形与角平分线非常相似，所以看到“内心”即联想到角平分线，进而联想到角平分线的性质——角平分线上的点到角的两边的距离相等，即三角形的内心到角的两边的距离相等.

“外”字中“卜”可形化为“├”，它与垂直平分线的几何图形“⊥”十分相似.所以，看到“外心”即联想到垂直平分线，进而联想到垂直平分线的性质——垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即三角形的外心到边的两端点的距离相等.

该“联想法”自笔者在课堂中实践以来，越来越多的学生从以前对内心、外心易混的状态转变为十分清晰的状态，解题的速率和正确率也得到了较大提升.

3 理论实践

学习数学知识是为了最终用其解决实际问题，这就是所谓的“学以致用”[J].因此，为了巩固上文中提到的“联想法”，同时为了进一步有效区分三角形的内心和外心，教师不妨将其与实例相结合.

例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，O为其内切圆的圆心，D，E，F分别为⊙O与BC，AC，AB的切点.求△ABC内切圆的半径r.

分析：在直角三角形中，连接内切圆的圆心和切点，与两直角边构成正方形，然后利

用正方形的性质即可解决.

解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5.

如图4所示，连接OD，OE，OF，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.

∵OE=OD，

∠CEO=∠CDO=∠C=90°，

∴四边形DCEO是正方形.

∴CE=CD.

连接OB.

∵OB=OB，OF=OD，

∴Rt△BOD≌Rt△BOF.

∴BF=BD.

同理，可证得AE=AF.

∵BD+r=4，

EA+r=3，

BD+EA=BF+FA=5，

∴BD+EA+2r=7.

∴2r=7-（BD+EA）.

∴△ABC内切圆的半径

r=3+4－52=1（cm）.

例2如图5，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（-3，0），B（-1，2），C（3，2），则△ABC的外心P的坐标是（）.

A.（0，-1）B.（0，0）

C.（1，-1）D.（1，-2）

解析：由题意可知，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是线段BC，AB的垂直平分线的交点.

如图6所示，分别作线段BC，AB的垂直平分线，其交点P的坐标是（1，-2）.

故选答案：D.

注意，在网格中，作与网格线重合的边的垂直平分线比较简单.这道题也可用排除法，把各项中的点分别作为圆心，以圆心到A，B，C三点中任一点的距离为半径作圆，看其他两点是否在圆上.

4 结语

本文通过概念、性质、作法三个方面的对比研究，给教师教学提供了有效区分三角形内心与外心的方法.希望一线教师能将此作为参考应用于教学实践，以不断促成与笔者的交流与沟通.

参考文献：

[1]熊燕.有关三角形的内心与外心基本图形探究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2021（6）：37-39.