作辅助圆证明勾股定理

摘要：勾股定理是几何学里的一个重要定理，教材中是利用面积法证明的.文章另辟蹊径，通过构造辅助圆运用圆或相似的知识证明勾股定理，进一步发展学生的探究意识与创新精神，培养学生的数学核心素养.

关键词：勾股定理；新证法；创新意识

勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，因它的简洁与实用价值备受人们的青睐，千百年来，人们对它的证明锲而不舍，生生不息.勾股定理是人教版教学教材八年级下册的学习内容，课本第24页介绍了赵爽的“出入相补法”，在第30页的“阅读与思考”中介绍了“毕达哥拉斯的证法”“弦图的另一种证法”“加菲尔德的证法”，以上四种方法都是运用面积结合代数知识进行证明.到了九年级，学生学习了圆，用圆的知识又可以如何证明勾股定理呢？

命题在△ABC中，∠C＝90°，若BC＝a，AC＝b，AB＝c.求证：a2＋b2＝c2.

分析一：由勾股定理结论的平方和的形式变形成平方差的形式，这样等式的一边是一条线段的平方，另一边是两条线段的和与差的积.圆的半径相等，圆中一些线段可以通过半径代换成与某些线段的和或差，而圆的相交弦定理或切割线定理正好符合这一特征.因此，构造辅助圆，把直角三角形的边看成相交弦或切割线所在线段的一部分，便可证明.

证法一：利用相交弦定理.

如图1，以点B为圆心，AB的长为半径作⊙B，交直线BC于点E，F，交AC的延长线于点G.

由垂径定理，知AC＝CG＝b.

由半径，知AB＝BE＝BF＝c，所以EC＝BE＋BC＝c＋a，CF＝BF－BC＝c－a.

由相交弦定理，得AC·CG＝EC·CF.

所以b2＝（c＋a）（c－a），即a2＋b2＝c2.

证法二：利用切割线定理.

如图2，以点B为圆心，BC的长为半径作⊙B，分别交直线AB于点E，F.由半径，知AE＝AB－BE＝c－a，AF＝AB＋BF＝c＋a.又BC为半径，∠C＝90°，则AC是⊙B的切线.

由切割线定理，可得AC2＝AE·AF，所以b2＝（c－a）（c＋a），化简得a2＋b2＝c2.

分析二：一些平常结论的使用，可使证明过程更简洁易懂.

先让我们认识一下与三角形内切圆半径有关的两个结论.

结论1：S△＝12lr（l为三角形的周长，r为三角形的内切圆半径）.

简证：如图3，△ABC内切圆为⊙O，切点为H，M，N，连接圆心与各切点，连接圆心与△ABC各顶点.设半径为r，△ABC周长为l.由切线性质知OH＝ON＝OM＝r，所以S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝12AB·OH＋12BC·ON＋12AC·OM＝12r（AB＋BC＋CA）＝12lr，即任意三角形的面积S＝12lr.

结论2：r＝a+b－c2（r为直角三角形的内切圆半径，a，b为直角三角形两直角边，c为斜边）.

简证：如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点为D，E，F.设半径为r，斜边为c，连接OD，OE，OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.又OD＝OE＝r，所以四边形CDOE为正方形.由切线长定理，知AF＝AD＝AC－CD＝b－r，BF＝BE＝BC－CE＝a－r.又AF＋BF＝AB，即（b－r）＋（a－r）＝c，所以r＝12（a＋b－c）.

这两个结论都与三角形的内切圆半径有一定关联，利用它们构成一个比例式，其等积式出现平方差的形式，化简即可证之.

证法三：作内切圆.

由结论2知，Rt△ABC内切圆半径

r＝12（a＋b－c）.①

由结论1，结合S△ABC＝12ab，得12（a＋b＋c）r＝12ab，即

r＝aba+b+c.②

由①②，得a+b－c2＝aba+b+c.

化简得（a＋b）2－c2＝2ab，所以a2＋b2＝c2.

分析三：圆内接四边形有一个重要定理——托勒密定理，即圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线相交于点Q，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD.

证明：如图5，在DQ上找一点E，使∠DCE＝∠QCB，又∠CAB＝∠BDC，所以△ABC∽△DEC.

于是ABDE＝ACCD，则

AB·CD＝AC·DE.

由∠BCE＝∠ACD，∠DAC＝∠DBC，可知△ACD∽△BCE，

则ADBE＝ACBC，所以

AD·BC＝AC·BE.

所以AB·CD＋AD·BC＝AC·DE＋AC·BE=AC·（DE+BE）=AC·BD.

故AB·CD＋AD·BC＝AC·BD.

有了上面的定理，再利用直角三角形的外接圆构造矩形，并运用矩形性质及托勒密定理即可求证.

证法四：利用托勒密定理.

如图6，以AB为直径作⊙O，过点A，B分别作BC，AC的平行线，交于点D.

由直径所对的圆周角是90°知∠D＝90°，则四边形ACBD是矩形，且内接于⊙O.

由托勒密定理，知BD·AC＋AD·BC＝CD·AB.又BD＝AC＝b，AD＝BC＝a，CD＝AB＝c，所以a2＋b2＝c2.

分析四：受“证法一”的启示，将“图1”中CG去掉，连接AE，AF，由直径所对的圆周角是90°，出现“双垂直”结构图，产生相似三角形，并用相似性质证明.同样借用“图1”，直接画Rt△ABC的外接圆，再使用相似证之.

证法五：构造圆运用相似三角形.

如图7，以点B为圆心，BA为半径作⊙B，双向延长BC交⊙B于点E，F，连接AE，AF.

由EF为⊙B直径知∠EAF＝90°，又AC⊥EF，则∠CAF＝∠E，∠ACE＝∠ACF＝90°，可证△ACE∽△FCA，则ACCF＝CECA，即AC2＝CE·CF，又CF＝BF－BC＝c－a，CE＝CB＋BE＝a＋c，AC＝b，所以b2＝（c－a）（c＋a），即a2＋b2＝c2.

证法六：外接圆＋面积比.

如图8，以AB为直径作圆，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，易证△ACH∽△ABC，△BCH∽△BAC.

由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得

S△ACHS△ABC＝AC2AB2，S△BCHS△ABC＝BC2AB2.

两式相加，得

AC2AB2＋BC2AB2＝S△ACH+S△BCHS△ABC＝1.

所以AC2+BC2AB2＝1，即b2+a2c2＝1.

故a2＋b2＝c2.

同样，借助“证法六”的图形及辅助线运用“射影定理”，也可证明.

证法七：射影定理.

如图8，过点C作CH⊥AB于点H，易证∠BCH＝∠A，∠CBH＝∠ABC，所以△BCH∽△BAC.

由相似比得BCAB＝BHBC，即BC2＝BH·AB（此结论即为射影定理），同理AC2＝AH·AB.

所以BC2＋AC2＝BH·AB＋AH·AB＝AB[J]5（BH＋AH）＝AB2，即a2＋b2＝c2.

勾股定理的图形及结构简洁优美，沟通了代数与几何两个领域，被广泛用于生活与学习当中，人们对它的探究永无止境，对勾股定理的探究常探常新，永不过时.